Rekenregels van machten a4 = a · a · a · a a2 · a3 = a · a · a · a · a = a5 = = a2 (a2)3 = a2 · a2 · a2 = a6 (ab)3 = ab · ab · ab = a3b3 Bij vermenigvuldigen de exponenten optellen. a5 a · a · a · a · a a3 a · a · a Bij delen trek je de exponenten van elkaar af. Bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten. Bij de macht van een product krijg je een product van machten. 7.1

Algemeen ap . aq = ap + q = ap – q (ap)q = apq (ab)p = apbp ap aq 7.1

opgave 3a (ab)3 · a = a3 · b3 · a = a4 b3

opgave 3f (5a4)² + (-a²)4 = 25a8 + a8 = 26a8

de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd, dan verandert de exponent van teken. Negatieve exponenten 26 = 64 25 = 32 24 = 16 23 = 8 22 = 4 21 = 2 20 = 1 2-1 = ½ 2-2 = ¼ 4° = 1 a° = 1 (a ≠ 0) 8-1 = ⅛ a-n = (a ≠ 0) de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten 1 an 7.1

opgave 6c a3 a-2 = a3 - -2 = a5

opgave 6f a7 : a0 a7 – 0 a7

opgave 6i a3 · (a4)-2 = a3 · a-8 = a3 -8 = a-5

opgave 8d 3a · b-2 = 3a · = 1 b2 3a b2

opgave 8e 3a-2 · b3 = 3 · · b3 = 1 a2 3b3 a2

opgave 8f (3a)-2 · 2b-1 = · 2 · = 1 (3a)2 1 b 1 9a2 1 b 2 9a2b

Machten met gebroken exponenten 28 = 256 24 = 16 22 = 4 21 = 2 2 ½ = √2 2 ¼ = √ √2 = √2 x = √x x = √x 4 = √4 = 2 64 = √64 = 4 algemeen: ook geldt: (a > 0) 3 3 4

opgave 10e 4a-2b½ = 4 · · b½ = 1 a2 4b½ a2 4√b a2

opgave 10f 3ab-½ = 3a · = 1 b½ 3a b½ 3 √a √b 3

opgave 11 a √x = x½ b x · √x = x · x½ = x1½ 4

opgave 11g x² √x3 = = x1 4 x2 x

opgave 11h 3 x²· √x √x = = x2-½ = x1 x²· x x½ x2 x½

opgave 12 a 8√2 = 23 · 2 = 24 b = = 23-½ = 22½ 8 √2 23 2½

opgave 12g 3 ⅛ · √ = 2-3 · √2-2 = 2-3 · 2- = 2-3 3

opgave 12h 3 10 · √0,1 = 10 · √10-1 = 101 · 10- = 10 3

opgave 13 a x2 = x2+ = x2 · x = x2 · √x d 3x-2 = 3x · 3-2 = 3x · 

opgave 15 - 16 a x1,8 = 50 x = √50 x ≈ 8,79 b x-3 = 5 x = √5 x ≈ 0,58 e 4 · x-1,8 + 16 = 500 4x-1,8 = 484 x-1,8 = 121 x = √121 x ≈ 0,07 f x9 = √3 x = √(√3) x ≈ 1,06 1,8 : 4 -1,8 -3 9

: 0,013 - 1081,8 : 16,3 opgave 18 F = (2000 – 16,3v)(-5 – T)-1,668 a T = -20 en v = 60 invullen geeft F = (2000 – 16,3 · 60)(-5 - -20)-1,668 F ≈ 11,16 Een mens kan hooguit 11 minuten buiten lopen. b F = 15 en T = -18 invullen geeft 15 = (2000 – 16,3v)(-5 - -18)-1,668 15 ≈ (2000 – 16,3v) · 0,0139 1081,8 ≈ 2000 – 16,3v 16,3v ≈ 918,2 v ≈ 56,3 : 0,013 - 1081,8 : 16,3

c het rijden van 10 km met een snelheid van 40km/u F = (2000 – 16,3v)(-5 – T)-1,668 c het rijden van 10 km met een snelheid van 40km/u duurt 15 minuten dus F = 15 F = 15 en v = 40 invullen geeft 15 = (2000 – 16,3 · 40)(-5 – T)-1,668 15 = 1348(-5 – T)-1,668 = (-5 – T)-1,668 = -5 – T 14,8 ≈ -5 – T T ≈ -19,8 Vanaf 20 graden onder 0 gaat de wedstrijd niet door. 15 1348 -1 1,668 15 1348

Als er een getal a bestaat zo, dat P = a · Q dan is P evenredig met Q. Evenredig en omgekeerd evenredig Als er een getal a bestaat zo, dat P = a · Q dan is P evenredig met Q. Het getal heet de evenredigheidsconstante. Als er een getal a bestaat zo, dat P = a · dan is P omgekeerd evenredig met Q. uit P = a · volgt PQ = a y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a · xn y is omgekeerd evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a · 1 Q 1 Q 1 Q 7.2

opgave 20 a T = a · R1,5 bij R = 12,20 hoort T = 15,9 Titan b T = 0,37 · R1,5 en R = 35,6 geeft T = 0,37 · 35,61,5 T ≈ 78,6 de omlooptijd is ongeveer 78,6 dagen c T = 0,37 · R1,5 en T = = 0,625 geeft 0,625 = 0,37 · R1,5 = R1,5 R ≈ √1,69 ≈ 1,42 de straal van de baan is ongeveer 1,42 × 105 km. 15,9 = a · 12,201,5 = a a ≈ 0,37 15,9 12,201,5 15 24 0,6250,37 1,5

a W = a · m0,75 6700 = a · 400,75 bij m = 40 hoort W = 6700 = a opgave 21 a W = a · m0,75 bij m = 40 hoort W = 6700 de formule is W = 421 · m0,75 b W = 421 · m0,75 en m = 4 geeft W = 421 · 40,75 W ≈ 1190 kJ. c los op : 421 · m0,75 = 50.000 m0,75 ≈ 119 m ≈ √119 m ≈ 584 kg. 6700 = a · 400,75 = a a ≈ 421 6700 400,75 0,75

De standaardfunctie y = gx f(x) = gx met g constant en g > 0 is een exponentiële functie g > 1 0 < g < 1 y y ℝ is de verzameling van alle getallen Asymptoot is een lijn waar de grafiek op den duur mee samenvalt. 1 1 x x O O grafiek is stijgend op ℝ domein ℝ bereik 〈 0, 〉 de x-as is asymptoot grafiek is dalend op ℝ domein ℝ bereik 〈 0, 〉 de x-as is asymptoot 7.3

Het effect van transformaties op y = gx verm. t.o.v. de x-as met a y = a · gx vermenigvuldig in de formule de functiewaarde met a y = gx verm. t.o.v. de y-as met b y = g x vervang in de formule x door · x 1 b 1 b y = gx translatie (c, 0) y = gx – c vervang in de formule x door x – c y = gx translatie (0, d) y = gx + d tel in de formule d op bij de functiewaarde 7.3

vermenigvuldigen t.o.v. de x-as met ½ opgave 31a standaardgrafiek y = 3x y = 3x y 5 y = ½ · 3x y = ½ · 3x + 3 4 3 omhoog 3  vermenigvuldigen t.o.v. de x-as met ½ 2  1   x -3 -2 -1 O 1 2 3 7.3

    standaardgrafiek y = 3x y 3 y = 3x 2 1 x -3 -2 -1 O 1 2 3 opgave 31b standaardgrafiek y = 3x y 3  y = 3x 2 1 omlaag 1  spiegelen in de x-as x -3 -2 -1 O 1 2 3 y = -3x - 1 -1  -2 y = -3x 

y = 3x 5 omlaag y = 3x - 5 4 naar rechts y = 3x-4 - 5 opgave 31c y = 3x 5 omlaag y = 3x - 5 4 naar rechts y = 3x-4 - 5 vermenigvuldigen met 3 y = 3 · (3x-4 – 5) y = 3 · 3x-4 - 15

y = 3x vermenigvuldigen met 3 y = 3 · 3x 5 omlaag y = 3 · 3x - 5 opgave 31d y = 3x vermenigvuldigen met 3 y = 3 · 3x 5 omlaag y = 3 · 3x - 5 4 naar rechts y = 3 · 3x - 4 – 5 y = 3 · 3x - 4 - 5

de asymptoot van f is y = -2 4 opgave 36 y f a f: y = 2x 2 omlaag y = 2x – 2 de asymptoot van f is y = -2 4 3 g g: y = (½)x 1 naar rechts 2 omhoog y = (½)x-1 + 2 de asymptoot van g is y = 2 2 y = 2 1 x b Bf = 〈 -2, 〉 Bg = 〈 2, 〉 c f(x) ≥ g(x) optie intersect x ≈ 2,15 x ≥ 2,15 d Bf = 〈 -2, 〉 f(x) = p heeft geen oplossingen voor p ≤ -2 -3 -2 -1 O 1 2 2,15 3 -1 y = -2 -2 -3

wanneer ligt g boven y = √2 ? f opgave 41 wanneer ligt f boven g ? 4 a teken f en g b f(x) = g(x) (√2)x+4 = (¼)x (2½)x+4 = (2-2)x 2½x+2 = 2-2x ½x + 2 = -2x 2½x = -2 x = -0,8 f(x) ≥ g(x)  x ≥ -0,8 c g(x) = √2 (¼)x = √2 (2-2)x = 2½ -2x = ½ x = -¼ g(x) ≥ √2  x ≤ -¼ wanneer ligt g boven y = √2 ? 3 2 y = √2 1 g x -3 -2 -0,8 -1 -0,25 O 1 2 -1 -2

Logaritme en exponent 2x = 8 x = 3 want 23 = 8 2x = 8 ⇔ 2log(8) 2log(32) = 5 want 25 = 32 algemeen : glog(x) = y betekent gy = x dus glog(gy) = y x > 0 , g > 0 en g ≠ 0 7.4

opgave 45a 2x-1 = 15 x – 1 = 2log(15) x = 1 + 2log(15)

opgave 45f 3 · 52x+1 = 60 52x+1 = 20 2x + 1 = 5log(20) 2x = -1 + 5log(20) x = -½ + ½ · 5log(20)

opgave 49 a 5log(0,2) = 5log() = 5log(5-1) = -1 b 3log(3√3) = 3log(31 . 3½) = 3log(31½) = 1½ c ½log(8) = ½log((½)-3) = -3 d ¼log() = ¼log((¼)2) = 2 e 0,25log(4) = ¼log(4) = ¼log((¼)-1) = -1 f 4log(0,25) = 4log(¼) = 4log(4-1) = g log(7) = log(()-1) = h log(1) = log(()0) =

x = 4 y 4 3 2  1      O 1 2 3 4 5 -1 2 omhoog   4 naar rechts opgave 53 4 a y = 3log(x) 4 naar rechts y = 3log(x – 4) 2 omhoog y = 3log(x – 4) + 2 b Df = 〈 4, 〉 3 2  x   1 3 9 3log(x) -2 -1 1 2 1      O 1 2 3 4 5 -1 2 omhoog   4 naar rechts -2   7.4

c Xmin = 0, Xmax = 10, Ymin = -1 en Ymax = 1 y opgave 56 a b teken c Xmin = 0, Xmax = 10, Ymin = -1 en Ymax = 1 x ½ 1 2 5 10 f(x) -0,3 0,3 0,7 1 y 1     x O 2 4 6 8 10  -1

opgave 57 din = 1 + k · log(iso) din = 21 en iso = 100 invullen geeft 21 = 1 + k · log(100) 21 = 1 + 2k 2k = 20 k = 10 k = 10 en iso = 400 invullen geeft din = 1 + 10log(400) din ≈ 27 k = 10 en din = 24 invullen geeft 24 = 1 + 10log(iso) 10log(iso) = 23 log(iso) = 2,3 iso ≈ 200