Regels bij kansrekeningen aantal gunstige uitkomsten aantal mogelijke uitkomsten Kansdefinitie van Laplace P(G) = Somregel Voor elke uitsluitende gebeurtenissen G1 en G2 geldt P(G1 of G2) = P(G1) + P(G2). Complementregel P(gebeurtenis) = 1 – P(complement-gebeurtenis). Productregel Bij twee onafhankelijke kansexperimenten geldt P(G1 en G2) = P(G1) · P(G2). Bij een kleine steekproef uit een grote populatie mag je trekken zonder terugleggen opvatten als trekken met terugleggen. 14.1

Voorbeeld somregel 4 2 6 1 4 3 6 0 . . = + ≈ 0,333 10 3 10 3 4 0 6 3 In een vaas zitten 4 rode, 2 blauwe en 4 groene knikkers, Nancy pakt 3 knikkers uit de vaas. a P(2 of 3 rood) = P(2 rood) + P(3 rood) b P(minder dan 2 groen) = P(0 groen) + P(1 groen) 4 2 6 1 4 3 6 0 . . = + ≈ 0,333 10 3 10 3 4 0 6 3 4 1 6 2 . . = + ≈ 0,667 10 3 10 3

De complementregel P(minder dan 8 witte) = P(0 w)+P(1 w)+P(2 w)+ P(3 w)+P(4 w)+P(5 w)+ P(6 w)+P(7 w) = 1 – P(8 witte) P(gebeurtenis + P(complement-gebeurtenis) = 1 P(gebeurtenis) = 1 – P(complement-gebeurtenis) 14.1

Het vaasmodel Bij het pakken van knikkers uit een vaas heb je met combinaties te maken. P(2r, 2w, 1b) = ? Volgens de kansdefinitie van Laplace is die kans Het aantal mogelijke uitkomsten is het aantal manieren om 5 knikkers uit de totaal 15 knikkers te pakken. Dat kan op manieren. Het aantal gunstige uitkomsten is het aantal manieren om 2r uit de 8r, 2w uit 4w en 1b uit 3b te pakken. Dat kan op P(4r, 1w, 2b) = ≈ 0,168 aantal gunstige uitkomsten aantal mogelijke uitkomsten 15 5 8 2 4 2 3 1 . . manieren. 2+2+1=5 8 2 4 2 3 1 . . 8+4+3=15 15 5 14.1

Binomiaal kansexperiment Bij een binomiaal kansexperiment is : n het aantal keer dat het experiment wordt uitgevoerd X het aantal keer succes p de kans op succes per keer de kans op k keer succes is gelijk aan P(X = k) = · pk · (1 – p)n – k. n k 14.1

De notaties binompdf(n, p, k) en binomcdf(n, p, k) 14.1

opgave 2 a P(3 rode) = ≈ 0,326 b P(4 rode) = ≈ 0,269 c P(3 rode, 2 witte en 1 zwarte) = ≈ 0,210 d P(3 rode, 2 witte en 1 zwarte) = ≈ 0,136 e P(5 keer pakken) = ≈ 0,033 f P(7 keer pakken) = P(bij de eerste zes keer 2 rode) · P(rode) ≈ 0,163

opgave 8 a P(elk aantal ogen 4 keer) = Alternatieve uitwerking P(zes keer 2, vier keer 3 en zes keer geen 2 en 3) = P(bij de tiende worp evenveel als bij de derde worp) = ≈ 0,015 ≈ 0,015 b ≈ 0,025 ≈ 0,025 c

opgave 10 a P(2 rode) P(rode en zwarte) = P(r z) + P(z r) b

opgave 10 c P(rode en zwarte) = 2 · P(r z) Voer in y1 = en maak een tabel. x = 7 geeft y1 ≈ 0,286 x = 8 geeft y1 ≈ 0,429 x = 23 geeft y1 ≈ 0,403 x = 24 geeft y1 ≈ 0,391 Dus 8, 9, 10, 11, ……, 22 of 23 knikkers. d

Werkschema: het maken van opgaven over binomiale kans- experimenten Omschrijf de betekenis van de toevalsvariabele X Noteer de gevraagde kans met X en herleid deze kans tot een vorm met binompdf of binomcdf. Bereken de gevraagde kans met de GR. P(X minder dan 4) = P(X < 4) = P(X ≤ 3) P(X tussen 5 en 8) = P(X ≤ 7) – P(X ≤ 5) = P(X = 6) + P(X = 7) 14.1

Kansbomen Bij het uitvoeren van 2 of meer kansexperimenten kun je een kansboom gebruiken. Je gaat als volgt te werk : Zet de uitkomsten bij de kansboom. Bereken de kansen van de uitkomsten die je nodig hebt. Vermenigvuldig daartoe de kansen die je tegenkomt als je de kansboom doorloopt van START naar de betreffende uitkomst. 14.2 13

Draaiende schijven Bij het draaien van de schijven hoort de volgende kansboom 14.2

opgave 15 a P(Esther 2 rode kaarten) P(Esther 2 kaarten van dezelfde kleur) = P(r r) + P(b b) + P(w w) + P(g g) + P(z z) P(Marleen wint) = P(Marleen wint) = P(g g) + P(w w) b c d

opgave 17 a b P(Anton pakt zwarte knikker) = P(mz) P(Anton pakt rode knikker) = P(krI) + P(mrII) P(Anton pakt twee keer wit) = P(kwkw) P(Anton pakt twee keer rood) = P(krIkrI) + P(krImrII) + P(mrIIkrI) + P(mrIImrII) c ≈ 0,586 d ≈ 0,036 e ≈ 0,318

opgave 18 a P(Evelien pakt rood) = P(>4, rI) + P(≤4, rII) P(Evelien pakt drie keer rood) P(Evelien pakt twee keer zwart) = P(≤4, z, ≤4, z) ≈ 0,590 b ≈ 0,206 c ≈ 0,071

Normale verdeling Werkschema: aanpak bij opgaven over de normale verdeling Schets een normaalkromme en verwerk hierin µ, σ, l, r en opp. Kleur het gebied dat bij de vraag hoort. Bereken met de GR het ontbrekende getal. Beantwoord de gestelde vraag. 14.3

14.3

Grenzen berekenen met de GR De oppervlakte links van a is gelijk aan 0,56 Je kunt de bijbehorende grens met de GR berekenen. We gebruiken hierbij de notatie a = invNorm(0.56, 18, 3) 0.56 de oppervlakte links van a 18 het gemiddelde μ 3 de standaardafwijking σ Is de oppervlakte onder de normaalkromme links van a bekend, dan is a = invNorm(opp links, μ, σ) 14.3

opgave 22 a opp = normalcdf(1000, 1099, 1005, 6) ≈ 0,798 Dus 79,8%. b opp = 2 · normalcdf(–1099, 1001, 1005, 6) ≈ 0,505 Dus van 50,5%.

opgave 22 c TI normalcdf(–1099, 1000, µ, 8) = 0,02 Voer in y1 = normalcdf(–1099, 1000, x, 8) en y2 = 0,02 De optie intersect geeft x ≈ 1016,4. Dus instellen op een gemiddelde van minstens 1016,4 gram. Casio y1 = P((1000 – x) : 8) en y2 = 0,02.

Normaal-waarschijnlijkheidspapier In figuur 8.20 is een normaalkromme getekend. Onder de normaalkromme is de bijbehorende relatieve cumulatieve frequentiepolygoon getekend. In figuur 8.21 is de schaal op de verticale as veranderd. Vanaf 50% wordt de schaal zowel naar boven als naar beneden uitgerekt en wel zodanig, dat de grafiek een rechte lijn is. Papier met deze schaalverdeling heet normaal-waarschijnlijkheidspapier. 14.3

opgave 29 a Bij 50% hoort µX ≈ 74. Bij 84% hoort µX + σX ≈ 93. Dus µX ≈ 74 en σX ≈ 93 – 74 = 19. b Zie figuur Lijn door de punten (68, 50) en (79, 84). c Het snijpunt is het punt (59, 21). Dat betekent dat van beide toevalsvariabelen 21% van de waarnemingen onder de 59 ligt.

werkschema : zo onderzoek je of bij een verdeling een normale benadering is toegestaan en zo schat je μ en σ. 1 Bereken van elke klasse de relatieve cumulatieve frequentie. 2 Zet deze relatieve cumulatieve frequenties uit op normaal-waarschijnlijkheidspapier, telkens boven de rechtergrens van de klasse. 3 Ga na of de punten bij benadering op een rechte lijn liggen. Zo ja, dan is de normale benadering toegestaan. Teken de lijn. 4 Lees op de horizontale as μ af bij de relatieve cumulatieve frequentie 50. 5 Lees op de horizontale as μ + σ af bij de relatieve cumulatieve frequentie 84. Hieruit volgt σ . 14.3

Som en verschil van toevalsvariabelen De som en het verschil van de normaal verdeelde toevalsvariabelen X en Y zijn weer normaal verdeeld. De verwachtingswaarde en de standaardafwijking van S = X + Y en V = X – Y bereken je met µS = µX + µY en respectievelijk µV = µX – µY en De formules voor σS en σV mag je alleen gebruiken als X en Y onafhankelijk zijn. Voor de som S = X1 + X2 + X3 + … + Xn van n onafhankelijke toevalsvariabelen X1, X2, …, Xn geldt en 14.3

opgave 31 De totale afhandelingstijd is T = X + Y. T is normaal verdeeld met µT = µX + µY = 170 + 110 = 280 seconden en 5 minuten = 300 seconden opp = normalcdf(300, 1099, 280, ) ≈ 0,083 Dus in 8,3% van de gevallen. seconden

opgave 38 De totale tijdsduur is T = X1 + X2 + X3 + X4. T is normaal verdeeld met µT = 12 + 8 + 20 + 18 = 58 seconden en opp = normalcdf(60, 1099, 58, ) ≈ 0,144 Dus in 14,4% van de gevallen. seconden

Steekproef van lengte n Gegeven is een populatie met een normaal verdeelde toevalsvariabele X. Bij een steekproef van lengte n uit deze populatie is Xsom = X + X + X + … + X (in termen) normaal verdeeld met en 14.4

opgave 44 Xsom is normaal verdeeld met = 3 · 40 = 120 minuten en minuten. P(Xsom > 135) = normalcdf(135, 1099, 120, ) ≈ 0,140

Het steekproefgemiddelde - wet: Bij een normaal verdeelde toevalsvariabele X met gemiddelde µX en standaardafwijking σX is bij steekproeflengte n het steekproefgemiddelde normaal verdeeld met en Bij een grote steekproef, bijvoorbeeld een steekproef met n > 1000, zal de spreiding heel klein worden. Het steekproefgemiddelde zal dan heel dicht bij het theoretische gemiddelde µX liggen. Je krijgt dus een goede schatting van µX door te berekenen voor grote waarden van n. 14.4

opgave 46 a P(X < 25 ⋁ X > 35) = 2 · P(X < 25) = 2 · normalcdf(–1099, 25, 30, 4) ≈ 0,211

opgave 46 b is normaal verdeeld met en = 2 · normalcdf(–1099, 25, 30, ) ≈ 0,000 000 02 ≈ 0,000

opgave 46 c opp links van 30 – a is = 0,025 30 – a = invNorm(0.025, 30, ) 30 – a ≈ 28,25 a ≈ 1,75

opgave 46 d opp links van 29 is 0,0005 is normaal verdeeld met en TI normalcdf(–1099, 29, 30, ) = 0,0005 Voer in y1 = normalcdf(–1099, 29, 30, ) en y2 = 0,0005. De optie intersect geeft x ≈ 173,2. Dus n > 173. Casio Voer in y1 = P((29 – 30) : (4 : )) en y2 = 0,0005.

opgave 49 a TI normalcdf(–1099, 100, 102, σX) = 0,15 Voer in y1 = normalcdf(–1099, 100, 102, x) en y2 = 0,15. De optie intersect geeft x ≈ 1,93. Dus σ ≈ 1,93 cl. Casio Voer in y1 = P((100 – 102) : x) en y2 = 0,15. Dus σ = 1,93 cl.

opgave 49 b is normaal verdeeld met = 102 cl en cl. = normalcdf(–1099, 100, 102, ) ≈ 0,0002 X = het aantal kratten waarbij de gemiddelde vulinhoud per fles minder is dan 100 cl. X is binomiaal verdeeld met n = 25 en p = 0,0002. P(X ≥ 1) = 1 – P(X = 0) = 1 – binompdf(25, 0.0002, 0) ≈ 0,005 c

Discrete en continu verdelingen Bij een continu toevalsvariabele kan elke waarde tussen twee uitkomsten aangenomen worden. Bij een discrete toevalsvariabele worden alleen een aantal ‘losse’ waarden aangenomen. Bij het overstappen van een discrete toevalsvariabele X op een continu toevalsvariabele Y moet je een continuïteitscorrectie van 0,5 toepassen: P(X ≤ k) = P(Y ≤ k + 0,5). 14.5

opgave 56 a P(X < 20) = P(X ≤ 19) = P(Y ≤ 19,5) = normalcdf(–1099 , 19.5, 28.2, 4.3) ≈ 0,022 Dus in 2,2%. P(X = 30) = P(29,5 ≤ Y ≤ 30,5) = normalcdf(29.5, 30.5, 28.2, 4.2) ≈ 0,085 P(X > 25) = 1 – P(X ≤ 25) = 1 – P(Y ≤ 25.5) = 1 – normalcdf(–1099, 25.5, 28.2, 4.3) ≈ 0,735 b c

Van binomiale verdeling naar normale verdeling verwachtingswaarde standaardafwijking Voor grote n mag je de binomiale verdeling benaderen door een normale verdeling. De binomiaal verdeelde toevalsvariabele X kan voor grote n benaderd worden door de normaal verdeelde toevalsvariabele Y met µY = np en Voorwaarde is dat np > 5 en n(1 – p) > 5.

opgave 58 a P(X ≤ 100) = binomcdf(300, 0.37, 100) ≈ 0,104 Y is normaal verdeeld met µY = µX = np = 300 · 0,37 = 111 en P(X ≤ 100) = P(Y ≤ 100,5) = normalcdf(–1099, 100.5, 111, ) ≈ 0,105 b

opgave 59 a X = het aantal personen dat komt opdagen. P(X ≤ 1300) = binomcdf(1430, 0.9, 1300) ≈ 0,884 De gevraagde kans is 0,844. Stel hij noteert maximaal n reserveringen. Voor welke n is P(X ≤ 1300) > 0,99 ? TI binomcdf(n, 0.9, 1300) > 0,99 Voer in y1 = binomcdf(x, 0.9, 1300). Maak een tabel en lees af voor n = 1416 is y1 ≈ 0,9911 voor n = 1417 is y1 ≈ 0,9888. Dus hij noteert maximaal 1416 reserveringen. Casio Benader X door de normaal verdeelde toevalsvariabele Y met µY = µX = np = 0,9n en P(X ≤ 1300) = P(Y ≤ 1300,5), dus Voer in y1 = P((1300,5 – 0,9x) : ) en y2 = 0,99 De optie intersect geeft x ≈ 1415,8. b = 0,99

opgave 61 E(X) = 1440, dus np = 1440 σX = 30, dus 1440(1 – p) = 30 1440 – 1440p = 900 –1440p = –540 p = 0,375 np = 1440 0,375n = 1440 n = 3840