Differentiëren en integreren Zeer summiere inleiding

N.B. Dit overzicht is echt héél summier. Wie echt wil leren differentiëren en integreren moet een leerboek doorwerken of een cursus volgen. Het voornaamste doel van deze presentatie is u enig idee te geven van wat differentiëren en integreren inhoudt en u vertrouwd te maken met de notatie. Gebruiksaanwijzing: rustig doorklikken en goed kijken

Een vertrouwd voorbeeld: een auto rijdt langs de weg met snelheid v . (km/u) Constante snelheid: (w: afgelegde weg) v = w/t dus w = t∙v Afgelegde weg tussen a en b: oppervlakte Aangezien de snelheid constant is, is de versnelling (a) 0.

a = v/t , de richtingscoëfficiënt van de grafiek b v (km/u) 1/2∙(v(b) – v(a))∙ tab v(a)∙tab Hier is de versnelling (a) constant. a = v/t , de richtingscoëfficiënt van de grafiek De afgelegde afstand w is weer de oppervlakte (Voor wie het nog van school weet: w = v0∙t + 1/2a∙t2 a = (v(b) – v(a))/tab w = v(a)∙tab + 1/2∙(v(b) – v(a))∙ tab )

differentiëren integreren Tot dusverre waren de snelheidsfuncties lineair. Richtingscoëfficiënten en oppervlakten zijn dan gemakkelijk te bepalen. t a b v (km/u) Hoe bepalen we bij deze auto de versnelling op tijdstippen a en b (de richtingscoëfficiënten)? differentiëren integreren En de afgelegde weg tussen a en b (de oppervlakte)?

∫ Σ v · Δt b b v dt a t v t v Δv Δt v v a b a b dv ---- dt Δt→0 Δv →0 x=a b v dt a ∫ weg oppervlakte tussen a en b (ongeveer) t v t v  Integreren  Δv Δt Waarden vermenigvuldigen met Δt en sommeren  v v  Toename delen door Δt  a  differentiëren  b a b Richtingscoefficiënt Δv (ongeveer) ----- Δt dv ---- dt Δt→0 Δv →0 versnelling

Versnelling (dv/dt) noemt men de afgeleide van snelheid (v), het bepalen van de afgeleide heet differentiëren. Een afgeleide van een functie f duidt men ook vaak aan met f' v dt ∫ Afgelegde weg, , noemt men een primitieve van v. Een primitieve van een functie f duidt men vaak aan met F. Het bepalen van de primitieve heet integreren. Maar snelheid (b.v. 20 km/uur) is d(weg)/dt, de afgeleide van weg, dus versnelling is de “tweede afgeleide” van weg (notatie f'')

∫ b y dx a x y x y Δy y Δx y a b a b dy ---- dx algemeen: oppervlakte tussen a en b x y x y Δy  Integreren  y Δx y  differentiëren  a b a b Verandering van y voor elke waarde van x dy ---- dx

∫ Algemeen: Als y een functie van x is geeft dy/dx de mate van verandering in y aan voor elke waarde van x (“differentiëren”) b y dx a ∫ en geeft het “totaal” van alle y-waarden tussen x=a en x=b (“integreren”) Differentiëren in beeld: de richtingscoëfficient van de raaklijn op elk punt van de grafiek van y Integreren in beeld: het oppervlak onder de grafiek van y tussen a en b

∫ ∫ ∫ ∫ a b a f(x)dx = f(x)dx - f(x)dx b -∞ -∞ N.B.: de primitieve F(x), ofwel f(x)dx, is een functie (een “onbepaalde integraal”), b.v. “afgelegde weg” a de bepaalde integraal f(x)dx is een getal b b.v. “afgelegde weg tussen a en b” ∫ ∫ x f(x)dx komt neer op f(x)dx -∞ Je kunt een onbepaalde integraal ook als bepaalde weergeven: ∫ a b a f(x)dx = f(x)dx - f(x)dx b -∞ -∞ f(x) f(x) a b a b

∫ b k dx a x k x k Δk k Δx k a b a b dk ---- dx EEN TWEEDE VOORBEELD: KANSDICHTHEID EN KANS b k dx a ∫ Kans dat x tussen a en b ligt: oppervlakte tussen a en b x k x k  Integreren  Δk k Δx k: kansdichtheid voor elke waarde van x k  differentiëren  a b a b In de afbeelding van een kansverdeling over een continue variabele x worde de kans afgebeeld als een oppervlak. De variabele op de y-as noemt men kansdichtheid. Verandering van kansdichtheid als functie van x (=?) dk ---- dx

∫ ∫ ∫ - P(x≤a) = x P a k dx -∞ a P(≤x) = b x k dx -∞ x k a b b k dx a Kans op x≤a P(x≤a) = x P a k dx -∞ ∫ a Kans op x of lager P(≤x) = b x k dx -∞ ∫ Grafiek cumulatieve kansverdeling x k Grafiek van een kansverdeling. kansdichtheid: k Kans op x tussen a en b a b b k dx a ∫ -∞ = -

∫ ∫ ∫ x k {-d(x)} -∞← →∞ x -k a a -∞← →∞ ∞ k dx a a k dx -∞ a -k d(x) -∞← →∞ x -k a a -∞← →∞ Kans op x>a ∞ k dx a ∫ a k dx -∞ ∫ a -k d(x) ∞ ∫ = = 1 -

Tot zover de uitleg over de betekenis en de notatie van integreren en differentiëren Recap: verschillende notaties diffentiëren dy Als y= f( x): f ' (x) ↔ y' ↔ ---- “afgeleide ” dx Verschillende notaties integreren: x Als y = f(x): onbepaalde integraal: ydx ↔ ydx ↔ F(x) “primitieve” -∞ b bepaalde integraal ydx ↔ F(a) – F(b) a ∫ Hiermee is nog niets gezegd over hoe men afgeleiden en primitieven bepaalt. Dat gaat veel te ver voor deze presentatie. Voor wie er vroeger mee te maken heeft gehad of een indruk wil krijgen, volgen drie dia’s met enige (van de vele) regels en wat voorbeelden.

Enige regels voor differentiëren: (f en g zijn functies, c en n zijn constanten) (cf)' = cf' (f+g)' = f' + g' Als f(x) = xn dan f'(x) = nxn-1 (NB: n positief heel getal!) Voorbeeld: (5x3)' = 15x2 c' = 0 (want c' = (cx0)' =c∙0∙x-1 = 0) Voorbeeld van bovenstaande regels: (2x2 - 3x + 5)' = 4x - 3 Als y = f(u) en u = g(x) dan: dy dy du --- = ---- ∙ ---- dx du dx (kettingregel) Voorbeeld: y = (x2+1)10, stel u = x2+ 1 dan is y ook u10 dy/du = 10u9, du/dx = 2x dy/dx = 10u9∙2x dy/dx = 10(x2+1)9∙(2x) dy/dx = 20x(x2 +1)9

∫ ∫ ∫ ∫ (f(u)+g(u))du = f(u)du + g(u)du + C ur+1 urdu = ------ + C Een paar van de (vele) regels voor integreren: ∫ (f(u)+g(u))du = f(u)du + g(u)du + C ∫ ur+1 urdu = ------ + C r + 1 Vgl de differentiatieregel Als f(x) = xn dan f'(x) = nxn-1 ∫ du 1 ---- = --- du = ln|u| + C u u ∫ eu du = eu + C De integratieconstante C vloeit voort uit De differentiatieregel C' = 0

∫ ∫ ∫ 1 3 F(x) = f(x)dx = --- x3 - --- x2 + 2X + C 3 2 (C=0) Voorbeeld: 1 3 F(x) = f(x)dx = --- x3 - --- x2 + 2X + C 3 2 ∫ ∫ ur+1 urdu = ------ + C r + 1 (C=0) Integreren  ∫ (f(u)+g(u))du = f(u)du + g(u)du + C f(x) = x2 – 3X + 2 kleinere verticale schaal! (f+g)' = f' + g' Als f(x) = xn dan f'(x) = nxn-1 Differentiëren  c' = 0 (want c' = (cx0)' = c∙0∙x-1 = 0) f'(x) = 2x - 3