wiskunde als gereedschap voor fysica: in en rond onze atmosfeer In Balans Blijven d/dt = in – uit + productie prof. Rob Mudde & dr. Jeroen Spandaw wiskunde als gereedschap voor fysica: in en rond onze atmosfeer

Inhoud Technieken: balansvergelijking dimensieanalyse Thema’s: energiebalans aarde röntgenstraling

Voorbeeld: energiebalans bal Probleem: Gooi een bal recht omhoog. Vergelijk de snelheid op de heen- en terugweg op gelijke hoogte. Welke snelheid is groter? Antwoord: snelheid omhoog > snelheid omlaag snelheid omhoog < snelheid omlaag snelheid omhoog = snelheid omlaag

Voorbeeld: bevolking verandering = instroom – uitstroom + productie uitstroom: emigratie, vakantie, etc. instroom: immigratie, vakantie, etc. productie: geboorte - sterfte verandering = instroom – uitstroom + productie

Voorbeeld: creditcrisis

Voorbeeld: energiebalans bal Probleem: Gooi bal recht omhoog en vergelijk de snelheid op heen- en terugweg. Is de snelheid omhoog gelijk aan de snelheid omlaag? Oplossing: Ekin + Epot + Ewrijving = constant dus A: snelheid omhoog > snelheid omlaag

Voorbeeld: energiebalans aarde Zonne-energie per seconde: 4 x 1026 joule Hiervan treft de aarde: 2 x 1017 watt Gemiddeld over aardoppervlak: 342 W/m2

vermogen in = vermogen uit Straling en temperatuur aarde warmt op door invallend zonlicht S = 342 W/m2 aarde koelt af door infrarode uitstraling Aarde bereikt evenwichtstemperatuur T : vermogen in = vermogen uit

Stralingswet van Stefan-Boltzmann Evenwicht tussen zonnestraling S en aardtemperatuur T: S = σ · T 4 met natuurconstante σ = 5.67 x 10-8 W/(m2 K4). Voorbeeld: zonnestraling S = 342 W/m2  T = 279 kelvin = +6 graden Celcius Vergelijk meetwaarde: T = 288 K = +15º C

Evenwicht tussen S en T S = 342 W/m2 = σ · T4 T = 279 K oppervlak model versie 0 oppervlak

Eerste verfijning: albedo

Eerste verfijning: albedo Albedo: 30% van het zonlicht wordt gereflecteerd door wolken, sneeuw,… Aangepaste berekening: 0.70 · S = σ · T 4 met S = 342 W/m2  T = 255 K = -18º C. Slechter resultaat: veel te koud! Oplossing: broeikaseffect

Evenwicht met albedo 0.7 · S = σ · T4 T = 255 K oppervlak model versie 1 oppervlak

Tweede verfijning: broeikasgas Broeikasgas (waterdamp!) in de atmosfeer: is transparant voor invallend geel zonlicht maar absorbeert uitgestraald infrarood  de atmosfeer warmt op  de atmosfeer straalt infrarood omlaag naar het aardoppervlak omhoog de ruimte in

Toevoeging broeikasdeken We modelleren de deken van broeikasgassen als een laag die: volledig transparant is voor invallende zonnestraling en uitgestraalde infrarode straling volledig absorbeert. Er onstaat evenwicht tussen straling zon, straling aarde en straling broeikasdeken.

Broeikaseffect voor beginners “deken” σ · T14 σ · T24 T1 model versie 2 oppervlak

Zelf aan het werk met werkblad Balansvergelijkingen opstellen en oplossen voor model 2: “Broeikas voor beginners” Balansvergelijkingen opstellen en oplossen voor model 3: “Broeikas voor gevorderden” Verdere verfijningen (meetkunde)

Staren in de mist Hoe ver kun je kijken? Probleem: het licht moet door de mist heen

Van mist naar röntgenstraling Analoog, simpeler probleem: röntgenstraling

door te lichten materiaal Wet van Lambert-Beer D I 0 I μ door te lichten materiaal bron detector materiaal absorbeert en verstrooit deel van röntgenstraling

Wet van Lambert-Beer (vervolg) Neem een dun plakje materiaal: I (x) I (x + dx) dx Balans: in – (absorptie + verstrooiing) = uit I (x) – μ · I · dx = I (x + dx)

Wet van Lambert-Beer (vervolg) Differentiaalvergelijking: Oplossing: Conclusie: Botten steken op röntgenfoto’s donker af , want μbron > μweefsel .

Kijken in de mist (opdracht) Hoe ver kun je kijken in de mist? Maak een model!

Wiskundeonderwijs in balans