Presentatie Vlakke figuren Theorie Rekenvoorbeelden Gemaakt door J. Aarts, A. de Lange

Inhoudsopgave Driehoeken Vierhoeken Hoeken berekenen Bijzondere lijnen Soorten driehoeken & rekenen met hoeken Rekenvoorbeelden Hoekensom-regel Rekenvoorbeeld Gestrekte hoek. Gecombineerd rekenvoorbeeld Oppervlakte van driehoeken De algemene formule De hoogte blijft binnen de driehoek De hoogte valt buiten de driehoek Bijzondere lijnen Bissectrices Middelloodlijnen Zwaartelijnen Hoogtelijnen Bijzondere lijnenpuzzel Vierhoeken De opp.van een parallellogram De opp. van een trapezium Bijzondere vierhoeken Vierhoeken puzzel Hoeken berekenen Overstaande hoeken Z-hoeken F-hoeken Kennen & Kunnen Afsluitende sommen VWO A27 blz. 50, HAVO A31 blz.50 VWO A28 blz. 50 VWO A29 blz. 50, HAVO A32 blz.50 Einde presentatie Als je mij ziet kun je op mij klikken om terug te keren naar de inhoudsopgave!

Driehoeken in alle soorten en maten.

Er bestaan drie soorten bijzondere driehoeken 1 Rechthoekige driehoeken Gelijkbenige driehoeken Gelijkzijdige driehoeken 1 90o Eigenschap: Er is één rechte hoek 2 Eigenschappen: 2 gelijke benen 2 gelijke basishoeken 1 symmetrieas (wit gestippeld) 3 Eigenschappen: 3 gelijke zijden 3 gelijke hoeken van 60o 3 symmetrieassen

A + B + C = 180o Rekenen met hoeken in driehoeken. C A B De hoekensomregel: In alle soorten driehoeken (bijzonder of niet) zijn de drie hoeken samen 180o Spreek uit: Hoek …

Rekenen met gestrekte hoeken (In b.v. een driehoek) A B C D 1 2 Lijnstuk CD verdeeld hoek D in twee stukken: D1 en  D2 zijn samen 180o  D12 heet een gestrekte hoek.

Rekenvoorbeeld 1 C Gegeven: A = 34o C = 22o Bereken: B A B Oplossing: A + C = 34o + 22o = 56o B = 180o – 56o B = 124o

Rekenvoorbeeld 2 R Gegeven: P = 64o ΔPQR = gelijkbenig Bereken: R ● ● P Oplossing: P = Q (want PR = QR) P + Q = 128o R = 180o – 128o R = 52o Q

Rekenvoorbeeld 3 M Gegeven: T1 = 74o Bereken:  T2 K T L Oplossing:  T12 = een gestrekte hoek T2 = 180o – 74o T2 = 106o

Rekenvoorbeeld 4 Gegevens: C1 =C2= C3 (zie tekening) Bereken: C1 E A C B 1 50o 28o 2 3 D A C B 50o 28o ● Oplossing: In ΔABC: A + B = 78o  C123 = 180o – 78o  C123 = 102o C1 = 102o : 3 = 34o

Rekenvoorbeeld 4 Gegevens: C1 =C2= C3 C Bereken: Bereken in ΔCDE alle hoeken. Eerst  D1 E A C B 1 50o 28o 2 3 D C1 = 34o 50o 34o ? ● Oplossing: In ΔADC: A +  C1 = 84o  D1 = 180o – 84o  D1 = 96o

Rekenvoorbeeld 4 Gegevens: C1 =C2= C3 C Bereken: Bereken in ΔCDE alle hoeken. Nu D2 E A C B 1 50o 28o 2 3 D 50o 34o 96o ? ● D1 = 96o  D12 is een gestrekte hoek, dus: D2 = 180o – 96o = 84o

Rekenvoorbeeld 4 Gegevens: C1 =C2= C3 Bereken: Bereken in ΔCDE alle hoeken. Nu  E1 en  E2 E A C B 1 50o 28o 2 3 D C2 = 34o 34o 84o ? 34o 84o ? ● Oplossing: In ΔCDE:  D2 +  C2 = 118o  E1 = 180o – 118o  E1 = 62o D2 = 84o  E12 is een gestrekte hoek, dus: E2 = 180o – 62o = 118o

Bijzondere Lijnen.

De bissectrice of deellijn De bissectrice of deellijn van een hoek deelt die hoek doormidden. Het maakt niet uit hoelang de benen van de hoek zijn! Een deellijn verdeelt de hoek altijd in 2 gelijke hoeken.

De bissectrice of deellijn Ze blijven elkaar in één punt snijden. In een driehoek snijden de drie deellijnen elkaar in één punt. Als de vorm van de driehoek veranderd zullen de deellijnen meeveranderen. Ze blijven elkaar in één punt snijden.

De middelloodlijn ∟ De middelloodlijn van een lijnstuk gaat door het midden van dat lijnstuk en staat er loodrecht op. De hoek tussen het lijnstuk AB en de middelloodlijn is altijd 90o. De middelloodlijn gaat altijd door het midden van lijnstuk AB. A B ∟

De middelloodlijn ∟ In een driehoek snijden de middelloodlijnen van de zijden elkaar in één punt. Als de vorm van de driehoek veranderd zullen de middelloodlijnen meeveranderen. Ze blijven elkaar in één punt snijden. ∟

Zwaartelijnen Een zwaartelijn van een driehoek is een lijn die gaat door een hoekpunt en door het midden van de overstaande zijde. Als de vorm van de driehoek veranderd zullen de zwaartelijnen meeveranderen. Ze blijven elkaar in één punt snijden. Dit punt wordt het ZWAARTEPUNT van de driehoek genoemd.

AB CQ AC BP AR BC Hoogtelijnen ∟ ∟ ∟ Als de vorm van de driehoek veranderd zullen de hoogtelijnen mee veranderen. De drie hoogtelijnen snijden elkaar in een punt. De hoogte van een driehoek is een lijn die door een hoekpunt gaat en loodrecht op de overstaande zijde staat. Bijbehorende hoogte Zijde C AB CQ R P ∟ ∟ AC BP ∟ A B Q BC AR

Bijzondere lijnen puzzel De stippellijnen met de kleur: Blauw zijn …………..……? Rood zijn …………..……..? De groene lijnen zijn ………...…...? bissectrices. middelloodlijnen. zwaartelijnen. Goed kijken en eerst zelf proberen!!! De snijpunten van de drie soorten bijzondere lijnen liggen niet op dezelfde plaats in de driehoek !!!

Vierhoeken.

Vierkant ∟ Hoeken Zijden Diagonalen 4 rechte hoeken 4 gelijke zijden Snijden elkaar loodrecht Delen elkaar doormidden De 2 diagonalen zijn gelijk

Rechthoek • ∟ ▲ Hoeken Zijden Diagonalen 4 rechte hoeken Overstaande zijden evenwijdig Delen elkaar doormidden Overstaande zijden gelijk De 2 diagonalen zijn gelijk. Als je een vierkant langer maakt ontstaat er een rechthoek.

Ruit Als je een vierkant vervormt kun je er een ruit van maken. Hoeken •  ∟ Als je een vierkant vervormt kun je er een ruit van maken. Hoeken Zijden Diagonalen Overstaande hoeken zijn gelijk Vier gelijke zijden Snijden elkaar loodrecht Overstaande zijden evenwijdig Delen elkaar doormidden

Parallellogram • x ▲ ◦   Als je een rechthoek vervormt kun je er een parallellogram van maken. Hoeken Zijden Diagonalen Overstaande hoeken zijn gelijk Overstaande zijden evenlang Delen elkaar doormidden Overstaande zijden evenwijdig

Gelijkbenig Trapezium • ◦ x   In een gelijkbenig trapezium lopen twee zijden evenwijdig. De andere twee zijden zijn gelijk. Hoeken Zijden Diagonalen De 2 bovenste hoeken zijn gelijk De bovenste zijde en onderste zijde zijn evenwijdig De 2 diagonalen zijn gelijk De 2 basishoeken zijn gelijk De linker- en rechterzijde zijn gelijk

Trapezium ◦ Een gewoon trapezium heeft géén gelijke benen. Hoeken  Een gewoon trapezium heeft géén gelijke benen. Hoeken Zijden Diagonalen De bovenste zijde en onderste zijde zijn evenwijdig

Vlieger • Door een ruit te veranderen kun je er een vlieger maken. ∟ ▲ •   Hoeken Zijden Diagonalen De linker- en rechter hoek zijn gelijk De 2 bovenste zijden zijn gelijk snijden elkaar loodrecht De onderste 2 zijden zijn gelijk De verticale diagonaal snijdt de horizontale middendoor Door een ruit te veranderen kun je er een vlieger maken.

Bijzondere vierhoeken puzzel Alle eigenschappen van een: ruit gelden voor ...................................? Parallellogram gelden ook voor een ………….? Een vierkant is een bijzonder soort …………………….? Een rechthoek is een bijzonder soort …………………..? géén van de andere vierhoeken. ruit. ruit. parallellogram.

Hoeken berekenen.

Overstaande hoeken Bij twee snijdende lijnen zijn de overstaande hoeken gelijk. Twee snijdende lijnen Gelijke overstaande hoeken

Z-hoeken In een Z-figuur zijn twee lijnen evenwijdig en zijn de Z-hoeken gelijk. Twee evenwijdige lijnen Twee paren gelijke Z-hoeken

Z-hoeken Evenwijdige lijnen In een Z-figuur zijn twee lijnen evenwijdig en zijn de Z-hoeken gelijk. Twee evenwijdige lijnen Z-hoeken Gelijke Z-hoeken

F-hoeken In een F-figuur zijn twee lijnen evenwijdig en zijn de F-hoeken gelijk. Twee evenwijdige lijnen Gelijke F-hoeken

Afsuitende sommen.

Opgave A28 blz. 50 Gegeven: Vierhoek ABCD AB // PR // CD CQ = CR C D C1 = 46o D = 42o 4 1 2 3 42o 46o > A B D P R Q C Gevraagd: a) P2 b) C2 c) Q1

Opgave A28 blz. 50 Eerst: P2 C D > R P Q CD // PR D = P1 = 42o B 3 42o 46o > A B D P R Q C 42o 42o CD // PR D = P1 = 42o D = P1 = 42o F-hoeken

Opgave A28 blz. 50 Eerst: P2 C D > R P Q CD // PR D = P1 = 42o B 3 42o 46o > A B D P R Q C 180o - 42o 42o CD // PR D = P1 = 42o D = P1 = 42o F-hoeken P2 = 180o – 42o = 138o Gestrekte hoek

Opgave A28 blz. 50 Dan: b) C2 > A B D P R Q C QRC is gelijkbenig 4 1 2 3 42o 46o > A B D P R Q C QRC is gelijkbenig 42o Q2 = R2 Gelijke basishoeken. C 46o < < Q2 = (180o – 46o) : 2 = 134 : 2 = 67o 2 Q R

Opgave A28 blz. 50 Dan: b) C2 C D > Q2 = 67o R P Q B A 4 1 2 3 42o 46o > A B D P R Q C 67o 67o Q2 = 67o 42o C2 = Q2 = 67o Z-hoeken

Opgave A29 blz. 50 Dan als laatste c) Q1 C D > Q2 = 67o R P Q B A 4 1 2 3 42o 46o > A B D P R Q C 67o Q2 = 67o Q1 = 180o – 67o = 113o Gestrekte hoek

F -hoek Z -hoek E VWO Opgave 29 bladzijde 50 HAVO Opgave 32 bladzijde 50 b bereken ∠E1 a bereken ∠D12 ∠D12 = 180-69 = 111° ∠E1 = ∠C1 = 40° ∆ABD is gelijkbenig c bereken ∠S1 69° F -hoek 42° 69° 98° Z -hoek 98° 40° 42° E

De oppervlakte van een driehoek. De algemene formule ∟ Bekijk twee soorten driehoeken Teken er rechthoeken omheen Vul de lege ruimtes met nieuwe driehoeken

De oppervlakte van een driehoek. De algemene formule ∟ De oppervlakte van de GELE driehoek = De oppervlakte van de WITTE driehoek

De oppervlakte van een driehoek. De algemene formule ∟ De oppervlakte van de driehoek, is precies de HELFT van het rechthoek

De oppervlakte van een driehoek. hoogte ┴ zijde De algemene formule hoogte ┴ zijde ∟ Breedte hoogte hoogte Breedte ∟ Lengte = zijde Lengte = zijde De oppervlakte van de driehoek, is precies de HELFT van het rechthoek Opp.  = ½ x zijde x bijbehorende hoogte

AB CQ AC BP AR BC De oppervlakte van een driehoek. ∟ ∟ ∟ Als één zijde en de bijbehorende hoogte bekend is, Kun je de oppervlakte van de driehoek uitrekenen. Bijbehorende hoogte Zijde C AB CQ R P ∟ ∟ AC BP ∟ A B Q BC AR

AB CQ AC BP AR BC ∟ ∟ ∟ De oppervlakte van een driehoek. Er zijn drie zijden. Er zijn drie bijbehorende hoogten. Er zijn drie manieren om de oppervlakte te berekenen Bijbehorende hoogte Zijde C AB CQ R P ∟ ∟ AC BP ∟ A B Q BC AR

AB CQ De oppervlakte van een driehoek. Er zijn drie zijden. Er zijn drie bijbehorende hoogten Eerste Manier: Bijbehorende hoogte Zijde C Breedte AB CQ A B Q Opp. ABC = ½ x zijde x Bijbehorende hoogte = ½ x AB x CQ

AC BP ∟ De oppervlakte van een driehoek. Er zijn drie zijden. Er zijn drie bijbehorende hoogten Tweede manier: C Bijbehorende hoogte Zijde Breedte P AC BP ∟ A B Opp. ABC = ½ x zijde x Bijbehorende hoogte = ½ x AC x BP

BC AR ∟ De oppervlakte van een driehoek. Er zijn drie zijden. Er zijn drie bijbehorende hoogten Derde manier: A B C R ∟ Bijbehorende hoogte Zijde Breedte BC AR Opp. ABC = ½ x zijde x Bijbehorende hoogte = ½ x BC x AR

De oppervlakte van een driehoek. Opp. ABC = ½ x zijde x Bijbehorende hoogte A B C P Q R ∟ Opp. ABC = ½ x AB x CQ Opp. ABC = ½ x AC x BP Opp. ABC = ½ x BC x AR

De oppervlakte van een driehoek. Opp. ABC = ½ x zijde x Bijbehorende hoogte A C B hoogte K ∟ M ∟ ∟ L Opp. ABC = ½ x AC x BL Opp. ABC = ½ x AB x CK Opp. ABC = ½ x BC x AM

VWO Opgave 27 bladzijde 50 HAVO Opgave 31 bladzijde 50 a bereken ∠D1 b bereken ∠C2 c bereken ∠D2 d bereken ∠E2

De oppervlakte van een Trapezium. Kopiëer het trapezium Draai het trapezium om. Aansluiten!!

Er ontstaan 2 paren evenwijdige lijnen! De oppervlakte van een Trapezium. Er ontstaan 2 paren evenwijdige lijnen! Er ontstaat een parallellogram

De oppervlakte van een Trapezium. De oppervlakte van het parallellogram is twee keer zo groot als de oppervlakte van het oorspronkelijke trapezium.

a a De onderste zijde van het oorspronkelijke trapezium noemen we a. De oppervlakte van een Trapezium. a a De onderste zijde van het oorspronkelijke trapezium noemen we a.

De oppervlakte van een Trapezium. b a a b De bovenste zijde van het oorspronkelijke trapezium noemen we b.

De oppervlakte van een Trapezium. b a hoogte a b De hoogte van het parallellogram is gelijk aan de hoogte van het oorspronkelijke trapezium.

De oppervlakte van een Trapezium. De zijde = (a + b) De oppervlakte van een Trapezium. b a hoogte a b Opp. Parallellogram = zijde x hoogte (a + b)

De oppervlakte van een Trapezium. b a hoogte a b De opp. van het trapezium is de helft van de oppervlakte van het parallellogram Opp. Parallellogram = (a + b) x hoogte trapezium ½ x

b a a b De algemene formule: Opp. Trapezium = ½ x (a + b) x hoogte De oppervlakte van een Trapezium. b a hoogte a b De algemene formule: Opp. Trapezium = ½ x (a + b) x hoogte

b a De algemene formule: Opp. Trapezium = ½ x (a + b) x hoogte hoogte Tel de lengten van de onderste en de bovenste zijden bij elkaar op Vermenigvuldigen met de hoogte! Vermenigvuldigen met ½! Het resultaat levert je de oppervlakte van het trapezium op. De oppervlakte van een Trapezium. b hoogte a De algemene formule: Opp. Trapezium = ½ x (a + b) x hoogte

Oppervlakte parallellogram Vierhoek Overstaande zijden evenwijdig Overstaande zijden even lang

Oppervlakte parallellogram Oppervlakte parallellogram = zijde x bijbehorende hoogte hoogte zijde

Oppervlakte parallellogram hoogte zijde

Oppervlakte parallellogram Oppervlakte parallellogram = zijde x bijbehorende hoogte hoogte zijde Oppervlakte driehoek = ½ x zijde x bijbehorende hoogte

Einde presentatie