Machten en logaritmen Een stukje geschiedenis Eerst was er het bepalen van de som. Om een som ongedaan te maken kwam er het verschil. Om sneller een herhaalde som te bepalen kwam er het product. Dat vroeg om het principe van verdeel. Vervolgens ging het om de macht. Die riep de wortel over zich uit. Maar moest ook zijn gelijke vinden in de logaritme.

Rekenregels voor machten en logaritmen 9.1

Vergelijkingen van de vorm glog(A) = glog(B) glog(A) = B geeft A = gB gA = B geeft A = glog(B) glog(A) = glog(B) geeft A = B gA = gB geeft A = B AB = AC geeft A = 0 ⋁ B = C of een substitutie. Controleer bij logaritmische vergelijkingen of de logaritmen van de oorspronkelijke vergelijking gedefinieerd zijn voor de gevonden waarden. 9.1

Voorbeeldopgaven

Opgave 5

opgave 9a 5log(x) = 2 + ½ · 5log(3) 5log(x) = 5log(52) + 5log(3½) 5log(x) = 5log(25) + 5log(√3) 5log(x) = 5log(25√3) x = 25√3 voldoet

opgave 9b 3log(x + 4) + 1 = 2 · 3log(x - 2) 3log(x + 4) + 3log(3) = 3log((x – 2)2) 3log(3(x + 4)) = 3log((x – 2)2) 3log(3x + 12) = 3log((x - 2)2) 3x + 12 = x2 – 4x + 4 x2 – 7x – 8 = 0 (x – 8)(x + 1) = 0 x = 8 ⋁ x = -1 voldoet voldoet niet

Vergelijkingen met logaritmen 9.1

opgave 14a 3x · 2log(x + 1) = ½log(x + 1) 3x · 2log(x + 1) = -2log(x + 1) 3x = -1 ⋁ 2log(x + 1) x = -⅓ ⋁ x + 1 = 1 x = -⅓ ⋁ x = 0 voldoet voldoet

opgave 19a 3x+2 + 3x = 600 32 · 3x + 3x = 600 9 · 3x + 3x = 600 10 · 3x = 600 3x = 60 x = 3log(60)

De standaardgrafiek y = gx Asymptoot is een lijn waar de grafiek op den duur mee samenvalt. 1 1 x x O O domein ℝ bereik 〈0,〉 de x-as is asymptoot 9.2

De standaardgrafiek y = glog(x) 1 1 x x O O 1 1 stijgend domein 〈0, 〉 bereik ℝ de y-as is asymptoot dalend 9.2

Transformaties toepassen op exponentiele en logaritmische standaardfuncties. Opgave 23 9.2

opgave 27 f(x) = 3x - 1 – 2 en g(x) = 4 – 3x a f(x) = g(x) x = 3log(4½) yA = g(3log(4½)) = 4 – 4½ = -½ Dus A(3log(4½)), -½). b f(p) – g(p) = 6 3p - 1 – 2 – (4 – 3p) = 6 3p · 3-1 – 2 – 4 + 3p = 6 1⅓ · 3p = 12 3p = 9 p = 2 9.2

opgave 31 en ⋁ ⋁ ⋁ ⋁ ⋁ ⋁ ⋁ voldoet voldoet ⋁ geeft geeft

opgave 37a f(x) = 2log(x) en g(x) = 2log(x – 3) Stel xB = p, dan is xC = 3p. f(p) = g(3p) = q geeft 2log(p) = 2log(3p – 3) p = 3p – 3 -2p = -3 p = 1½ q = f(p) = f(1½) = 2log(1½)

opgave 37b yB = 2 · yE , dus f(r) = 2 · g(r) f(r) = 2 · g(r) geeft 2log(r) = 2 · 2log(r – 3) 2log(r) = 2log((r – 3)2) r = (r – 3)2 r = r2 – 6r + 9 r2 – 7r + 9 = 0 D = 49 – 4 · 1 · 9 = 13 voldoet niet voldoet

De afgeleide van f(x) = ax f(x) = ax geeft f’(x) = f’(0) · ax Het getal e In opgave 42 heb je gezien dat dus voor a ≈ 2,718 geldt [ax]’ = 1 · ax. f(x) = ex geeft f’(x) = ex Zo gelden voor e ook de rekenregels voor machten 9.3

Functies met e-machten differentiëren 9.3

opgave 51 f(x) = (x2 – 3)ex a f(x) = 0 geeft (x2 – 3)ex = 0 x2 – 3 = 0 ⋁ ex = 0 x2 = 3 ⋁ geen opl. x = √3 ⋁ x = -√3 De nulpunten zijn √3 en -√3. b f(x) = (x2 – 3)ex geeft f’(x) = 2xex + (x2 – 3)ex = (x2 + 2x – 3)ex f’(x) = 0 geeft (x2 + 2x – 3)ex = 0 x2 + 2x – 3 = 0 ⋁ ex = 0 (x + 3)(x – 1) = 0 x = -3 ⋁ x = 1 max. is f(-3) = 6e-3 = min. is f(1) = -2e c Als x heel klein is, dan is ex ≈ 0, dus is de functiewaarde vrijwel 0, dus y = 0 is horizontale asymptoot. d f(x) = p heeft precies twee oplossingen voor p = ⋁ -2e < p ≤ 0.

f’(x) = = eu · (½x – 2) = (½x – 2) f’(x) = 0 geeft (½x – 2) = 0 opgave 56a f(x) = y = = eu met u = ¼x2 – 2x + 2 f’(x) = = eu · (½x – 2) = (½x – 2) f’(x) = 0 geeft (½x – 2) = 0 ½x – 2 = 0 ⋁ = 0 x = 4 geen opl. min. is f(4) = e4 – 8 + 2 = e-2 = Bf = 9.3

opgave 56b O = OP · PQ = p · f(p) = ½p2 – 2p + 1 = 0 D = 4 – 4 · ½ · 1 = 2 De oppervlakte is maximaal voor geeft

Logaritmen met grondtal e De natuurlijke logaritme van een getal a is de logaritme van a met grondtal e, dus ln(a) = elog(a) Voor de natuurlijke logaritme gelden de rekenregels voor logaritmen. 9.4

opgave 64 a 3x ln(x) = 2 ln(x) 3x = 2 ⋁ ln(x) = 0 x = ⋁ x = 1 vold. vold. b ln2(x) – ln(x) = 0 Stel ln(x) = p p2 – p = 0 p(p – 1) = 0 p = 0 ⋁ p = 1 ln(x) = 0 ⋁ ln(x) = 1 x = 1 ⋁ x = e c x2 ln(x + 1) = 4 ln(x + 1) x2 = 4 ⋁ ln(x + 1) = 0 x = 2 ⋁ x = -2 ⋁ x + 1 = 1 x = 2 ⋁ x = -2 ⋁ x = 0 vold. vold.niet vold.

Exponentiële en logaritmische functies differentiëren 9.4

f’(x) = 2 · 22x · ln(2) – 2x · ln(2) = (2 · 22x – 2x)ln(2) opgave 66a f(x) = 22x – 2x f’(x) = 2 · 22x · ln(2) – 2x · ln(2) = (2 · 22x – 2x)ln(2) = (22x + 1 – 2x)ln(2) f’(x) = 0 geeft (22x + 1 – 2x)ln(2) = 0 22x + 1 – 2x = 0 22x + 1 = 2x 2x + 1 = x x = -1 f(-1) = 2-2 – 2-1 = ¼ - ½ = - ¼ Bf = [- ¼ ,  〉 9.4

opgave 66b f’(0) = (20 + 1 – 20) · ln(2) = (2 – 1)ln(2) = ln(2) Kijkend naar de grafiek wordt het antwoord 0 < a < ln(2) ⋁ a > ln(2)

opgave 75a geeft f(x) = 0 geeft 10 ln(x) = 0 ln(x) = 0 x = 1 Dus A(1, 0). Stel k: y = ax + b met a = f’(1) = k: y = 10x + b door A(1, 0) Dus k: y = 10x - 10 0 = 10 + b -10 = b 9.4

opgave 75b f’(x) = 0 geeft 10 – 10ln(x) = 0 ln(x) = 1 x = e max. is f(e) =

opgave 75c Stel xB = p, dan is xC = 2p. f(p) = f(2p) = q geeft 10ln(p) = 5ln(2p) 2ln(p) = ln(2p) ln(p2) = ln(2p) p2 = 2p p2 – 2p = 0 p(p – 2) = 0 p = 0 ⋁ p = 2 vold.niet vold. q = f(p) = f(2) =