De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een rechte lijn. algemene vergelijking : y = ax + b a =hellingsgetal of richtingscoëfficient altijd 1 naar rechts a omhoog b = “begingetal” of snijpunt met de verticale as horizontale lijn a = 0  y = getal 2.1

Teken de grafiek van m: y = ¾x - 2 1) gebruik het snijpunt met de verticale as en de r.c. 1 2 x y snijpunt (0,-2) · r.c. = ¾ noemer altijd naar rechts teller naar boven of beneden · teken de rechte lijn 4 3 voor een rechte lijn heb je maar 2 punten nodig 2.1

2) maak een tabel met 2 punten 1-2y 40x 1 2 x y teken de grafiek m.b.v. de tabel voor een rechte lijn heb je maar 2 punten nodig Teken de grafiek van m: y = ¾x - 2 · · 2.1

opgave y x · · ateken de lijn p : y = -2,5x + 6 (0, 6) en (2, 1) en de lijn q : y = 1,2x – 3 (0, -3) en (5, 3) blijn p snijdt de y-as in A lijn k gaat door A en is evenwijdig met de lijn q a = 1,2 en b = 6 k : y = 1,2x + 6 clijn l gaat door O(0, 0)  b = 0 en is evenwijdig met p  a = -2,5 l : y = -2,5x dlijn q snijdt de y-as in B horizontale lijn m gaat door B m : y = -3 · · p q k l Bm A

opgave 12 lijn n gaat door het punt A(18, 50) en is evenwijdig met de lijn p: y = -2,5x + 18 an : y = ax + b a = rc n = rc p = -2,5 n : y = -2,5x + b door A(18, 50) dus n : y = -2,5x + 95 bsnijpunt met de x-as, dus y = 0 -2,5x + 95 = 0 -2,5x = -95 x = 38  dus P(38, 0) snijpunt met de y-as, dus x = 0 y = -2, = 95  dus Q(0, 95) cx R = -20 invullen  y R = -2,5 × = 145 dlos op : -2,5x + 95 = 45 -2,5x = -50 x = 20  dus x S = = -2,5 × 18 + b 50 = b 95 = b

werkschema : het oplossen van lineaire vergelijkingen voorbeeld4(2x – 3) = 6x – 8 1staan er haakjes ? werk ze weg8x – 12 = 6x – 8 2termen met x naar links, de rest naar rechts8x – 6x = herleid beide leden2x = 4 4deel door het getal voor xx = 4/2 = 2 2.1

opgave 16 l : y = 2,4 m : y -1,8x + 6 n : y = 1,2x + 3,6 abereken snijpunt S van de lijnen m en n -1,8x + 6 = 1,2x + 3,6 -3x = -2,4 x = 0,8 dus x S = 0,8 y S = -1,8 × 0,8 + 6 = 4,56 dus S(0,8 ; 4,56) y m n l S ·

opgave 16 l : y = 2,4 m : y -1,8x + 6 n : y = 1,2x + 3,6 blijn l snijdt de lijnen m en n in de punten A en B bereken lengte AB -1,8x + 6 = 2,4 -1,8x = -3,6 x = 2  x A = 2 1,2x + 3,6 = 2,4 1,2x = -1,2 x = -1  x B = -1 dus AB = = y m n lBA

opgave 16 l : y = 2,4 m : y -1,8x + 6 n : y = 1,2x + 3,6 clijn m snijdt de x-as in C en lijn n snijdt de x-as in D bereken lengte CD -1,8x + 6 = 0 -1,8x = -6 x = 3⅓  x C = 3⅓ 1,2x + 3,6 = 0 1,2x = -3,6 x = -3  x D = -3 dus CD = 3⅓ - -3 = 6⅓ y m n l -2-3 DC

Richtingscoëfficiënt berekenen yByB y A 0 y · · x ∆x ∆y omhoog ∆xrechts dus r.c. = ∆y : ∆x xAxA xBxB A B y B – y A = ∆y x B – x A = ∆x 2.2

voorbeeld · · x 4 -3 ∆yomhoog ∆xrechts r.c. = ∆y : ∆x rc = -3/4 = -¾ m: y = ax + b y = -¾x + b door A(1, 4) 4 = -¾ · 1 + b 4 = -¾ + b 4¾ = b  b = 4¾ m : y = -¾x + 4¾ 15 A B y B – y A = x B – x A = Staan er bij de assen andere letters dan gebruik je deze letters in de formule, de manier blijft hetzelfde. y Gegeven zijn de punten A(1, 4) en B(5, 1). Stel de formule op van de lijn m door de punten A en B. 2.2

opgave 22b · · t 25 ∆Romhoog ∆trechts r.c. = ∆R : ∆t rc = 25/25 = 1 R = at + b R = 1t + b door (35, 10) 10 = 1 × 35 + b 10 = 35 + b -25 = b  b = -25 R = t ∆R = ∆t = R R is een lineaire functie van t met de punten (35,10) en (60,35)

opgave 24 aformule : B = aw + b met a = bij w = 89 hoort B = 120,13 bij w = 112 hoort B = 145,89 B = 1,12w + b w = 89 en B = 120,13 dus B = 1,12w + 20,45 bhet vastrecht is € 20,45 de prijs per m 3 water is € 1,12 cw = 97 geeft B = 1,12 × ,45 = 129,09 ze moeten € 129,09 betalen d1,12w + 20,45 = 161,57 1,12w = 141,12 w = 126  ze hebben 126 m 3 water verbruikt a = = = 1,12 ∆B ∆w 145,89 – 120, ,13 = 1,12 × 89 + b 120,13 = 99,68 + b 20,45 = b

Formules van lijnen bij het opstellen van een lineaire formule kunnen de volgende situaties voorkomen : 1de formule volgt uit de tekst 2uit de grafiek zijn het snijpunt met de verticale as en de r.c. af te lezen 3een punt en de r.c. zijn gegeven 4twee punten zijn gegeven 2.2

1 de formule volgt uit de tekst Een zwembad wordt gevuld met water op t = 0 is de waterhoogte 5 cm. iedere minuut stijgt het water met 7 cm. in de formule is de hoogte h in cm als functie van de tijd t in minuten de formule wordt dan : h = 5 + 7t of h = 7t

delen door hetzelfde getal 2 uit de grafiek zijn het snijpunt met de verticale as en de r.c. af te lezen 1 2 x y · · -1,5-3omhoog 12rechts : 2 dus r.c. = -1,5 snijpunt met de verticale as is (0, 1) de formule wordt dan y = -1,5x + 1 altijd 1 naar rechts

3 een punt en de r.c. zijn gegeven de lijn m gaat door het punt A(2, 6) en r.c. m = y · · A x 1 -4 alg. verg. : y = ax + b r.c. m = a = -4 y = -4x + b de lijn gaat door het punt (2, 6) 6 = -4 · 2 + b 6 = -8 + b = b 14 = b b = 14 dus m : y = -4 x

4 twee punten zijn gegeven N · · t 60 3 omhoog 120rechts : 20 dus r.c. = 3 snijpunt met de verticale as is (0, 20) de formule wordt dan N = 3t

Opties van de GR Op de GR kun je formules invoeren en vervolgens de grafieken plotten. De GR bezit opties om : bij een gegeven x de y-waarde te berekenen de coördinaten van snijpunten te berekenen de coördinaten van toppen te berekenen de coördinaten van de snijpunten van een grafiek met de x-as te berekenen bij een formule een tabel laten maken 2.3

Afspraak Hoe schrijf je de uitwerking op bij gebruik van de GR ? 1noteer de formules die je invoert, dus schrijf op y 1 = … en y 2 = … 2noteer de optie die je gebruikt en geef het resultaat 3beantwoord de gestelde vraag 2.3

Bij het werken met wiskundige modellen moet je voortdurend rekening houden met de verschillende elementen uit het schema modelvorming. praktisch probleem met gegevens en tabellen wiskundig model voorspellingen en conclusies gegevens en tabellen pas het model toe controle stel het model bij 2.3

opgave 41 kaars I : L = 18 – 1,5t√t kaars II : L = 15 – 1,9t t = 0  uur avoer de formules in t = 4  I(6cm),II(7,4cm) bplot de grafieken c20.30 uur  t = 0,5 L kaars1 ≈ 17,5 cm uur  t = 1 ⅚ L kaars1 ≈ 14,3 cm. d22.40 uur  t = 2⅔ L kaars2 ≈ 9,9 cm. t00,511,52 kaars I1817,4716,515,24413,757 kaars II1514,0513,112,1511, ∙ ∙ 20 ∙ ∙  tijd in uren  lengte in cm 4 ∙ ∙

opgave 41 t00,511,52 kaars I1817,4716,515,24413,757 kaars II1514,0513,112,1511, ∙ ∙ 20 ∙ ∙  tijd in uren  lengte in cm 4 ∙ ∙ 3,43 8,5 12 eoptie intersect x = 3,43 en y = 8,5 bij t ≈ 3,43 hoort 23.25uur de kaarsen zijn dan 8,5cm lang fvoer in y 3 = 12 optie intersect met y 2 en y 3 geeft x ≈ 1,58 1,58 uur = 1 uur en 35 minuten kaars I is dan 15,0 cm lang goptie zero (of ROOT) kaars I  x = 5,24 na 5 uur en 14 min is kaars I op kaars II  5,0 cm. ht = 2,5  lengte kaars I = 12,1cm. en lengte kaars II = 10,3 cm. dus het lengteverschil is 1,8 cm. 1,58

opgave 36 N = 480t² - 40t³ t = 0 om 9.00 uur de dierentuin sluit om uur avoer in y 1 = 480x² - 40x³ uur  3.50 uur later t = 3 ⅚  N = 4800,2 dus 4800 mensen bhet drukst  maximum optie maximum  top ( 8, ) 8 uur later dus om uur dan zijn er bezoekers cvoer in y 2 = 8000 optie intersect x ≈ 5,58 v x = 10 0,58 uur = 0,58 x 60 ≈ 35 minuten 5 uur en 35 min. later  uur 10 uur later  uur dus om uur of uur je moet de uitkomsten van een model ‘terugvertalen’ naar de gegeven situatie t N 0 (8,10240) 5,

opgave 39 avoer in y 1 = -45x x 2 – bvoer in y 2 = optie intersect x ≈ 23 en x ≈ 48,1 de reclamekosten zijn ongeveer € of € cvoer in y 3 = optie intersect x ≈ 25,4 en x ≈ 46,6 de reclamekosten liggen tussen € en € doptie maximum x = 37,0 en y = de maximale winst is ongeveer € ex = 23 geeft y 1 = x = 46 geeft y 1 = x 100% = 26,98% dus een toename van 27,0% x W ∙ ∙ ∙ ,1

Algebraïsch oplossen van kwadratische vergelijkingen 1het type x² = getal 2ontbinden in factoren 3de abc-formule 2.4

1 x² = getal x = √getalv x = -√getal voorbeeld 1 x² = 7 x = √7v x = -√7 voorbeeld 2 x² = -16 x = √-16  k.n. heeft dus geen oplossingen voorbeeld 3 (x + 5)² = 16 x + 5 = √16v x + 5 = -√16 x + 5 = 4v x + 5 = -4 x = 4 – 5v x = -4 – 5 x = -1v x = -9 ax² = positief getal 2 oplossingen bx² = 0 x = 0  1 oplossing cx² = negatief getal k.n.  geen oplossing 2.4

2 Ontbind in factoren amaak het rechterlid nul door alle termen naar het linkerlid te brengen bvereenvoudig het linkerlid zo ver mogelijk contbind het linkerlid in factoren dA · B = 0  A = 0 v B = 0 x² - 3x = 5x – 15 x² - 3x – 5x + 15 = 0 x² - 8x + 15 = 0 ( x – 3 )( x – 5 ) = 0 x – 3 = 0 v x – 5 = 0 x = 3 v x = 5 voorbeeld 1 ad a ad b ad c ad d prod= opgeteld = -8 product =

3 De abc-formule bij kwadratische vergelijkingen kun je de oplossing berekenen met de abc – formule als ontbinden in factoren niet lukt de vergelijking eerst gelijk aan 0 stellen x = - b + √D v x = - b - √D 2a 2a D = b² - 4ac D > 0  2 oplossingen D = 0  1 oplossing D < 0  0 oplossingen 2.4

De vergelijking x² = 2x + 3 kun je op 2 manieren oplossen 1algebraïsch x² = 2x + 3 x² - 2x – 3 = 0 ( x + 1 )( x - 3 ) = 0 x + 1 = 0 v x - 3 = 0 x = -1 v x = prod=

2grafisch-numeriek (m.b.v. GR) de oplossingen van de vergelijking x² = 2x + 3 zijn de x-coördinaten van de snijpunten van de grafieken van f(x) = x² en g(x) = 2x + 3 voer in y 1 = x² en y 2 = 2x + 3 optie intersect geeft x = -1 v x = 3 f(x) = 0  nulpunten berekenen optie zero of ROOT 2.4

y x x² = 2x + 3 y 1 = x² y 2 = 2x + 3 optie intersect x = -1 v x = y1y1 y2y2 Grafisch-numeriek

0,5x² - 7x = 5 y 1 = 0,5x² - 7x y 2 = 5 optie intersect x ≈ -0,681 v x ≈ 14,681 x y y2y2 y1y1 -0,68114,681 0 voorbeeld

y 3 f g x² < 2x + 3 f(x) = x² g(x) = 2x + 3 f(x) = g(x) x² = 2x + 3 x²- 2x – 3 = 0 ( x + 1 )( x - 3 ) = 0 x = -1 v x = 3 aflezen uit de schets -1 < x < 3 0 x werkschema bij het oplossen van ongelijkheden 1schets de grafieken van f en g 2los de vergelijking f(x) = g(x) op 3lees uit de schets de oplossingen af Lees het antwoord af op de x-as f(x) < g(x) wanneer ligt de grafiek van f onder die van g. Los algebraïsch op

x 2 – 4x ≤ -x 2 – 5x + 6 x 2 – 4x = -x 2 – 5x + 6 x 2 + x 2 – 4x + 5x – 6 = 0 2x 2 + x – 6 = 0 D = 1 2 – 4 · 2 · -6 D = = 49 x = (-1 ± √49) : 4 x = 1,5 v x = ≤ x ≤ 1,5 Wanneer ligt de dalparabool onder de bergparabool ? -21,5 voorbeeld 2.4

y 0,83 2,17 0 x h > 9 -5t² + 15t > 9 voer in y 1 = -5x² + 15x y 2 = 9 optie intersect x ≈ 0,83 v x ≈ 2,17 aflezen uit de schets 0,83 < x < 2,17 de bal is 2,17 – 0,83 = 1,3 seconden hoger dan 9 m. y 1 y 2 opgave 49

Via de GR kun je snel toppen van grafieken opsporen hoogste punt  maximum max.  grootste functiewaarde max. is een y-coördinaat laagste punt  minimum max. en min. heten uiterste waarden of extremen 2.5

Berekening van de extreme waarden van een functie f met de GR 1voer de formule in bij y 1 2schets de grafiek 3gebruik de opties maximum en/of minimum bij het berekenen van de extreme waarden 4zet in je schets de coördinaten van de toppen 5noteer de extreme waarden in de vorm : min. is f(…) = … of max. is f(…) = … 2.5

Werkschema: het tekenen van de grafiek van een functie 1Voer de formule in op de GR en zoek een venster, waarbij het verloop van de grafiek goed zichtbaar is. 2Maak een tabel op de GR en zet de tabel in je schrift. 3Gebruik de punten van de tabel om de grafiek nauwkeurig te tekenen. 2.5

f(x) = -0,4x² + 2,4x + 3 ateken mbv GR boptie maximum max. van f is f(3) = 6,6 csymmetrieas : x = 3 df(-3,6) = -10,824 f(1,7) = 5,924 evoer in y 2 = 4 optie intersect x ≈ 0,45 en x ≈ 5,55 x ,555,56 f(x)356,26,66,2530,2 9,28,787, y opgave 52 f 6 x (3 ; 6,6) 4 30,455,55

opgave 56 h = 0,021x(192 – x) ah = 0  0,021x(192 – x) = 0 x = 0 v x = 192 er zit 192 m. tussen de uiteinden op de grond voer in y 1 = 0,021x(192 – x) met Xmin = 0, Xmax = 200, Ymin = 0 en Ymax = 200 optie maximum x = 96 en y = 193,536 dus de boog is 193,5 m. hoog cvoer in y 2 = 165 optie intersect x ≈ 59,14 en x ≈ 132,86 de afstand is 132,86 – 59,14 ≈ 73,7 m , ,14132,86 2.5

opgave 60 ap = aq + b met a = = = -0,125 p = -0,125q + b p = 20 en q = 300 dus p = -0,125q + 57,5 bR = pq R = (-0,125q + 57,5) · q R = -0,125q ,5q c-0,125q ,5q = 0 q 2 – 460q = 0 q(q – 460) = 0 q = 0 v q = 460 voer in y 1 = -0,125x ,5x met Xmax = 460 optie maximum x = 230 en y = 6612,5 q = 230  p = -0,125 · ,5 = 28,75 de ritprijs bij maximale dagopbrengst is €28,75 20 = -0,125 · b 20 = -37,5 + b 57,5 = b ∆p ∆q 2,50 -20