vwo C Samenvatting Hoofdstuk 12

Grafen, punten en wegen Een graaf bestaat uit punten, waarvan er twee of meer verbonden zijn door wegen. Een graaf met één of meer eenrichtingswegen heet een gerichte graaf. Als er in een graaf getallen staan bij de wegen, dan heet zo’n graaf een gewogen graaf. 12.1

Afstandmatrix Veel problemen zijn met een graaf te visualiseren, zoals het zoeken van een kortste route. Het is daarbij verstandig de gegevens van de graaf in een tabel op te slaan. Vaak noteren we de afstandtabel zoals in het schema ernaast. Zo’n schema heet een matrix. Een matrix is een rechthoekig schema van getallen, waarbij links en rechts grote haken staan. De afstandmatrix M heeft 4 rijen en 4 kolommen. 12.1

Verbindingsmatrix In de geografie worden grafen gebruikt om de onderlinge bereikbaarheid van steden, landen of gebieden te bestuderen. Daarbij speelt het begrip verbindingsmatrix van een graaf een centrale rol. In een verbindingsmatrix staan enen en nullen. Een 1 geeft aan dat er een rechtstreekse verbinding is tussen twee punten van de graaf. Een nul geeft aan dat er geen rechtstreekse verbinding is. 12.1

In de verbindingsmatrix van een graaf staan enen en nullen. 1 geeft aan dat er een rechtstreekse verbinding is. 0 geeft aan dat er geen rechtstreekse verbinding is. Bij een graaf waarin elk tweetal punten rechtstreeks met elkaar verbonden is, is sprake van maximale verbondenheid. Er is sprake van minimale verbondenheid in een graaf als door het weglaten van welke weg dan ook een niet-samenhangende graaf ontstaat. 12.1

Directe-wegenmatrix In de directe-wegenmatrix staat het aantal rechtstreekse wegen tussen elk tweetal wegen. 12.1

De afmeting van een matrix De matrix M is een voorbeeld van een datamatrix. In een datamatrix zijn waarnemingsgetallen opgeslagen. De matrix M heeft drie rijen en vier kolommen. Er zijn 12 elementen. We zeggen dat de matrix M de afmeting 3 × 4 heeft. m32 = 70 Een n × m-matrix M heeft n rijen en m kolommen. Het element mij is het getal in de i-de rij en de j-de kolom van M. Een vierkante matrix is een matrix met evenveel rijen als kolommen. De hoofddiagonaal bestaat uit b11 , b22 … Een vierkante matrix B is symmetrisch als geldt bij = bji. 12.2

Het vermenigvuldigen van matrices De matrix K in opgave 23 heet de productmatrix van V en W. Dus V · W = K. Je kunt het product van de matrices V en W alleen berekenen als het aantal kolommen van V gelijk is aan het aantal rijen van W. 12.2

Machten van een matrix Een vierkante matrix met op de hoofddiagonaal uitsluitend enen en alle andere elementen gelijk aan nul, heet een eenheidsmatrix. 12.2

Machten van een overgangsmatrix De getallen in de graaf in figuur 12.28 zijn de kansen op de verschillende overgangen per week. Bij deze graaf hoort de overgangsmatrix M. In een overgangsmatrix is de som van de getallen in elke kolom gelijk aan 1. Geeft M de kansen op de overgangen per week, dan geeft M n de kansen op de overgangen per n weken. 12.3

Het doorrekenen van populaties In een gebied verschijnen de regionale dagbladen de Ster en de koerier. Hiernaast staat informatie over het verloop van de abonnees tussen deze dagbladen. Bij deze situatie horen twee matrices, namelijk de overgangsmatrix V en de kolommatrix Hieronder staat de berekening van de productmatrix V · B Geeft de overgangsmatrix V de overgangen per tijdseenheid en de kolommmatrix B de populatie op t = 0, dan geeft V n · B de populatie op t = n. 12.3

Markow-keten Een Markow-keten is een serie zichzelf herhalende onahankelijke kansexperimenten. Je houdt daarbij steeds dezelfde overgangsmatrix. We gaan ervan uit dat aan enkele randvoorwaarden is voldaan. Zo komen er bijvoorbeeld geen nieuwe klanten bij. Er is sprake van een gesloten systeem. 12.3

Stabilisatie In opgave 43 had je te maken met de overgangsmatrix M. Neem aan dat 40% van de klanten voor map A kiest en dus 60% voor map B. Hierbij hoort beginsituatie P. Met de GR is de verdeling van de aantallen voor de komende weken berekend. Er ontstaat een evenwichtstoestand. Het blijkt dat je onafhankelijk van de beginverdeling telkens dezelfde evenwichtstoestand krijgt. Er treedt dus stabilisatie op. Voorwaarde is dat de overgangsmatrix M of één van zijn machten geen enkele nul bevat. 12.3

Populatievoorspellingsmatrix (Lesliematrix) De Engelsman Leslie ontwikkelde een model om de groei van een populatie te bestuderen. De populatie wordt daarbij verdeeld in n leeftijdsklassen die elk k jaar lang zijn. In de populatievoorspellingsmatrix staan vruchtbaarheidscijfers en overlevingskansen. In de eerste rij staan de vruchtbaarheidscijfers. Zo is l14 het gemiddeld aantal nakomelingen van een exemplaar uit klasse IV in een periode van k jaar. De andere getallen ongelijk aan nul van L zijn de overlevingskansen. Zo is l43 de kans dat een exemplaar uit klasse III na k jaar in klasse IV zit. Soms is de klassenbreedte van de oudste leeftijdsklasse groter dan k jaar, in dat geval is het element lmn van L ongelijk aan nul. 12.4

Berekeningen met Lesliematrices De Lesliematrix L hieronder hoort bij een populatie vissen die is ingedeeld in drie leeftijdsklassen van elk één jaar. Op t = 0 is de bevolkingssamenstelling gegeven door de matrix P. De matrix L · P geeft de samenstelling na één jaar L2 · P geeft de samenstelling na twee jaar Ln · P geeft de samenstelling na n jaar. Bij een beginpopulatie P en een Lesliematrix L waarbij de overgangen worden gegeven per tijdseenheid, krijg je de samenstelling van de populatie na n tijdseenheden met de matrix Ln · P. Met L-1 · P krijg je de populatie een jaar terug. 12.4

Bijzondere Lesliematrix In de situatie van figuur 12.37 heeft alleen de oudste leeftijdsklasse nakomelingen. In dat geval is Uit L3 volgt dat in drie jaar tijd de aantallen van elke leeftijdsklasse met abc vermenigvuldigd worden. Dus ook de omvang van de totale populatie wordt in drie jaar met abc vermenigvuldigd. 12.4