Het verkeerstoedelingsmodel H01I6A Verkeerskunde basis Ben Immers Traffic and Infrastructure Department of Civil Engineering Faculty of Engineering Katholieke Universiteit Leuven

H01I6A Verkeerskunde basis2 Het klassieke verkeersprognosemodel Gebieds- gegevens Ritproductie/ ritattractie Vervoersstromen Trip-ends Verplaatsings- weerstanden H-B tabellen Distributie/ vervoerwijzekeuze Toedeling Transport netwerken

H01I6A Verkeerskunde basis3 Doel verkeerstoedeling 1.het verkrijgen van inzicht in het vervoersnetwerk 2.het doen van voorspellingen 3.het leveren van ontwerp gegevens 4.het leveren van invoergrootheden

H01I6A Verkeerskunde basis4 Typisch resultaat van een verkeerstoedeling (avondspits)

H01I6A Verkeerskunde basis5 Typisch resultaat van een verkeerstoedeling

H01I6A Verkeerskunde basis6 Toedeling verkeer aan netwerken berekening van de route voor elke relatie i-j toedeling van alle verplaatsingen (uit de H-B matrix) aan de berekende routes sommatie van alle verplaatsingen per wegvak resp. kruispunt afzonderlijke berekening per vervoerwijze

H01I6A Verkeerskunde basis7 Algoritme van Moore 1.alle knooppunten krijgen een label  Tijd = ∞  Backnode = 0  Passief/Actief = 0 2.I := 1 3.punt I krijgt het label T=0, B=0, P/A=1; K=I 4.welke knooppunten zijn met schakels aan actief punt K verbonden 5.zijn deze knooppunten sneller te bereiken? welke? 6.verander van deze knooppunten de labels; snelste tijd; backnode; wordt/blijft actief 7.maak het knooppunt K passief 8.indien er actieve knooppunten zijn wordt een van deze knooppunten actief punt K 9.I := I+1 10.als I < I ga naar 4 11.stop

H01I6A Verkeerskunde basis8 Algoritme van Moore Zone IterationTBP/ATB TB TB TB 0  00  00  00  00   00  00  00   00   00 

H01I6A Verkeerskunde basis9 Keuze uit actieve punten  laagste knooppuntnummer  in volgorde van vinden  met de kleinste gevonden weerstand  once through bijv. Dijkstra  algoritme van Dial

H01I6A Verkeerskunde basis10 Inefficiënt keuzeproces Pad 1 Pad 2 j i Stel: Route via pad 2 is korter dan route via pad 1

H01I6A Verkeerskunde basis11 Tree-builder algoritme Dijkstra label van knooppunt i bestaat uit 3 componenten [ +/-, S i, j] += label is permanent -= label is tijdelijk S i = tot nu toe gevonden weerstand van oorsprongsknooppunt tot knooppunt i j= verwijzing naar het knooppunt van waaruit knooppunt i gelabeld werd

H01I6A Verkeerskunde basis12 stap 1:Initialiseren label knooppunt 1 met het permanente label [+, 0, 0 ] ; alle andere knooppunten i met het tijdelijke label [ -, d(1,i), 1 ] i 0 = 1, vervolg met stap 4 stap 2: Zoekproces zoek knooppunt i 0 dat aan de volgende voorwaarden voldoet: -label is tijdelijk -Si 0 is minimaal (i 0 = index (min [ -, S i, j ] ) stap 3:Vaststelling permanente knooppunten maak label van knooppunt i 0 permanent, als i 0 = N : stop stap 4:Vergelijkingsstap stel P = Si 0 + d(i 0,j) met j tijdelijk gelabeld als p < Sj vervang label van knooppunt j door het label [ -, P, i 0 ] ; ga naar stap 2 Tree-builder algoritme Dijkstra

H01I6A Verkeerskunde basis Tree-builder algoritme Dijkstra

H01I6A Verkeerskunde basis14 Iter. 1Iter. 2Iter. 3Iter. 4Iter. 5Iter. 6Iter. 7 1+,0,0 2-,16,1 -,13,3 +,13,3 3-,10,1 +,10,1 4-,2,1+,2,1 5 -, ,1 -,17,6-,16,2+,16,2 6 -, ,1 -,12,4-,11,7 +,11,7 7 -, ,1 -,9,4+,9,4 I 0 =1I 0 =4I 0 =7I 0 =3I 0 =6I 0 =2I 0 =

H01I6A Verkeerskunde basis Tree-builder algoritme Dijkstra

H01I6A Verkeerskunde basis16 Iteratie 1a

H01I6A Verkeerskunde basis Iteratie 1b

H01I6A Verkeerskunde basis Iteratie 2a

H01I6A Verkeerskunde basis Iteratie 2b

H01I6A Verkeerskunde basis Iteratie 3a

H01I6A Verkeerskunde basis Iteratie 3b

H01I6A Verkeerskunde basis Iteratie 4a

H01I6A Verkeerskunde basis Iteratie 4b

H01I6A Verkeerskunde basis Iteratie 5a

H01I6A Verkeerskunde basis Iteratie 5b

H01I6A Verkeerskunde basis Iteratie 6a

H01I6A Verkeerskunde basis Iteratie 6b

H01I6A Verkeerskunde basis28 Kortste route berekening  label correcting  label setting  tree shifting Criteria t.b.v. selectie van knooppunten uit tentatieve tabel Q  in volgorde van opname in Q  is knooppunt reeds onderdeel van Q? (ja/neen)  is knooppunt reeds geselecteerd ?(ja/neen)  afstand van knooppunt tot oorsprong

H01I6A Verkeerskunde basis29 Label correcting last in - first out(lifo) first in - first out(fifo) combinatie van beide (deque)  opname knpt in tentatieve tabel Q knpt nog niet eerder bereikt -->fifo knpt is onderdeel tentatieve tabel knpt is reeds onderdeel van routeboom maar wordt nu door nieuwe kortste route bereikt-->lifo

H01I6A Verkeerskunde basis30 Label setting  sorteren van de tentatieve tabel  S - ord  sorteren forward star ordening beperkt sorteertijd  S - heap  binaire boom  S - calc  linked list …… …… … … array

H01I6A Verkeerskunde basis31 Tree shifting  formulering als lineair programmeringsprobleem  Een imaginaire eenheidslading moet getransporteerd worden van herkomst O naar alle bestemmingen D

H01I6A Verkeerskunde basis32 Label correcting (lifo)  o  (v,p,s)  p  (o,q)  q  (r,p,s)  r  (w,q)  s  (w,v,o,q)  t  (w,u)  u  (w,t,v)  v  (u,o,s)  w  (r,t,u,s) o v s u t w r q p

H01I6A Verkeerskunde basis33 o v s u t w r q p Label correcting (lifo)

H01I6A Verkeerskunde basis34 o v s u t w r q p Label correcting (lifo)

H01I6A Verkeerskunde basis35 o v s u t w r q p Label correcting (lifo)

H01I6A Verkeerskunde basis36 o v s u t w r q p Label correcting (lifo)

H01I6A Verkeerskunde basis37 o v s u t w r q p Label correcting (lifo)

H01I6A Verkeerskunde basis38 o v s u t w r q p Label correcting (lifo)

H01I6A Verkeerskunde basis39 o v s u t w r q p Label correcting (lifo)

H01I6A Verkeerskunde basis40 o v s u t w r q p Label correcting (lifo)

H01I6A Verkeerskunde basis41 nodeQopqrstuvw r*r* wq  100  q*q* wps   10 s*s* wpvo  6110 owpv  6110 v*v* wpu  u*u* wpt twp p*p* wo ow w*w* tus s*s* tuvo ovuttuv Label correcting (lifo)

H01I6A Verkeerskunde basis42 Label correcting (fifo) nodeQopqrstuvw r*r* wq  100  w*w* qtus   10 q*q* tusp   10 tusp   10 u*u* spv  s*s* pvo pvo vo o r s u q w

H01I6A Verkeerskunde basis43 nodeQopqrstuvw r*r* qw  100  q*q* wps   10 w*w* tpsu   10 tpsu   10 p*p* suo  10 s*s* uov uvo oo v r s p wq Label setting (Dijkstra)

H01I6A Verkeerskunde basis44 Voorbeeld van Dijkstra algoritme Zie ook www voor aardige illustraties, bijv. el/english/java_docs/minDijk.htm

H01I6A Verkeerskunde basis45 Voorbeeld foutieve netwerkspecificatie kortste routeboom loopt via en geen route wordt gevonden tussen 1-5 via 3 geheel foute route wordt gevonden via (knooppuntweerstand) ,5 1, ,7 0,5 = afslagverbod

H01I6A Verkeerskunde basis46  Autosnelweg wordt beschreven door eenrichtingsschakels  Kortste routes worden nu wel gevonden b ,5 1, ,7 0,5 4a 4c 4d

H01I6A Verkeerskunde basis47 Beschrijving afslagweerstand Netwerk met knooppuntweerstanden voor de beschrijving van afslagweerstanden of afslagverboden , , , ,7 3

H01I6A Verkeerskunde basis48 Toedeling verkeer aan netwerken  Bereken de kortste route voor elke relatie i – j  Deel alle verplaatsingen (uit de H-B matrix) toe aan de berekende routes  Sommeer alle verplaatsingen per wegvak resp. per kruispuntarm  Afzonderlijke berekening per vervoerwijze

H01I6A Verkeerskunde basis49 Verplaatsing =koppeling van ruimtelijk gescheiden activiteiten beïnvloed door: nut van een verplaatsing N np offer of weerstandZ np (N np - Z np ) = U np = nutsfunctie (consumer surplus)

H01I6A Verkeerskunde basis50 Routekeuze wordt beïnvloed door:  Routekenmerken, zoals:  lengte  reistijd  reiskosten  wegtype, komfort  verkeerssituatie  betrouwbaarheid  veiligheid  Ritkenmerken:  motief  voertuig  Kenmerken rittenmaker:  leeftijd  geslacht  socio-economische  etc.

H01I6A Verkeerskunde basis51 Theorie routekeuze  U np = N np - Z np nutsfunctie route n  U mp = N mp - Z mp nutsfunctie route m Keuze voor route m indien:  U mp > U np  U mp - U np > 0  N mp - N np -Z mp + Z np > 0 Routekeuze:N mp =N np  keuze voor m als Z mp < Z np def  Z mp = Z m +  mp def  Z np = Z n +  mp

H01I6A Verkeerskunde basis52  np,  mp = storingsterm  verwaarlozingen in model  stochastiek  misschattingen  verschil in beoordeling  onverklaard gedrag   mp,  np is Gumbel verdeeld  logit model of Dial toedeling   mp,  np, is normaal verdeeld  probit model  Monte Carlo toedeling Stochastische toedeling   mp,  np, = 0  route met kleinste weerstand  alles of niets toedeling

H01I6A Verkeerskunde basis53 Gumbel versus Normale verdeling Gumbel cumulatieve kansdichtheidsfunctie

H01I6A Verkeerskunde basis54 Toedelings methoden  Alles of Niets (AoN) toedeling  Alternatieve routes (in niet zwaar belaste netwerken)  deterministische kansmodellen  stochastische kansmodellen  Alternatieve routes (in zwaar belaste netwerken)  capacity restraint  evenwichtstoedeling

H01I6A Verkeerskunde basis55 Beperkingen AoN toedeling In de praktijk worden meer routes gebruikt stochastisch effect: individuele verschillen in: perceptie van de aantrekkelijkheid van elk routealternatief Kennis van beschikbare routes capaciteitseffecten Weerstand van aanvankelijk kortste route neemt toe als gevolg van verkeersbelasting Stochastische effecten worden meegenomen? nee ja nee Stochastische toedeling ja Evenwichtstoedeling Capaciteits effecten worden meegenomen? Alles of niets toedeling Stochastische evenwichtstoedeling

H01I6A Verkeerskunde basis56 Toedelingsmodellen  Statische toedelingsmodellen  Verplaatsingen worden aan de gehele route tussen herkomst en bestemming toegedeeld (steady-state of 2D)  Dynamische toedelingsmodellen  Variatie in vervoervraag (H-B matrix) en vervoeraanbod (netwerkkarakteristieken) wordt meegenomen  Heeft gevolgen voor:  Linkbelastingen (benedenstrooms van knelpunt)  Fileopbouw  Blocking-back en gridlock  Reistijden en variaties in reistijden

H01I6A Verkeerskunde basis57 Alles of Niets toedelingsmodel  elke reiziger kiest de kortste route Impliciete veronderstellingen daarbij zijn:  de reiziger kent alle beschikbare routes  de reiziger is perfect geïnformeerd over de weerstanden (lengtes, reistijden) van alle routes  de reiziger kiest uitsluitend op grond van de weerstand (lengte, reistijd)

H01I6A Verkeerskunde basis58 i j t1t1 t2t2 q Q t 1 < t 2 t 1 > t 2 t 1 - t 2 0 model realiteit Instabiliteit Alles of Niets Toedeling

H01I6A Verkeerskunde basis59 i j t1t1 t2t2 q Q t 1 < t 2 t 1 > t 2 t 1 - t 2 0 model Instabiliteit Alles of Niets Toedeling

H01I6A Verkeerskunde basis60 i j t1t1 t2t2 q Q t 1 < t 2 t 1 > t 2 t 1 - t 2 0 model Instabiliteit Alles of Niets Toedeling

H01I6A Verkeerskunde basis61 i j t1t1 t2t2 q Q t 1 < t 2 t 1 > t 2 t 1 - t 2 0 realiteit Instabiliteit Alles of Niets Toedeling

H01I6A Verkeerskunde basis62 i j t1t1 t2t2 q Q t 1 < t 2 t 1 > t 2 t 1 - t 2 0 model realiteit Instabiliteit Alles of Niets Toedeling

H01I6A Verkeerskunde basis63 Voorbeeld Alles of Niets toedeling

H01I6A Verkeerskunde basis64 Stochastisch toedelingsmodel  Toedeling op basis van theoretische verdelingsfunctie  Voorbeeld theoretisch kansmodel: Logit model  Problemen:  definitie alternatieve routes (redelijke routes)  definitie netwerk (identieke en onafhankelijke stoortermen)  Toedeling op basis van simulatie  Monte Carlo simulatie

H01I6A Verkeerskunde basis65 Stochastisch toedelingsmodel Monte Carlo simulatie  C a =c a + ε a ;  C a =c a + z √φ * c a ; waarbij  c a =objectief meetbare schakelweerstand  z=random getal uit een (pseudo) normale N(0,1)-verdeling  φ=een factor voor de bepaling van de grootte van de variatie  C a =met loting bepaalde subjectieve weerstand

H01I6A Verkeerskunde basis66 Multiple Route model Stochastisch toedelingsmodel  elke reiziger kiest kortste route, echter:  geen perfecte kennis van reistijden  elke reiziger maakt subjectieve schatting de route-reistijd  kansdichtheidsfuncties route-reistijden  q 1 = Q  Pr (t 1 e < t 2 e )  q 1 = belasting route 1  Q = aantal ritten van H(i) naar B(j)  t i e = schatting reistijd route i t1t1 t2t2 σ2σ2 σ1σ1 t f i j t1t1 t2t2

H01I6A Verkeerskunde basis67 Kansdichtheidsfuncties route reistijden t1t1 t2t2 σ2σ2 σ1σ1 t f

H01I6A Verkeerskunde basis68 Stochastische toedeling  i = 0  q a (i) = 0  herhaal  i = i + 1  Bepaal C a door loting  Bepaal stromen Q a met een alles-of-niets toedeling met weerstanden C a  f = 1 / i  q a (i) = (1 - f) q a (i-1) + f Q a  tot stopcriterium = waar

H01I6A Verkeerskunde basis69 Evenwichts toedelingsmodel Equilibrium assignment model reiziger kiest route met de kortste reistijd, echter reistijd is afhankelijk van de belasting op het wegvak (reistijdfunctie) Verdeling van ritten over netwerk volgens principes van Wardrop Gebruikersoptimum De reistijden van alle gebruikte routes tussen een bepaalde herkomst en bestemming zijn even groot en/of korter dan die van de niet gebruikte routes Systeemoptimum Het verkeer wordt zodanig aan het netwerk toegedeeld dat de totale systeemweerstand wordt geminimaliseerd; alle gebruikte routes hebben dezelfde marginale systeemweerstand

H01I6A Verkeerskunde basis70 Reistijd functie t a =tijd op schakel a t a free flow =minimum tijd op schakel (onbelast) q a =verkeersbelasting (intensiteit cap=capaciteit  =coëfficiënt  =exponent (met de waarde 4 of 5) “Steady flow capacity”  t a = 2 t a free flow   = 1 Praktische capaciteit  t a = 1,15 t a free flow   = 0,15

H01I6A Verkeerskunde basis71 tijd/min. tijd Verkeersbelasting/capaciteit ,51 Reistijd functie

H01I6A Verkeerskunde basis72 Evenwichtstoedeling  Evenwicht in netwerk wordt berekend als een minimalisatievraagstuk (Gebruikersoptimum) (zelfzuchtig, beschrijvend) (Systeemoptimum) (sociaal, normatief) met als randvoorwaarden  behoud van ritten  Niet-negativiteit

H01I6A Verkeerskunde basis73 Gebruikersoptimum rstandsysteemweec a  ˆ

H01I6A Verkeerskunde basis74 Systeemoptimum marginale systeemweerstandsfunctie Algemeen geldt voor een differentieerbare functie

H01I6A Verkeerskunde basis75 ij q1q1 q3q3 q2q2 t Evenwichtstoedeling q

H01I6A Verkeerskunde basis76 Frank - Wolfe algoritme Startoplossing die iteratief wordt verbeterd 1.Bereken startoplossing (A o N toedeling)  {q a 0 } 2.Herbereken reistijden op grond van belastingen  { t a i } 3.Deel H-B matrix toe volgens deze reistijden (2) (AoN toedeling)  { w a i } 4.Optimale weging van oude belastingen resulterend in nieuwe belastingen  {q a i = q a i-1 + i ( w a i - q a i-1 );0  i  1} 5.Toets of nieuwe belastingen voldoen  ja ---> stop; nee ---> ga naar 2  i wordt zodanig bepaald dat Z minimaal is

H01I6A Verkeerskunde basis77 Voorbeeld

H01I6A Verkeerskunde basis78 Voorbeeld

H01I6A Verkeerskunde basis79 Voorbeeld

H01I6A Verkeerskunde basis80 Voorbeeld