Motivatie informatie = verandering in tijd netwerken: met R, L, en C van velden van spanningen en stromen vb. gesprek voeren via telefoon netwerken: met R, L, en C differentiaalvergelijkingen met beginvoorwaarden Laplace transformatie partieelbreuksplitsing Toepassingen rekensnelheid van computer ontsteking benzine motor

RC keten analyse via differentiaalvgl i(t) ? R E  C v(t) op t=0: V0 t KVL: e(t) = Ri(t) + 1/C 0t i(t) dt + V0 differentiëren de/dt(t=0) =   t=0+: di(t)/dt + 1/RC i(t) = 0 beginVW: i(0+) = (E-V0)/R oplossing: i(t) = (E-V0)/R exp(-t/(RC)) tijdsconstante RC =  superpositie van 2 oplossingen stapresponsie ontlading oplossing: v(t) = E(1-exp(-t/(RC)) + V0exp(-t/(RC) vraagjes 1. Kan je dit fysisch verklaren op een figuur ?

RC keten digitale communicatie over korte draad coaxiale kabel: uitleg (vereenvoudigd model !!! ) C R v(t) e(t)  computer 1 Thevenin equivalent computer 2 signaal wordt vervormd en vertraagd: zie slide exponentieel drempelspanning

Laplace netwerkmodellen definitie L{f(t)} = 0 f(t) e-pt dt = F(p) eigenschappen differentiatie  vermenigvuldiging (bewijs !) L{df(t)/dt} = -f(0) + p F(p) integratie  deling (bewijs !) L{-t f(t) dt} = (1/p) -0 f(t) dt} + (1/p) F(p) lineariteit L{C1 f(t) + C2 g(t)} = C1 F(p) + C2 G(p) lijst van voorbeelden: zie slide

Laplace netwerkmodellen Laplace getransformeerde van KCL i1(t) + i2(t) + i3(t) = 0  I1(p) + I2(p) + I3(p) = 0 Laplace getransformeerde van KVL v1(t) + v2(t) + v3(t) = 0  V1(p) + V2(p) + V3(p) = 0 Laplace getransformeerde van takrelaties BELANGRIJKE OPMERKING vermogen naar of van een component kan nooit oneindig groot worden L: i kan niet plots veranderen C: v kan niet plots veranderen

Laplace netwerkmodellen tweepolen bronnen: zie tabel weerstanden (v(t) = R i(t)) VR(p) = R I(p) inductantie (v(t) = L di(t)/dt) VL(p) = (pL) I(p) - L i(0) Laplace impedantie + Laplace spanningsbron (beginvoorwaarde) capaciteit (i(t) = C dv(t)/dt) VC(p) = 1/(pC) I(p) + v(0)/p Werkwijze Laplace transformatie lineair differentiaalstelsel naar lineair weerstandsnetwerk (= Laplace equivalent) gebruik geziene methodes om v en i op te lossen inverse Laplace transformatie (partieelbreuken) -Li(0) pL +- + - v(0)/p 1/pC +- + -

RC keten analyse via Laplace equivalent i(t) R v(t)  C t + I(p) R 1/(pC) E/p  V(p)  V0/p - oplossing: I(p) = (E-V0)/p •1/(R+1/(pC)) = (E-V0)/R •1/(p+1/(RC)) V(p) = E/p•1/(pC)/(R+1/(pC))+V0/p•R/(R+1/(pC)) i(t) = (E-V0)/R u(t) exp(-t/(RC)) v(t) = u(t) (E (1-exp(-t/(RC))+V0 exp(-t/(RC)))

LC keten analyse via Laplace equivalent i(t) v(t) C L v(0) = V0 + I(p) 1/(pC) V(p) pL  V0/p - V(p) = V0/p•pL/(pL+1/(pC)) = V0•p/(p2+02) met 0 = 1/(LC) v(t) = u(t) V0 cos(0t) I(p) = V0/p •1/(pL+1/(pC)) = V0C0(0/(p2+02)) i(t) = u(t) V0 (C/L) sin(0t) parallel LC-trillingskring (pulsatie 0) wisseling energie elektrisch en magnetisch veld Vraagjes Leg fysisch dit gedrag uit ! Bedenk een toepassing voor deze keten in de praktijk ? Waar kan men zoiets gebruiken ?

RC keten sinusoïdale excitatie v(t)=Vsint i(t) R v(t)  C + I(p) R V/(p2+2)  V(p) 1/(pC) - oplossing: V(p) = V/(p2+2) 1/pC/(R+1/pC) = V/ (1/(p2+2) •1/(p+1/)) partieelbreuken !!! v(t) = V/(1+ ()2) sin(t+)+V/(1+ ()2)e-t/ tg = -  regimeterm + overgangsterm