Hoofdstuk 5 Kleiner of kleiner gelijk of fout ???

Intervallen a-8 ≤ x < 3 [ -8, 3 › b4 < x ≤ 4½ ‹ 4, 4½ ] c5,1 ≤ x ≤ 7,3 [ 5,1 ; 7,3 ] d3 < x ≤ π ‹ 3, π ] -83 l l ○● 44½4½ l l ○● 5,17,3 l l ● 3π l l ○● ≤  [  ● <  ‹  ○ ● 5.1

4½4½ l ○ ● ax ≤ 4½ ‹ , 4½ ] bx > -8 ‹ -8,  › -8 l Oneindige intervallen 5.1

Stijgen en dalen constante stijgingtoenemende stijgingafnemende stijging constante dalingtoenemende dalingafnemende daling 5.1

voorbeeld afnemend dalend op toenemend stijgend op afnemend stijgend op toenemend dalend op toenemend stijgend op afnemend dalend op 5.1

opgave jaar inwoners x miljoen ● ● ● 9,  1,5 miljoen 1850  toenemende stijging tot 3,5 miljoen 1920  constante stijging tot 5,5 miljoen ab ∆t7050 ∆n   ,5 milj  5,5 milj ∆n = 2 x 50 : 70 ∆n = 1,43 in 1850  3,5 milj. dus in ,5 + 1,43 = 4,93 milj.

y 1 = -x³ - 1,5x² + 36x + 25 optie max. en min. geven de toppen min. is f(-4) = -79 max. is f(3) = 92,5 (-4, -79) (3; 92,5) ● ● voorbeeld

opgave 13 tijdvereffening = ware – middelbare zonnetijd atijdvereffening = 0  op 4 dagen april, juni, september en december babs.max. = 17 min. op 3 november abs.min. = -14 min. op 11 februari chorizontale lijn op hoogte 12 minuten snijpunt bij 1 oktober en 30 november dus tussen 1 oktober en 30 november dtijdvereffening = 17 minuten 17 min = uur – horlogetijd horlogetijd = uur etijdvereffening = -14 minuten -14 min = uur – horlogetijd horlogetijd = uur fop 13 juni staat bij de zomertijd de zon om uur in de hoogste stand ware zonnetijd = uur  middelbare zonnetijd = uur tijdvereffening = 12 – 13 = -1 uur de grafiek schuift dus 60 minuten naar beneden ●●●● ● ● t/m 31 jan.

Hoe noteer je een uitwerking van een opgave bij gebruik van de GR? anoteer de formules die je invoert bnoteer de optie die je gebruikt en geef het resultaat cbeantwoord de gestelde vraag 5.2

opgave 16 N = 480t² - 40t³ t = 0 om 9.00 uur de dierentuin sluit om uur avoer in y 1 = 480x² - 40x³ uur  3.50 uur later t = 3 ⅚  N = 4800,2 dus 4800 mensen bhet drukst  maximum optie maximum  top (8, 10240) 8 uur later dus om uur dan zijn er bezoekers cvoer in y 2 = 8000 optie intersect x ≈ 5,58 v x = 10 0,58 uur = 0,58 × 60 ≈ 35 minuten 5 uur en 35 min. later  uur 10 uur later  uur dus om uur of uur je moet de uitkomsten van een model ‘terugvertalen’ naar de gegeven situatie t N 0 (8,10240) 5,

Periodieke verschijnselen een grafiek die zich steeds herhaalt noem je periodiek de grafiek is een periodieke grafiek als iets iedere 2 uur herhaalt dan zeg je dat de periode 2 uur is de evenwichtsstand is de horizontale lijn die precies door de grafiek loopt amplitude is het verschil tussen de evenwichtsstand en het hoogste punt of laagste punt 5.2

hoogte in m periode = 4 uur evenwichtsstand = 3 m. amplitude = 2 uur periodiek verschijnsel periode = 4 uur amplitude = 2 uur t in uur voorbeeld 5.2

opgave 20 aperiode = 5 seconden bper minuut 60 : 5 = 12 keer cperiode = 5 seconden  48 – 5 – 5 – 5 – 5 – 5 – 5 = 18 seconden 18 seconden  drukverschil = 1 mm kwikdruk na 4 minuten en 26 seconden = 266 seconden  16 seconden 16 seconden  drukverschil = -1 mm kwikdruk d½ × 12 × 60 × 24 = 8640 liter ede periode = 5 : 2 = 2,5 seconden per kwartier  3 × 24 × 15 = 1080 liter 1

Trend een lange-termijnontwikkeling heet een trend de grafiek schommelt om een kromme die de trend weergeeft een trend kan zowel stijgend als dalend zijn schommelt de grafiek om een rechte lijn, dan heet die lijn de trendlijn 5.2

opgave 23 aN = at + b bij t = 0  N = 140 bij t = 3  N = 200 dus N = 20t b1 e kwartaal 2000  verkoop 115 scooters 1 e kwartaal 2006  × 20 = 235 scooters c2000  totale verkoop = = 595 scooters 2007  × 4 × 20 = 1155 scooters ● ● ● ● a = = = 20 ∆N ∆t

Toenamendiagram De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in een toenamendiagram 1. kies een stapgrootte 2. bereken voor elke stap de toename of afname 3. teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname 4. teken het staafje bij de rechtergrens (bv toename van 3  4 teken je het staafje bij 4 ) 5.3

voorbeeld 2-0,50,524 ∆y [3,4][2,3][1,2][0,1][-1,0]∆x = x ∆y..... je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval 5.3

voorbeeld 0 x y er zijn meerdere grafieken mogelijk

voorbeeld -2 -2, ,5 -0,5 -1,5 -2

t T om 0.00 uur is het 20,5°C , ,5 -0,5 -1,5 -2

opgave 29 constant dalend afnemend stijgendafnemend dalendtoenemend dalend

O x y O x y O x y O x y ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● opgave 30

opgave 35a interval∆A [0,1]0,4 [1,2]1,8 [2,3]4,6 [3,4]2,1 [4,5]1,5 [5,6]1,0 [6,7]0,8 [7,8]0,5 [8,9]0,3 [9,10]0,2 0,8 1,2 3,0 7,6 9,7 11,2 12,2 13,0

opgave 35a interval∆A [0,1]0,4 [1,2]1,8 [2,3]4,6 [3,4]2,1 [4,5]1,5 [5,6]1,0 [6,7]0,8 [7,8]0,5 [8,9]0,3 [9,10]0, ∆A t ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

bop t = 2 is er 3000 m 3 na het kappen is er nog 3000 – 2000 = 1000 m 3 dat is precies de hoeveelheid op t = 0,5 op t = 1,5 is er 1600 m 3 dat is niet voldoende om opnieuw 2000 m 3 te kappen czie toenamediagram advies : 3 jaar wachten en dan jaarlijks 4600 m 3 kappen d 3,0 7,6

Gemiddelde veranderingen N2N2 N 1 0 N t ∆t ∆N omhoog ∆trechts dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N : ∆t t1t1 t2t2 N 2 – N 1 = ∆N t 2 – t 1 = ∆t · · 5.4

opgave Nt agemiddelde toename op [0,10] ∆N = 2766 – 200 = 2566 ∆t = = 10 ∆N : ∆t = 2566 : 10 = 256,6 bop het interval [2,8] is de grafiek steiler dan op het interval [10,14] cop het interval [4,8] het grootst daar is de grafiek het steilst op het interval [10,20] het kleinst daar is de grafiek het minst steil ,6

xAxA a xBxB b het differentiequotiënt van y op het interval [x A,x B ] is x y A B ∆x ∆y ∆x ∆y y B – y A f(b) – f(a) ∆x x B – x A b - a differentiequotiënt = ∆y : ∆x = gemiddelde verandering van y op [x A,x B ] = r.c. = hellingsgetal van de lijn AB ==.. yAyA yByB f(b) f(a) 5.4

voorbeeld agemiddelde snelheid op [-6,-4] is ∆K = 4 – 12 = -8 ∆P = = 2 ∆K : ∆P = -8 : 2 = -4 gemiddelde snelheid op [-2,2] is ∆K = 6 – 6 = 0 ∆P = = 4 ∆K : ∆P = 0 : 4 = 0 bdifferentiequotiënt op [-5,0] is ∆K = 0 – 4 = -4 ∆P = = 5 ∆K : ∆P = -4/5 differentiequotiënt op [-5,2] is ∆K = 6 – 4 = 2 ∆P = = 7 ∆K : ∆P = 2/ ∆K K(b) – K(a) ∆P P(b) – P(a) = 5.4

opgave 43 abij de VS is op [1980,2040] ∆N = 340 – 240 = 100 ∆t = 2040 – 1980 = 60 ∆N : ∆t = 100 : 60 ≈ 1,67 bbij Brazilië is op [1980,2020] ∆N = 220 – 130 = 90 ∆t = 2020 – 1980 = 40 ∆N : ∆t = 90 : 40 = 2,25 c∆N : ∆t geeft de beste indruk omdat dit de gemiddelde verandering per jaar geeft

voorbeeld differentiequotiënten en formules x y 0 f avoer in y 1 = x³ - 3x + 5 bgemiddelde toename op [1,3] ∆y = f(3) – f(1) ∆y = 23 – 3 = 20 ∆x = 3 – 1 = 2 ∆y : ∆x = 20 : 2 = 10 cdifferentieqoutiënt op [-2,4] ∆y = f(4) – f(-2) ∆y = 57 – 3 = 54 ∆x = = 6 ∆y : ∆x = 54 : 6 = 9 dhellingsgetal op [-3,1] ∆y = f(1) – f(-3) ∆y = = 16 ∆x = = 4 ∆y : ∆x = 16 : 4 = 4