Lineaire functies y is een lineaire functie van x betekent y = ax + b met a = de grafiek is een lijn door het punt (0, b) met richtingscoëfficiënt (helling) a richtingscoëfficiënt a betekent 1 naar rechts en a omhoog. ∆y yB – yA ∆x xB – xA y ∆y = yB – yA = · B yB ∆y · A yA ∆x O xA xB x ∆x = xB – xA 13.1

Dus de temperatuur is bijna 18 ºC. ∆n 32 – 24 ∆T 24 – 19 = = 1,6 opgave 8 a n = aT + b met a = n = 1,6T + b T = 24 en n = 32 Dus n = 1,6T – 6,4 n = 1,6T – 6,4 geeft 1,6T = n + 6,4 T = 0,625n + 4 n = = 22 geeft T = 0,625 · 22 + 4 T = 17,75 Dus de temperatuur is bijna 18 ºC. ∆n 32 – 24 ∆T 24 – 19 = = 1,6 1,6 · 24 + b = 32 38,4 + b = 32 b = –6,4 b c 88 4

Vergelijkingen van de vorm ax + by = c Lineaire vergelijkingen met twee variabelen De algemene vorm van een lineaire vergelijking met de variabelen x en y is ax + by = c. De grafiek van ax + by = c is een rechte lijn. Verticale lijn De lijn l: x = 5 is de vericale lijn door het punt (5, 0). Horizontale lijn De lijn m: y = –3 is de horizontale lijn door het punt (0, –3). 13.1

opgave 11 a 5a – 17 = 3b – 9 –3b = –5a + 8 b = a – 4p + 80 = – q + 125 q = –4p + 45 q = –12p + 135 5(3t – 7) = 3(7 – A) – 8 15t – 35 = 21 – 3A – 8 3A = –15t + 48 A = –5t + 16 5 3 8 3 b 1 3 1 3 c

opgave 15 a l = 50 geeft BMR = 66 + 13,7g + 5h – 6,8 · 50 BMR = 66 + 13,7g + 5h – 340 BMR = 13,7g + 5h – 274 l = 28, g = 68 en BMR = 1700 geeft 66 + 13,7 · 68 + 5h – 6,8 · 28 = 1700 807,2 + 5h = 1700 5h = 892,8 h = 178,56 Zijn lengte is 179 cm. BMR = 66 + 13,7g + 5h – 6,8l g = h – 100 l = 40 b c BMR = 66 + 13,7(h – 100) + 5h – 6,8 · 40 BMR = 66 + 13,7h – 1370 + 5h – 272 BMR = 8,7h - 1576

Rekenregels voor machten 13.2

opgave 19 a b c

opgave 22 a b c

Exponentiële groei Bij exponentiële groei wordt de hoeveelheid telkens met hetzelfde getal vermenigvuldigd. Het getal waarmee je per tijdseenheid vermenigvuldigt, heet de groeifactor per tijdseenheid. Bij exponentiële groei hoort de formule N = b · gt . Hierin is b de beginwaarde en g de groeifactor per tijdseenheid. 13.2

opgave 26 a NL = 700 · 1,07t NK = 6t + 45 Op 1 januari 2000 is NL = 700 · 1,075 ≈ 982. Op 1 januari 2001 is NL = 700 · 1,076 ≈ 1051. De toename is 1051 – 982 = 69 Dit is Op 1 januari 2006 is NL = 700 · 1,0711 ≈ 1473. Op 1 januari 2007 is NL = 700 · 1,0712 ≈ 1577. De toename is b c

opgave 26 d Op 1 januari 2000 is NK = 6 · 5 + 45 = 75. Op 1 januari 2001 is NK = 6 · 6 + 45 = 81. De toename is 81 – 75 = 6 Dit is Op 1 januari 2006 is NK = 6 · 11 + 45 = 111. Op 1 januari 2007 is NK = 6 · 12 + 45 = 117. De toename is 117 – 111 = 6 Bij de broedparen van de lepelaar is de toename in procenten in 2000 en 2006 gelijk en bij de broedparen van de grauwe kiekendief is dit niet zo. Maar bij de grauwe kiekendief is de toename van het aantal broedparen in 2000 en 2006 wel gelijk. e

opgave 29 a b c

opgave 30 a b

Groeifactoren omzetten naar andere tijdseenheden Is de groeifactor per tijdseenheid g, dan is de groeifactor per 3 tijdseenheden g3. Bij exponentiële groei met groeifactor g per tijdseenheid is de groeifactor per n tijdseenheden gelijk aan gn. Is de groeifactor 4 per uur dan is per kwartier de groeifactor 40,25 ≈ 1,414 per dag de groeifactor 424 ≈ 2,814 × 1014 13.3

opgave 36 a g45 jaar = 0,70 gjaar = gjaar ≈ 0,992 De afname per jaar is 0,8%. g10 jaar = gjaar ≈ 0,741 De afname per jaar is 25,9%. g4 jaar = De toename per jaar is 9,1%. b c

opgave 36 d g12 jaar = 1,38 gjaar = De toename per jaar is 2,7%. g15 jaar = gjaar ≈ 1,0097 e

opgave 41 a g102 jaar = gjaar = gjaar ≈ 1,028 C = b · 1,028t Op t = 13 is C = 218 C = 153 · 1,028t b · 1,02813 = 218 b = b ≈ 153

opgave 41 b Bij 1 januari 2000 hoort t = 125. Bij 1 januari 2001 hoort t = 126. t = 125 geeft C = 153 · 1,028125 ≈ 4829 t = 126 geeft C = 153 · 1,028126 ≈ 4964 In het jaar 2000 zijn er 4964 – 4829 = 135 postzegels verschenen. Dat moet voor het jaar 2000 zijn gebeurd. Voer in y1 = 153 · 1,028x en maak een tabel van bijvoorbeeld t = 100 tot t = 125 en kijk waar er voor het eerst 100 bij komt. Je ziet: voor t = 114 is C = 3563,7 voor t = 115 is C = 3663,5 voor t = 116 is C = 3766,1. Dus van t = 115 tot t = 116 is er voor het eerst meer dan 100 bijgekomen. Bij t = 115 hoort 1 januari 1990. Dus in het jaar 1990. c

Lineaire en exponentiële groei Bij lineaire groei hoort de formule N = at + b Om a te berekenen gebruik je het verschil van de twee gegeven N-waarden. Bij exponentiële groei hoort de formule N = b · gt Om g te berekenen gebruik je het quotiënt van de twee gegeven N-waarden. 13.3

∆N 1820 – 2180 ∆t 10 – 6 opgave 44 a N1 = at + b met a = N1 = –90t + b t = 6 en N1 = 2180 N1 = –90t + 2720. N2 = b · gt met g4 tijdseenheden = gtijdseenheid = N2 = b · 0,956t t = 6 en N2 = 2180 N2 = 2858 · 0,956t. = = –90 –90 · 6 + b = 2180 b = 2720 ≈ 0,956 b · 0,9566 = 2180 b = ≈ 2858

opgave 44 b N2 = 2 · N1 2858 · 0,956t = 2(–90t + 2720) Voer in y1 = 2858 · 0,956x en y2 = 2(–90x + 2720). Intersect geeft x ≈ 25,1. Dus voor t = 25,1.

Logaritme en exponent 2x = 8 x = 3 want 23 = 8 2x = 8 ⇔ 2log(8) 2log(32) = 5 want 25 = 32 algemeen: glog(x) = y betekent gy = x dus glog(gy) = y x > 0 , g > 0 en g ≠ 0 13.4

De standaardgrafiek y = glog(x) functies f en g met de eigenschap dat hun grafieken elkaars spiegelbeeld zijn in de lijn y = x heten inverse functies g > 1 0 < g < 1 y y y = x y = x y = 2x 1 y = (½)x 1 x x O O 1 1 y = 2log(x) y = ½log(x) 13.4

voorbeeld          x = 4 y 4 a y = 3log(x) 4 naar rechts 2 omhoog y = 3log(x – 4) + 2 b 3 2  x   1 3 9 1   3log(x) -2 -1 1 2    O 1 2 3 4 5 -1 2 omhoog   4 naar rechts -2   13.4

Rekenregels voor logaritmen Uit gy = x en glog(x) = y volgt gglog(x) = x. glog(a) + glog(b) = glog(ab) glog(a) – glog(b) = glog( ) n · glog(a) = glog(an) glog(a) = a = glog(ga) a = log(10a) Werkschema: het oplossen van logaritmische vergelijkingen Kijk of je kunt toepassen log(x) = y geeft x = 10y. Lukt dat niet, dan Herleid het linker- en rechterlid tot de vorm log(A) = log(B). Gebruik daarna log(A) = log(B) geeft A = B. 13.5

opgave 62 a DIN = 1 + k · log(ISO) DIN = 21 en ISO = 100 invullen geeft 21 = 1 + k · log(100) 21 = 1 + 2k 2k = 20 k = 10 b k = 10 en ISO = 400 invullen geeft DIN = 1 + 10 log(400) DIN ≈ 27 Dus 27 DIN. c k = 10 en DIN = 24 invullen geeft 24 = 1 + 10 log(ISO) 10 log(ISO) = 23 log(ISO) = 2,3 ISO = 102,3 ISO ≈ 200 Dus 200 ISO/ASA.

opgave 63 a W = 1,8 en d = 4. W = 1,5 en T = 92 geeft b De afstand is 9 cm.

opgave 63 c T = 80 en d = 8 geeft De breedte is 103 mm.

opgave 69 a b c

opgave 72 a c b d 13.5

opgave 75 a b

opgave 77 a b c

Logaritmische schaalverdeling Een gewone schaalverdeling is niet praktisch als je op een getallenlijn gegevens wilt uitzetten die sterk in grootte verschillen. We kiezen in zo’n situatie liever een logaritmische schaalverdeling. paard = 600 kg. log(600) ≈ 2,8 Op de logaritmische schaalverdeling is de afstand van 104 tot 100 gelijk aan 4 log(104) = 4. 13.6

Logaritmisch papier opgave 80 a b wel bij 550, 210, 9,5 en 2,4 107 Logaritmisch papier F  2400 F  2 400 000 opgave 80 106 a b wel bij 550, 210, 9,5 en 2,4 niet bij 310, 49, 1,25 en 0. c E  150 E  150 000 D  55 000 D  55 105 C  23 C  23 000 B  7,5 B  7500 104 A  1300 A  1,3 103

voorbeeld Rechte lijn op logaritmisch papier, dus N = b · gt. t = 1 en N = 30 t = 7 en N = 400 N = b · 1,540t Dus N = 19,5 · 1,540t. 400 g6 dagen = gdag = ≈ 1,540 30 b · 1,5401 = 30 b = 19,5

opgave 85 a

opgave 85 b Rechte lijn op logaritmisch papier, dus C = b · gt. t = 1 en C = 10 t = 19 en C = 0,5 C = b · 0,847t Dus C = 11,8 · 0,847t. g18 uur = = 0,05 guur = ≈ 0,847 b · 0,8471 = 10 b = ≈ 11,81

opgave 85 c Stel de patiënt heeft x liter bloed. Op t = 0 is de concentratie mg/l, maar ook 11,8 mg/l. De patiënt heeft ongeveer 5 liter bloed.

• • • voorbeeld a Stel l: y = axn met n = rcl = 3. l gaat door (1, 10-1) = (1, ) dus a = Dus l: y = x3 b Stel m: y = axn met n = rcm = m gaat door (1, 90) dus a = 90 Dus m: y = 90x c Stel n: y = axb met b = rcn ≈ n gaat door (1, 50) dus a = 50 Dus n: y = 50x-2 • • 6 cm • 2 cm