y is evenredig met x voorbeeld a 3 9 12 24 60 N 8 24 32 64 160 x 5 x 3 de formule heeft de vorm y = ax de tabel is een verhoudingstabel bij een k keer zo grote x hoort een k keer zo grote y de grafiek is een rechte lijn door de oorsprong voorbeeld x 5 x 3 x 2 a 3 9 12 24 60 N 8 24 32 64 160 x 3 x 2 x 5 evenredig a 3 x zo groot N 3 x zo groot 7.1

y is omgekeerd evenredig met x de formule heeft de vorm xy = a , ofwel y = a/x vermenigvuldig je x met een getal, dan moet je y door dat getal delen de grafiek is een hyperbool voorbeeld x 2 P 3 4 8 9 36 T 24 18 9 8 2 vermenigvuldigd steeds 72 : 2 omgekeerd evenredig P 2 x zo groot T 2 x zo klein 7.1

opgave 5 a T is omgekeerd evenredig met d dus T × d = a bij d = 2500  T = 1,6 b d = 4835  T = 4000/4835 ≈ 0,8 de temperatuur is 0,8°C c T = 1,4  1,4 × d = 4000 d = 4000/1,4 ≈ 2857 op een diepte van 2857 m. 1,6 × 2500 = a a = 4000 dus T × d = 4000 of T = 4000/d

a p is omgekeerd evenredig met t , dus p × t = a bij t = 3  p = 38 opgave 6 hyperbool a p is omgekeerd evenredig met t , dus p × t = a bij t = 3  p = 38 dus p × t = 114 of p = 114/t b t = 5,5  p = 114/5,5 ≈ 20,7 er is nog 20,7% van de olie aanwezig c als 95% van de olie is verdwenen is nog 5% aanwezig , dus p = 5 p = 5  5 × t = 114 dus t = 114/5 = 22,8 het duurt bijna 23 jaar 38 × 3 = a a = 114

komt heel dicht bij de x-as Asymptoten de grafiek van y = komt steeds dichter bij de x-as de x-as is een asymptoot van de grafiek een asymptoot is een lijn waar een grafiek op den duur mee samenvalt de x-as is de horizontale asymptoot de y-as is de verticale asymptoot de grafiek van y = + 5 ontstaat uit die van y = door deze 5 omhoog te verschuiven de grafiek van y = + 5 heeft daarom de lijn y = 5 als horizontale asymptoot de lijn x = 0 is de verticale asymptoot komt heel dicht bij de x-as 7.2

Algemeen 7.2

Grafieken tekenen werkschema : de grafiek van een formule tekenen 1 voer de formule in op de GR 2 kies een geschikt venster zo, dat het verloop van de grafiek goed zichtbaar is 3 maak een tabel op de GR en zet de tabel in je schrift 4 gebruik de punten uit de tabel om de grafiek nauwkeurig te tekenen 7.2

Algemeen de formule y = a/x de lijn y = 0 (x-as) is de horizontale asymptoot de lijn x = 0 (y-as) is de verticale asymptoot de formule y = a/x + b de grafiek ontstaat uit die van y = a/x door de grafiek b omhoog te verschuiven de lijn y = b is de horizontale asymptoot de formule R = a/t + b de lijn R = b is de horizontale asymptoot de lijn t = 0 is de verticale asymptoot 7.2

K q opgave 11 K = 30 + 4000/q a q neemt toe  4000/q neemt af bij een grotere productie worden de vaste kosten verdeeld over meer apparaten daardoor nemen de kosten per apparaat af b horizontale asymptoot  K = 30 bij een hele hoge productie komen de kosten per apparaat dicht bij 30 euro te liggen c voer in y1 = 30 + 4000/x en y2 = 45 optie intersect  x ≈ 266,7 de productie moet 267 of meer apparaten per dag zijn d ja q = 8000  K = 30,50 en als q > 8000  K < 30,50 45 30 266,7 q

horz.asympt. N = 1200 vert.asympt. t = -0,5 (noemer = 0) N opgave 15 1200 N = 1200 – 800/(1 + 2t) a voer in y1 = 1200 – 800/(1 + 2x)  afnemende stijging b voer in y2 = 1130 optie intersect  x ≈ 5,2 dus op de zesde dag zijn er 1130 insecten c de 5e dag  t = 4 tot t = 5 t = 4  N ≈ 1111 t = 5  N ≈ 1127 op de 5e dag zijn er 1127 – 1111 = 16 insecten bij gekomen d voer in y2 = 1190 en y3 = 1195 optie intersect met y1 en y2  x = 39,5 optie intersect met y1 en y3  x = 79,5 het duurt 79,5 – 39,5 = 40 dagen e voer in y2 = 1100 en y3 = 1105 optie intersect met y1 en y2  x = 3,5 optie intersect met y1 en y3  x ≈ 3,71 het duurt 3,71 – 3,5 = 0,21 dagen ≈ 5 uur 1130 t

Een machtsformule heeft de vorm y = axn n even n oneven y y y y a > 0 a < 0 a > 0 a < 0 x x x x O O O O de top is (0,0) het punt van symmetrie is (0,0) 7.3

de grafiek van y = axn met a > 0 is toenemend stijgend voor n > 1 afnemend stijgend voor 0 < n < 1 afnemend dalend voor n < 0 v.b. n > 1 0 < n < 1 n < 0 7.3

a de grafiek van y = ax-0,85 gaat door het punt (8,3) y = ax-0,85 opgave 22 a de grafiek van y = ax-0,85 gaat door het punt (8,3) y = ax-0,85 x = 8 en y = 3 b de grafiek van y = 18xn gaat door het punt (8,3) y = 18xn voer in y1 = 3 en y2 = 18 ∙ 8x optie intersect x = -0,86 dus n = -0,86 3 = a ∙ 8-0,85 a = 3/8-0,85 a = 17,57 3 = 18 ∙ 8n -0,86

Evenredig en omgekeerd evenredig met een macht van x als de grootheden P en Q evenredig zijn, bestaat er een getal a zo, dat P = aQ het getal heet de evenredigheidsconstante en zo volgt uit y is evenredig met x0,75 dat er een getal a bestaat zo, dat y = ax0,75 y is evenredig met xn betekent dat er een getal a bestaat met y = axn voor omgekeerd evenredig geldt een dergelijke eigenschap y is omgekeerd evenredig met xn betekent dat er een getal a bestaat met y = a/xn 7.3

opgave 28 a A = av2 v = 40  A = 10 A = 0,00625v2 b v = 70  A = 0,00625 ∙ 702 ≈ 30,6 de remafstand is 30,6 m. c als v verdubbelt  dan wordt v2 4 keer zo groot dus de remafstand wordt 4 keer zo groot v  2v geeft (2v2) = 4v2 d A = 30 geeft 30 = 0,00625v2 v2 = 30/0,00625 v2 = 4800 v = √4800 ≈ 69 zijn snelheid was 69 km/u 10 = a ∙ v2 a = 10/402 a = 0,00625

Evenredigheid aantonen bij tabellen werkschema : hoe volgt uit een tabel met onderzoeksresultaten dat y evenredig is met xn ? bereken bij elk onderzoeksresultaat het quotiënt laat zien dat deze quotiënten gelijk zijn in het geval de quotiënten (bij benadering) gelijk zijn, weet je de evenredigheidsconstante a en dus ook de formule y = axn 7.3

de hersenmassa is ongeveer 186 gram opgave 31 a H = a · G0,67  a = 12 dier H G = konijn 19 2 11,94 hond 56 10 11,97 schaap 142 40 11,99 leeuw 380 175 gorilla 490 250 12,12 H is evenredig met G0,67 H = 12 · G0,67 b G = 60  H = 12 ∙ 600,67 = 186 de hersenmassa is ongeveer 186 gram