De standaardfunctie f(x) = gx f(x) = gx met g constant en g > 0 is een exponentiële functie g > 1 0 < g < 1 y y ℝ is de verzameling van alle getallen asymptoot is een lijn waar de grafiek op den duur bijna mee samenvalt 1 1 x x O O grafiek is stijgend op ℝ domein ℝ bereik < 0, > de x-as is asymptoot grafiek is dalend op ℝ domein ℝ bereik < 0, > de x-as is asymptoot 5.1

Het effect van transformaties op y = gx verm. t.o.v. de x-as met a y = a · gx vermenigvuldig in de formule de functiewaarde met a asymptoot  y = 0 y = gx verm. t.o.v. de y-as met b y = g vervang in de formule x door asymptoot  y = 0 1 b 1b y = gx translatie (c, 0) y = gx – c vervang in de formule x door x – c asymptoot  y = 0 y = gx translatie (0, d) y = gx + d tel in de formule d op bij de functiewaarde asymptoot  y = d 5.1

y 4 3 2 y = 2 1 x -3 -2 -1 O 1 2 3 -1 y = -2 -2 -3 opgave 6 a f opgave 6 4 a f: y = 2x 2 omlaag y = 2x – 2 de asymptoot van f is y = -2 3 g g: y = (½)x 2 naar rechts 2 omhoog y = (½)x-2 + 2 de asymptoot van g is y = 2 2 y = 2 1 c Bf = < -2, > Bg = < 2, > d g(4) = 2,25  x ≥ 4 2 < g(x) < 2,25 e f(x) ≤ g(x) optie intersect x ≈ 2,27 x ≤ 2,27 x -3 -2 -1 O 1 2 2,27 3 -1 y = -2 -2 -3

A y f 4 f f(x) = p heeft geen oplossingen als de horizontale lijn y = p de grafiek van f niet snijdt p ≤ -2 g lijn x = 3 AB = f(3) – g(3) AB = 6 – 2,5 = 3,5 h voer in y3 = 7 optie intersect met y1 en y3 x ≈ 3,170 optie intersect met y2 en y3 x ≈ -0,322 CD ≈ 3,170 - - 0,322 CD ≈ 3,49 3 B g 2 y = 2 1 x -3 -2 -1 O 1 2 3 -1 y = -2 -2 -3

Rekenregels van machten a4 = a · a · a · a a2 · a3 = a · a · a · a · a = a5 = = a2 (a2)3 = a2 · a2 · a2 = a6 (ab)3 = ab · ab · ab = a3b3 bij vermenigvuldigen de exponenten optellen a5 a · a · a · a · a a3 a · a · a bij delen trek je de exponenten van elkaar af bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten bij de macht van een product krijg je een product van machten 5.1

Algemeen ap · aq = ap + q = ap – q (ap)q = apq (ab)p = apbp ap aq 5.1

Negatieve exponenten 4° = 1 a° = 1 (a ≠ 0) 2-1 = ½ 8-1 = ⅛ Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd, dan verandert de exponent van teken. 4° = 1 a° = 1 (a ≠ 0) 2-1 = ½ 8-1 = ⅛ a-n = (a ≠ 0) De rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten. 1 an 5.1

Machten met gebroken exponenten x½ = √x x = √x 4½ = √4 = 2 64 = √64 = 4 algemeen : a = n√a ook geldt : a = √a (a > 0) 3 3 p q q p 5.1

Lineaire groei en exponentiële groei 5.2

Bij de formule N = b ∙ gt onderscheiden we 2 gevallen Groeifactoren kleiner dan 0 of gelijk aan 1 hebben geen betekenis. g > 1 0 < g < 1 y y stijgend dalend 1 1 x x O O 5.2

Groeifactor en groeipercentage Neemt een hoeveelheid per tijdseenheid met een vast percentage toe of af, dan heb je met exponentiële groei te maken. v.b. Een bedrag van 250 euro neemt per jaar met 4,5% toe 100% + 4,5% = 104,5%  : 100  ×1,045 dan is de groeifactor 1,045 formule : B = 250 ×1,045t dus bij een groeifactor van 0,956 is de procentuele afname 100% - 95,6% = 4,4% We zeggen dat het groeipercentage - 4,4% is. Bij een verandering van p% per tijdseenheid hoort exponentiële groei met groeifactor g = 1 + p/100. Bij een groeifactor g per tijdseenheid hoort een verandering van p = (g – 1) × 100%. 5.2

opgave 23 N 10 a Er wordt per meter 40% rood licht geabsorbeerd, dus er blijft 60% over groeifactor per meter is 0,6. PR = 100 · 0,6d PB = 100 · 0,7d (100-30=70%  0,7) d = 4  PR = 100 · 0,64 = 12,96 dus ongeveer 13% van rood licht d = 4  PB = 100 · 0,74 = 24,01 dus ongeveer 24% van blauw licht b Voer in  y1 = 100 · 0,6x en y2 = 1 optie intersect  x ≈ 9,02 Dus tot een diepte van 9 meter dringt slechts 1% van het rode licht door. d = 9  PB = 100 · 0,79 = 4,04 Dus tot deze diepte dringt 4 keer zoveel blauw licht door. 8 ∙ 6 ∙ 4 ∙ 2 ∙ ∙ ∙ 2 4 6 8 9,02 10

Groeipercentages omzetten naar een andere tijdseenheid Bij exponentiële groei met groeifactor g per tijdseenheid, is de groeifactor per n tijdseenheden gelijk aan gn Bij een groeifactor van 1,5 per uur hoort een groeifactor van 1,524 ≈ 16834,11 per dag, en een groeifactor van 1,5¼ ≈ 1,11 per kwartier. 1,11  111%  toename per kwartier is 11% Het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via groeifactoren. 5.2

opgave 31 In de periode 1955-1965 nam het dramatisch af met 95%. a g10 jaar = 100 – 95 = 5%  0,05 gjaar = 0,05(1/10) ≈ 0,741 De afname per jaar is 100 – 74,1 = 25,9%. b g20 jaar = 12 gjaar = 12(1/20) ≈ 1,132 1,132 × 100 = 113,2% De toename per jaar is 113,2 – 100 = 13,2%. c In 1965 waren er 14000/12 ≈ 1170 broedparen. In 1955 waren er 1170/0,05 ≈ 23400 broedparen.

opgave 36 Na 6 minuten  10 knopen , 3 minuten later  8 knopen a g3 minuten = 8/10 = 0,8 g1 minuut = 0,8⅓ ≈ 0,928 0,928 × 100 = 92,8% De afname per minuut is 100 – 92,8 = 7,2%. b v = b · 0,928t met v in knopen en t in minuten t = 6 en v = 10  10 = b · 0,9286 b = 10/0,9286 b ≈ 15,6 dus v = 15,6 · 0,928t De snelheid op t = 0 is 15,6 knopen. c half uur  t = 30 t = 30  v = 15,6 · 0,92830 ≈ 1,7 De snelheid is 1,7 knopen. d voer in y1 = 15,6 · 0,928x en y2 = 1 optie intersect x ≈ 36,8 Dus na 37 minuten.

Logaritme en exponent 2x = 8 x = 3 want 23 = 8 2x = 8 ⇔ 2log(8) 2log(32) = 5 want 25 = 32 algemeen : glog(x) = y betekent gy = x dus glog(gy) = y x > 0 , g > 0 en g ≠ 0 5.3

voorbeeld a 5log(0,2) = 5log() = 5log(5-1) = -1 b 3log(3√3) = 1½ c ½log(8) = ½log((½)-3) = -3 d ¼log() = ¼log((¼)2) = 2 e 0,25log(4) = ¼log(4) = ¼log((¼)-1) = -1 f 4log(0,25) = 4log(¼) = 4log(4-1) = g log(7) = log(()-1) = h log(1) = log(()0) =

De standaardgrafiek y = glog(x) Functies f en g met de eigenschap dat hun grafieken elkaars spiegelbeeld zijn in de lijn y = x heten inverse functies. g > 1 0 < g < 1 y y y = x y = x y = 2x 1 y = (½)x 1 x x O O 1 1 y = 2log(x) y = ½log(x) 5.3

voorbeeld x = 4 y 4 3 2  1      O 1 2 3 4 5 -1   -2   a y = 3log(x) 4 naar rechts y = 3log(x – 4) 2 omhoog y = 3log(x – 4) + 2 b Df = < 4, > 3 2  x   1 3 9 1   3log(x) -2 -1 1 2    O 1 2 3 4 5 -1 2 omhoog   4 naar rechts -2  

B A opgave 53 f(x) = ½log(x + 3) g(x) = 3log(-x + 5) a Teken b f(x) = 5 ½log(x + 3) = 5 x + 3 = (½)5 x + 3 = x = -2 c g(-4) = 2 voor x ≥ -4 is g(x) ≤ 2 d f(x) = 1 ½log(x + 3) = 1 x + 3 = (½)1 x + 3 = ½ x = -2½ f(x) ≥ 1 geeft -3 < x ≤ -2½ -10,588 -2,823 -2,72 4,96 e optie intersect x ≈ -2,72 en x ≈ 4,96 f(x) ≤ g(x) geeft -2,72 ≤ x ≤ 4,96 f voer in y3 = 2,5 optie intersect met y1 en y3 geeft x ≈ -2,823 optie intersect met y2 en y3 geeft x ≈ -10,588 AB ≈ -2,823 - -10,588 ≈ 7,77

y y y y x x x x O O O O y y y y x x x x O O O O opgave 54 5.3 opgave 54 y = a · glog(x + b) a > 0 a < 0 b > 0 b < 0 0 < g < 1 g > 1 y y y y x x x x O O O O x = -b x = -b x = -b x = -b y y y y x x x x O O O O x = -b x = -b x = -b x = -b

opgave 55 a din = 1 + k · log(iso) din = 21 en iso = 100 invullen geeft 21 = 1 + k · log(100) 21 = 1 + 2k 2k = 20 k = 10 b k = 10 en iso = 400 invullen geeft din = 1 + 10log(400) din ≈ 27 c k = 10 en din = 24 invullen geeft 24 = 1 + 10log(iso) 10log(iso) = 23 log(iso) = 2,3 iso ≈ 200

Logaritmische schaalverdeling Een gewone schaalverdeling is niet praktisch als je op een getallenlijn gegevens wilt uitzetten die sterk in grootte verschillen. We kiezen in zo’n situatie liever een logaritmische schaalverdeling. paard = 600 kg. log(600) ≈ 2,8 Op de logaritmische schaalverdeling is de afstand van 104 tot 100 gelijk aan 4 log(104) = 4 5.4

Logaritmisch papier opgave 65 107 F  2400 F  2400000 106 E  150 D  55 D  55000 105 C  23000 C  23 B  7,5 B  7500 104 A  1,3 A  1300 103

Exponentiële groei en logaritmisch papier Bij een rechte lijn op logaritmisch papier hoort exponentiële groei, dus een formule van de vorm N = b · gt De verdubbelingstijd bij exponentiële groei is de tijd waarin de hoeveelheid verdubbelt. Bij groeifactor g bereken je de verdubbelingstijd T door de vergelijking gT = 2 op te lossen. De verdubbelingstijd is onafhankelijk van b. 5.4

opgave 72 jaar 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2003 aantal N 155 200 441 494 553 619 870 a Teken b vanaf 1997 c Lijn door (2, 441) en (8, 870) g6 jaar = 870/441 ≈ 1,97 gjaar = 1,97⅙ ≈ 1,12 N = b · 1,12t t = 2  N = 441 N = 352 · 1,12t ∙ ∙ ∙ 441 = b · 1,122 b = 441/1,122 b ≈ 352 ∙ ∙ ∙ ∙ 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 5.4

opgave 79 0 – 1500  g1500 jaar = 2  gjaar = 2 ≈ 1,0005  0,05% 1500 – 1800  g300 jaar = 2  gjaar = 2 ≈ 1,0023  0,23% 1800 – 1950  g150 jaar = 2  gjaar = 2 ≈ 1,0046  0,46% 1950 – 1986  g36 jaar = 2  gjaar = 2 ≈ 1,0194  1,94% 1986 – 2005  g19 jaar = = ≈ 1,35  gjaar = 1,35 ≈ 1,0161  1,61%