Asymptoot is een lijn waar de grafiek op den duur mee samenvalt. De grafiek van f(x) = gx f(x) = gx met g constant en g > 0 is een exponentiële functie g > 1 0 < g < 1 y y Asymptoot is een lijn waar de grafiek op den duur mee samenvalt. 1 1 x x O O De grafiek is stijgend bereik < 0, > de x-as is asymptoot De grafiek is dalend bereik < 0, > de x-as is asymptoot 10.4

Het effect van transformaties op y = gx verm. t.o.v. de x-as met a y = a · gx Vermenigvuldig in de formule de functiewaarde met a. De asymptoot is y = 0. y = gx translatie (p, 0) y = gx – p Vervang in de formule x door x – p. De asymptoot is y = 0. y = gx translatie (0, q) y = gx + q Tel in de formule q op bij de functiewaarde. De asymptoot is y = q. 10.4

Grafieken van f(x) = sin(x) en g(x) = cos(x) 1 periode = 2π f(x) = sin(x) evenwichtsstand = 0 amplitude = 1 -π O π -2π amplitude = 1 2π g(x) = cos(x) ½π periode = 2π -1 9.4

Bijzonderheden aflezen uit een formule met een sinus 9.4

voorbeeld f(x) = 5 – 3 sin (¼πx) evenwichtsstand = 5 amplitude = 3 periode = = 8 -3 < 0 dus grafiek dalend door beginpunt (0,5) 9.5

machtsfuncties n even n oneven y y y y a > 0 a < 0 a > 0 x x x x O O O O de top is (0,0) het punt van symmetrie is (0,0) 10.1

Grafieken van machtsfuncties verschuiven xtop bereken je door wat tussen haakjes staat 0 te maken. y y = x² top (0, 0) y = ( x – 4 )² 4 naar rechts top (4, 0) y = ( x – 4 )² + 3 3 omhoog top (4,3) y = 2 ( x – 4 )² + 3 parabool smaller top hetzelfde top (4, 3) y = a ( x - p )² + q top (p, q) O x algemeen grafiek van translatie (p, q) beeldgrafiek y = axn  y = a(x – p)n + q 10.1

Welk functievoorschrift hoort bij de verschillende parabolen ?

voorbeeld a) y = 0,3x4 y = 0,3(x + 5)4 + 6 y = -0,9(x + 5)4 - 18 top (-5, -18) b) y = 0,3x4 y = -0,9x4 y = -0,9(x + 5)4 + 6 top (-5, 6) Bij de translatie (-5, 6) vervang je in de formule x door x + 5 en tel je 6 bij de functiewaarde op. translatie (-5,6) verm. met -3 tov de x-as Bij de vermenigvuldiging t.o.v. de x-as met -3, vermenigvuldig je de functiewaarde met -3. verm. met -3 tov de x-as translatie (-5,6) 10.1

los op (exact) x² < 2x + 3 f(x) = x² g(x) = 2x + 3 f(x) = g(x) x = -1 v x = 3 aflezen uit de schets -1 < x < 3 Werkschema bij het oplossen van ongelijkheden Schets de grafieken van f en g. Los de vergelijking f(x) = g(x) op. Lees uit de schets de oplossingen af. y f Lees het antwoord af op de x-as f(x) < g(x) wanneer ligt de grafiek van f onder die van g. -1 3 x g 10.1

y is evenredig met x voorbeeld a 3 9 12 24 60 N 8 24 32 64 160 x 5 x 3 de formule heeft de vorm y = ax de tabel is een verhoudingstabel bij een k keer zo grote x hoort een k keer zo grote y de grafiek is een rechte lijn door de oorsprong voorbeeld x 5 x 3 x 2 a 3 9 12 24 60 N 8 24 32 64 160 x 3 x 2 x 5 evenredig a 3 x zo groot N 3 x zo groot 7.1

y is omgekeerd evenredig met x de formule heeft de vorm xy = a , ofwel y = a/x vermenigvuldig je x met een getal, dan moet je y door dat getal delen de grafiek is een hyperbool voorbeeld x 2 P 3 4 8 9 36 T 24 18 9 8 2 vermenigvuldigd steeds 72 : 2 omgekeerd evenredig P 2 x zo groot T 2 x zo klein 7.1

∙ ∙ Asymptoten y 4 1x f (x) = standaardfunctie De grafiek heet een hyperbool. f (0) bestaat niet. Je hebt een horizontale asymptoot en een verticale asymptoot. Een asymptoot is een lijn waarmee de grafiek op den duur vrijwel mee samenvalt. 3 2 ∙ 1 y = 0 -2 -1 1 2 3 x ∙ -1 -2 x = 0 10.3

Transformaties en gebroken functies y 1x f(x) = standaardfunctie g(x) = + 1 translatie 2 naar rechts 1 omhoog 4 1 x - 2 3 ∙ 2 ∙ y = 1 1 ∙ y = 0 -2 -1 1 2 3 x ∙ -1 -2 x = 0 x = 2 10.3

Gebroken vergelijkingen Regels voor het algebraïsch oplossen van gebroken vergelijkingen = 0 geeft A = 0 = geeft A = C = geeft A = 0 v B = C = geeft AD = BC A B 0 1 = 0 = kan niet een breuk is nul als de teller nul is en de noemer niet A B C B 1 0 A B A C 0 0 A B C D 0 5 Controleer of geen noemer nul wordt. 10.3