vwo B Samenvatting Hoofdstuk 9

Rekenregels voor machten en logaritmen 9.1

Vergelijkingen van de vorm glog(A) = glog(B) glog(A) = B geeft A = gB gA = B geeft A = glog(B) glog(A) = glog(B) geeft A = B gA = gB geeft A = B AB = AC geeft A = 0 ⋁ B = C of een substitutie. Controleer bij logaritmische vergelijkingen of de logaritmen van de oorspronkelijke vergelijking gedefinieerd zijn voor de gevonden waarden. 9.1

Vergelijkingen met logaritmen 9.1

De standaardgrafiek y = gx Asymptoot is een lijn waar de grafiek op den duur mee samenvalt. 1 1 x x O O domein ℝ bereik 〈0,〉 de x-as is asymptoot 9.2

De standaardgrafiek y = glog(x) 1 1 x x O O 1 1 stijgend domein 〈0, 〉 bereik ℝ de y-as is asymptoot dalend 9.2

Transformaties toepassen op deze standaardfuncties 9.2

opgave 27 f(x) = 3x - 1 – 2 en g(x) = 4 – 3x a f(x) = g(x) x = 3log(4½) yA = g(3log(4½)) = 4 – 4½ = -½ Dus A(3log(4½)), -½). b f(p) – g(p) = 6 3p - 1 – 2 – (4 – 3p) = 6 3p · 3-1 – 2 – 4 + 3p = 6 1⅓ · 3p = 12 3p = 9 p = 2 9.2

De afgeleide van f(x) = ax f(x) = ax geeft f’(x) = f’(0) · ax Het getal e In opgave 42 heb je gezien dat dus voor a ≈ 2,718 geldt [ax]’ = 1 · ax. f(x) = ex geeft f’(x) = ex Zo gelden voor e ook de rekenregels voor machten 9.3

Functies met e-machten differentiëren 9.3

f’(x) = = eu · (½x – 2) = (½x – 2) f’(x) = 0 geeft (½x – 2) = 0 opgave 56a f(x) = y = = eu met u = ¼x2 – 2x + 2 f’(x) = = eu · (½x – 2) = (½x – 2) f’(x) = 0 geeft (½x – 2) = 0 ½x – 2 = 0 ⋁ = 0 x = 4 geen opl. min. is f(4) = e4 – 8 + 2 = e-2 = Bf = 9.3

Logaritmen met grondtal e De natuurlijke logaritme van een getal a is de logaritme van a met grondtal e, dus ln(a) = elog(a) Voor de natuurlijke logaritme gelden de rekenregels voor logaritmen. 9.4

Exponentiële en logaritmische functies differentiëren 9.4

f’(x) = 2 · 22x · ln(2) – 2x · ln(2) = (2 · 22x – 2x)ln(2) opgave 66a f(x) = 22x – 2x f’(x) = 2 · 22x · ln(2) – 2x · ln(2) = (2 · 22x – 2x)ln(2) = (22x + 1 – 2x)ln(2) f’(x) = 0 geeft (22x + 1 – 2x)ln(2) = 0 22x + 1 – 2x = 0 22x + 1 = 2x 2x + 1 = x x = -1 f(-1) = 2-2 – 2-1 = ¼ - ½ = - ¼ Bf = [- ¼ ,  〉 9.4

opgave 75a geeft f’(x) = 0 geeft 10 ln(x) = 0 ln(x) = 0 x = 1 Dus A(1, 0). Stel k: y = ax + b met a = f’(1) = k: y = 10x + b door A(1, 0) Dus k: y = 10x - 10 0 = 10 + b -10 = b 9.4