Twee soorten groei 11.1

opgave 6 aN = 9,8 · 1,045 t binvullen t = 6 N = 9,8 · 1,045 6 ≈ 12,8 miljoen. cLos op : 9,8 · 1,045 t = 16 voer in y 1 = 9,8 · 1,045 x en y 2 = 16 intersect  x ≈ 11,1. Dus in = 2015 is het aantal inwoners voor het eerst meer dan 16 miljoen. dLos op : 9,8 · 1,045 t = 2 · 9,8 voer in y 3 = 2 · 9,8 intersect met y 1 en y 3 geeft x ≈ 15,7. Dus in = 2019 zal het aantal verdubbeld zijn.

Groeifactor en groeipercentage neemt een hoeveelheid per tijdseenheid met een vast percentage toe of af, dan heb je met exponentiële groei te maken v.b. Een bedrag van 250 euro neemt per jaar met 4,5% toe 100% + 4,5% = 104,5%  : 100  × 1,045 dan is de groeifactor 1,045 formule : B = 250 × 1,045 t dus bij een groeifactor van 0,956 is de procentuele afname 100% - 95,6% = 4,4% we zeggen dat het groeipercentage - 4,4% is bij een verandering van p% per tijdseenheid hoort exponentiële groei met groeifactor g = 1 + p/100 bij een groeifactor g per tijdseenheid hoort een verandering van p = ( g – 1 ) × 100% 11.1

opgave 12 aDe groeifactor per jaar is 1 + = 0,979. P = 94,2 · 0,979 t bLos op : 94,2 · 0,979 t = 55 voer in y 1 = 94,2 · 0,979 x en y 2 = 55 intersect  x ≈ 25,4 Dus in = 2012 is de productie voor het eerst minder dan 55 miljard kg. c2005 : t = 19  N ≈ 62,939 miljard kg : t = 14  N ≈ 69,986 miljard kg. De procentuele verandering = Dus een afname van 10,1%.

dBij de plannen van de milieuorganisatie hoort de formule P = 94,2 – 1,4t met t in jaren na 1986 en P in miljarden kg. Voer in y 3 = 94,2 – 1,4x intersect  x ≈ 35,8 Vanaf het jaar = 2022 leiden de plannen van de milieuorganisatie tot een lagere mestproductie. O t P y1y1 y3y3 94,2 35,8 44,0

Groeipercentages omzetten naar een andere tijdseenheid. Bij exponentiële groei met groeifactor g per tijdseenheid, is de groeifactor per n tijdseenheden gelijk aan g n. Bij een groeifactor van 1,5 per uur hoort een groeifactor van 1,5 24 ≈ 16834,11 per dag en een groeifactor van 1,5 ¼ ≈ 1,11 per kwartier. 1,11  111%  toename per kwartier is 11%. Het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via groeifactoren. 11.2

opgave 36 t410 N g 4 dagen = g dag = N = b · g t g ≈ 1,165 voor t = 4  N = 1000 Dus N = 543 · 1,165 t. N = b · 1,165 t 1000 = b · 1,165 4 b ≈ 543 x 2,

Logaritme en exponent 2 x = 8 x = 3 want 2 3 = 8 2 x = 8 ⇔ 2 log(8) 2 3 = 8 ⇔ 2 log(8) = 3 2 log(32) = 5 want 2 5 = 32 algemeen: g log(x) = y betekent g y = x x > 0, g > 0 en g ≠

Rekenregels voor logaritmen Uit g y = x en g log(x) = y volgt g g log(x) = x. g log(a) + g log(b) = g log(ab) g log(a) – g log(b) = g log( ) n · g log(a) = g log(a n ) g log(a) = 11.3

De standaardgrafiek y = g log(x) O x y 0 < g < 1 1 O x y g > 1 1 dalend stijgend domein bereik ℝ de y-as (x = 0) is asymptoot 11.3

De standaardgrafiek y = g log(x) Functies f en g met de eigenschap dat hun grafieken elkaars spiegelbeeld zijn in de lijn y = x heten inverse functies O x y O x y g > 10 < g < y = x y = 2 x 1 y = 2 log(x) y = x y = (½) x y = ½ log(x)

opgave 49 af (x) = g (x) 2 log(6x) = log(x + 3) 2 log(6x) = 2 log(2) + 2 log(x + 3) 2 log(6x) = 2 log(2(x + 3) 2 log(6x) = 2 log(2x + 6) 6x = 2x + 6 4x = 6 x = 1½ voldoet snijpunt (1½, 2 log(9)) b O x y 1½1½ f g x = -3 f (x) ≤ g (x) 0 < x < 1½

Opgave 56a