Bouwen in Beton Week 3 Docent: M.J.Roos

Balkbelastingen

Verankeringslengte Welke verankeringslengte is nodig om de trekkracht in de wapeningsstaaf over te dragen op het beton? De krachten moeten worden opgenomen zonder dat de wapening wordt losgetrokken.

Verankeringslengte lb,rqd : basisveranderingslengte De krachten die het beton en wapening op elkaar uitoefenen, moeten worden opgenomen zonder dat de wapening wordt losgetrokken. l0 : overdrachtslengte De aanhechtskrachten die zich uitstrekken over een zekere lengte. a. De kracht in het staal wordt geleidelijk op het beton overgebracht. b. De aanhechtspanning neemt af met de diepte van de staaf in het beton om op nul te eindigen.

Verankeringslengte Voor horizontaal evenwicht geldt: H = Ns Dus: . fb = aanhechtsterkte . lbond = de lengte van de staafinbedding waarover de aanhechtkracht gelijkmatig verdeeld is. H = aanhechtoppervlak Ø = doorsnede staaf, Ns = de kracht in de wapeningsstaaf waarmee de staaf uit het beton getrokken wordt. As = staafdoorsnede σs,max = maximale staalspanning Voor horizontaal evenwicht geldt: H = Ns Dus:

Verankeringslengte Basisverankeringslengte De vereiste (required) basisverankeringslengte(lb,rqd) De rekenwaarde van de uiterste opneembare aanhechtspanning fctd rekenwaarde van de treksterkte van het beton ƞ1 kwaliteit vd aanhechtomstanidgheden ƞ2 een factor gerelateerd aan de staafdiameter σSd rekenwaarde van waaruit de verankering wordt gemeten Ƞ1 = 1 (goede aanhechtingsomstandigheden) fb = 2.25fctd Ƞ1 = 0.7 (slechte aanhechtingsomstandigheden) fb = 0.7x2.25xfctd = 1.58fctd Ƞ2 = 1 staven met diameter Ø≤32mm,

Verankeringslengte Vereiste basisverankeringslengte lb,rqd voor geribde staven B500 (fyd = 435N/mm2) met een diameter Ø≤32mm en een rekenwaarde van de spanning in de staaf σsd=fyd

Verankeringslengte Vereiste basisverankeringslengte lb,rqd voor geribde staven B500 (fyd = 435N/mm2) met een diameter Ø≤32mm en een rekenwaarde van de spanning in de staaf σsd=fyd

Verankeringslengte De tabelwaarden gelden niet voor staafdiameters > 32mm, want dan is; Vanaf betonsterkteklasse C60/75 blijft de vereiste basisverankeringslengte ongewijzigd omdat tgv toenemende brosheid van het beton, de rekenwaarde van de treksterkte van het beton moet worden beperkt Hoe hoger de laag beton onder de staaf, hoe groter de kans op nazakken en dus op minder goede aanhechting. Onder de staaf ontstaat holle ruimte

Verankeringslengte Rekenwaarde van de basisverankeringslengte (bij rechte staaf) Rekenvoorbeeld (niet rechte staaf)

Verankeringslengte Een grotere aanwezige betondekking dan cd = 3Ø heeft geen invloed meer op de verankeringslengte

Verankeringslengte Bundeling van staven. Als de staven te dicht bij elkaar liggen om het beton goed rondom de staven te verdichten, kan het nodig zijn om de staven te bundelen. Bij bundeling zal er dan minder aanhechting van het beton zijn. In de berekening vervangen we dan de bundel door een nominale staaf die dezelfde doorsnede heeft als de bundel. De gelijkwaardige diameter van deze nominale staaf is. Øn = Ø√nb, ,< 55 mm, waarin nb het aantal staven in de bundel is. Bij het verankeren geldt de voorwaarde nb ≤ 3

Verankeringslengte Gereduceerde verankeringslengte Door het aanbrengen van meer wapening dan nodig is komt voor dat het optredende moment MEd aanmerkelijk kleiner is dan het bezwijkmoment MRd, MEd < MRd. In die gevallen mag de basisverankeringslengte met een lagere staalspanning worden berekend. De werkelijke optredende staalspanning kan rechtstreeks worden bepaald uit de verhouding MEd / MRd

Verankeringslengte Gereduceerde verankeringslengte Indien de toegepaste hoeveelheid wapening meer is dan gevraagd. Minimale verankeringslengte: 0.3lb,rqd 10Ø 100mm

Verankeringslengte Voorbeeld: Gereduceerde verankeringslengte Berekende veldwapening (B500) As = 550mm2 (goede aanhechting) Gekozen wapening 3Ø16 (As = 603mm2), cd = 30mm, Øbgl=10mm  σsd = 0.91fyd lb,rqd = 47Ø (hierin is de staalspanning al in opgenomen) = 0.87 De gereduceerde verankeringslengte wordt dan:

Verlenging betonstaal

Verlenging betonstaal Percentage overlappende staven van de totale oppervlakte van de doorsnede < 25% < 33% < 50% > 56% α6 1 1.15 1.4 1.5

Laslengte

Ombuiging en verankering Bij beeindiging van balken en vloeren is er vaak onvoldoende ruimte om de staven voor het einde van de balk of vloer recht te verankeren. De staaf moet worden omgebogen. De doorndiameter (ombuigingsstraal) behoeft niet te worden getoetst als: De doorndiameter gelijk is aan de hierboven aangegeven waarden. De verankering van de staaf vereist geen grotere lengte dan 5Ø voor bij het einde van de ombuiging. Als aan bovenstaande niet wordt voldaan dan moet de minimum doorndiameter worden berekend ∅ 𝑚.𝑚𝑖𝑛 ≥ 𝐹 𝑏𝑡 1/ 𝑎 𝑏 +1/ 2∅ 𝑓 𝑐𝑑

Ombuiging en verankering Fbt = trekkracht staaf bij gegin ombuiging ab = de helf van de hartafstand van de staven loodrecht op het vlak van de ombuiging Rekenvoorbeeld De console is gewapend met 4Ø20, B500, C20/25, cd = 25mm Bereken de vereiste verankeringslengte indien l1 = 500mm voor σsd = fyd

Ombuiging en verankering Rekenvoorbeeld lb,rqd = 67Ø = 67 x 20 = 1340 mm De staaf is niet recht, dus slechte aanhechtingsomstandigheden, daarom: α1 = 1, omdat cd ≤ 3Ø Invloed betondekking 0.7 ≤ α2 ≤ 1 Omdat cd < 3Ø moet voor α2 de bovengrenswaarde worden aangehouden, α2 = 1 lbd = α1α2α3α4α5lb,rqd > lb,min (waarbij α3=α4=α5 = 1 (conservatieve aanname)

Ombuiging en verankering lbd = lb, rqd = 67Ø = 1340mm Stel dat de doorndiameter gelijk is aan het minimum vereiste van 5Ø Voor de ombuiging is dan nog tbv de verankeringslengte over: l1 – 2.5Ø = 500 – 50 = 450mm Dit betekend de verankering voorbij het einde van de ombuiging een lengte groter dan 5Ø = 100mm vereist. Hiervoor zal eerst de minimum doorndiameter moeten worden berekend. ∅ 𝑚.𝑚𝑖𝑛 ≥ 𝐹 𝑏𝑡 1/ 𝑎 𝑏 +1/ 2∅ 𝑓 𝑐𝑑

Ombuiging en verankering Bij het begin van de ombuiging is de staalspanning afgenomen met: ∆ 𝜎 𝑠 = 450 1340 ∙435=146𝑁/ 𝑚𝑚 2 De aanwezige staalspanning is dan σs = fyd – 146 = 435 – 146 = 289N/mm2 Fbt = 0.25πØ2σs = 0.25π202 x 289 = 90.8 x 103 N ab = 25 + 20/2 = 35mm fcd = 13.3 N/mm2 Dan is: ∅ 𝑚.𝑚𝑖𝑛 ≥ 90.8∙ 10 3 ∙ 1 35 ∙ 1 2∙20 13.3 = 366mm

Ombuiging en verankering Deze nieuwe minimum doorndiameter is groter dan 5Ø, 366mm > 100mm. Deze Øm is ca. 4x groter dan de veronderstelde doorndiameter van 5Ø. Reken nu met een aangenomen doorndiameter van 22Ø = 440mm De beginverankeringslengte (l1) wordt dan: 550 – 220 = 280mm Bij het begin van de ombuiging is de staalspanning dan afgenomen tot: ∆ 𝜎 𝑠 = 280 1340 ∙435=91𝑁/ 𝑚𝑚 2 , de aldaar aanwezige staalspanning is dan: 435 – 91 = 344N/mm2. De aanhechtkracht Fbt is dan: 0.25π202 * 435 = 108,1KN, Met ab = 25 + 20/2 = 35mm en fcd = 13,3N/mm2 wordt de minimum doorndiameter: ∅ 𝑚.𝑚𝑖𝑛 ≥ 108,1∙ 10 3 ∙ 1 35 ∙ 1 2∙20 13.3 = 435mm 435 > 366, de gekozen doorndiameter (440mm) voldoet. De vereeiste verankeringslengte is 1340mm. L1 = 280mm en in de ombuiging zelf bevindt zicht π * 440/4 = 346mm. Na de ombuiging is dan: 1340 – 280 – 346 = 714mm vereist. L2 is dan: 714 + 220 = 934mm en L1 is dan: 280 + 220 = 500mm

Ombuiging en verankering VOORBEELD 02

Ombuiging en verankering

Ombuiging en verankering Gegeven: Een poer met afmetingen b x h = 600 x 1250mm2, lengte is 2,4m, HW = 6Ø32 (4825mm2) en beugels is Ø12. De palen met afmetingen b xh = 450 x 450mm2 staan H.O.H 1,6m. Beton C30/37, Staalsoort B500, betondekking cd = 45mm. De berekende wapening is 3482mm2. Gevraagd: De verankeringslengte en de ombuiging. De wapening wordt verankerd vanaf de dag van de oplegging, de zijkant van de paal. De basisverankeringslengte lb,rqd van een staaf Ø32 met goede aanhechtingsomstandigheden bedraagt: met

Ombuiging en verankering Ƞ1 = 1 (goede aanhechtingsomstandigheden) fb = 2.25fctd Ƞ1 = 0.7 (slechte aanhechtingsomstandigheden) fb = 0.7x2.25xfctd = 1.58fctd Ƞ2 = 1 staven met diameter Ø≤32mm, fctd = rekenwaarde betontreksterkte fbd = rekenwaarde uiterste opneembare aanhechtspanning fctm = gemiddelde treksterkte fctk,0.05 = karakteristieke ondergrens treksterkte 𝑓 𝑐𝑡𝑚 =0.3f 𝑐𝑘 2/3 =0.3∙ 30 2 3 =2.986𝑁/ 𝑚𝑚 2 𝑓 𝑐𝑡𝑘,0.05 =0.7 𝑓 𝑐𝑡𝑚 =0.7∙2.986=2.03𝑁/ 𝑚𝑚 2 𝑓 𝑐𝑡𝑑 = 𝑓 𝑐𝑡𝑘.0.05 1.5 = 2.03 1.5 =1.35𝑁/ 𝑚𝑚 2 𝑙 𝑏.𝑟𝑞𝑑 = ∅ 4 ∙ 𝜎 𝑠𝑑 1.35 =0.082∅ 𝜎 𝑠𝑑 𝜎 𝑠𝑑 = 𝐴𝑠,𝑟𝑞𝑑 𝐴𝑠,𝑝𝑟𝑜𝑣 ∙ 𝑓 𝑦𝑑 = 3482 4825 ∙435=314𝑁/ 𝑚𝑚 2

Ombuiging en verankering 𝑙 𝑏𝑑 = 𝛼 1 𝛼 2 𝛼 3 𝛼 4 𝛼 5 𝑙 𝑏,𝑟𝑞𝑑 Verwacht wordt dat de staaf moet worden omgebogen de betondekking aan de kopzijde is 45 + 12 = 57mm, dat is minder dan 3x de staafdiameter daarom wordt gerekend met α1 = 1, ook al is de staaf niet recht. α2 = 1, omdat ook hier de betondekking minder is dan 3Ø. α3=α4=α5=1, zodat: 𝑙 𝑏𝑑 = 𝑙 𝑏,𝑟𝑞𝑑 =0.082∅ 𝜎 𝑠𝑑 =0.082∙32∙314=824𝑚𝑚 De grootte van de verankeringslengte maakt het noodzakelijk de staaf om te buigen. De in horizontale richting beschikbare ruimte voor de verankering (l1) is 𝑙 1 =400− 450 2 −𝑐− ∅ 𝑠𝑤 − 1 2 ∅ 𝐻𝑊 =400+225−45−12− 1 2 ∙32=552𝑚𝑚 Hierbij is de verankeringslengte gerekend vanaf de dag van de oplegging tot het hart van de verticale gedeelte van de staaf.

Ombuiging en verankering De minimum doorndiameter van een staaf Ø32 is 5Ø = 160mm Als deze minimumwaarde wordt aangehouden, is voor de bocht: 552 – 32/2 – 160/2 = 456mm verankeringslengte beschikbaar. Voor de ingang van de bocht is de staalspanning van 314N/mm2 thv de dagzijde van de paal afgenomen tot: 𝜎 𝑠𝑑 = 824−456 824 ∙314=140𝑁/ 𝑚𝑚 2 Nu moet worden gecontroleerd of de drukspanningen in de ombuiging niet te hoog worden. De ligger is 600mm breed. Toegepast worden 6 staven van Ø36 en beugels van Ø12 is de hartafstand van de staven 𝑠= 600−2 45+12 −2∙1/2∙32 5 =91𝑚𝑚 De helft van de hartafstand ab = 45mm.

Ombuiging en verankering lb,rqd = 824mm Dat betekent dat na de bocht een verankering overblijft van: 824 - 552 – 32/2 = 257mm dit is meer dan de vereiste verankering van 5Ø = 5 x 32 = 160mm bij de veronderstelde doorndiameter van 160mm. De minimale doorndiameter moet dan worden berekend. Gekozen wordt voor een doorndiamet van 8Ø = 256mm ∅ 𝑚.𝑚𝑖𝑛 ≥ 𝐹 𝑏𝑡 1/ 𝑎 𝑏 +1/ 2∅ 𝑓 𝑐𝑑 ∅ 𝑚.𝑚𝑖𝑛 ≥ 1 4𝜋 ∙ 32 2 ∙140 1 45 + 1 2∙32 30 1.5 =213𝑚𝑚 213mm > 160mm, dus groter dan de veronderstelde doorndiameter van 5Ø. Er wordt dus niet voldaan aan de eis. Gekozen wordt voor een doorndiameter van 256mm.

Ombuiging en verankering De beschikbare ruimte voor l1 is 552mm. Bij een ombuigstraal van 128mm is dan 552 – 32/2 – 128 = 408mm verankeringslengte voor de bocht beschikbaar. Bij het ingaan van de bocht is de staalspanning dan afgenomen tot: 𝜎 𝑠𝑑 = 824−408 824 ∙314=159𝑁/ 𝑚𝑚 2 De doorndiameter moet voldoen aan de eis: ∅ 𝑚.𝑚𝑖𝑛 ≥ 1 4𝜋 ∙ 32 2 ∙159 1 45 + 1 2∙32 30 1.5 =242𝑚𝑚 Toegepast is een doorndiameter van 256mm, 242mm < 256mm, deze voldoet.

Ombuiging en verankering Binnen de ombuiging bevind zich een verankeringslengte van: 1 2 ∙𝜋∙ 128+ 1 2 ∙32 =226𝑚𝑚 Dit betekent dat na de ombuiging nog nodig is: 824 – 408 – 226 = 190mm Na de ombuiging moet er minimaal 5Ø = 160mm verankeringslengte aanwezig zijn, hier wordt aan voldaan (160 < 190) l2 = 32/2 + 256/2 + 190 = 334mm lbd = 408 + 226 + 190 = 824mm l1 = 408 + 128 + 32/2 = 552mm l2 = 190 + 128 + 32/2 = 334 mm

Dwarskrachtwapening Een dwarskracht is een inwendige kracht, die loodrecht op de as van de constructie werk. vEd = VEd / bd Indien vEd ≤ vRd , dan is de betondoorsnede in staat deze spanning op te nemen, maatregelen zijn dan niet nodig.

Dwarskrachtwapening Bezwijkvormen bij een gewapende betonbalk Zuivere buigbreuk Verankeringsbreuk Afschuifbuigbreuk Afschuiftrekbreuk afschuifdrukbreuk

Dwarskrachtwapening

Dwarskrachtwapening

Dwarskrachtwapening

Dwarskrachtwapening

Dwarskrachtwapening

Dwarskrachtwapening

Dwarskrachtwapening

Dwarskrachtwapening

Dwarskrachtwapening

Dwarskrachtwapening

Dwarskrachtwapening Voorbeeldberekening 01

Dwarskrachtwapening Voorbeeldberekening Balk b xh = 450 x 800mm2, ØHW 32mm, Øbgl 12mm, milieuklasse XC4, controleerbaar, Beton C28/35, B500, Fd = 300 kN Gevraagd: De benodigde dwarskrachtwapening voor de balk RAd = RBd = 450kN VAd = VBd = VEd = 300kN MEd,veld = 3 x 300 = 900kNm cmin,dur = 30mm (uit tabel milieuklasse) cnom = cmin,dur + Δdev + nabewerking = 40mm cd = 40 + 12 = 52mm (beugel op hoofdwapening)

Dwarskrachtwapening d = h – c – Øbgl – ½ ØHW = 800 – 40 – 12 - ½ x 32 = 732mm Volgens tabel is de afschuifgrenswaarde voor C28/35, vRD,c = 0,35 N/mm2 Volgens tabel is de max. afschuifgrenswaarde voor C28/35, vRD,max = 3,09 N/mm2 (21.8° hellingshoek van de drukdiagonalen) De rekenwaarde van de afschuifspanning van beton bedraagt; vEd > vRd,c 0,91 > 0,35  dwarskrachtwapening toepassen vEd < vRd,max 0,91 < 3,09  akkoord op sterkteklasse en afmeting

Dwarskrachtwapening Volgens de tabel wordt de benodigde beugelafstand Ø12 – 300, deze zal in staat zijn om voor vRD,s = 1,64 N/mm2 aan dwarskrachtcapaciteit te leveren vRd,s < vRd,max, 1.64 < 3.09  akkoord op treksterkte en afmetingen Over de gehele balklengte kan gekozen worden voor Ø12 - 300 k = 1 + √(200/732) = 1.52 ≤ 2 vRd,c = vmin = 0.035 x 1.521.5 x √28 = 0.35 N/mm2 VRd,c = vmin x b x d = 0.35 x 450 x 732 = 115kN VEd < VRd,c , 300kN < 115kN  dwarskrachtwapening toepassen

Dwarskrachtwapening Grenswaarde, vrd,max

Dwarskrachtwapening Voorbeeldberekening 02

Dwarskrachtwapening Voorbeeld 2 Balk b x h = 350 x 500 mm2, milieuklasse XC1, controleerbaar, ØHW = 16mm, Øbgl = 8mm - 300, C20/25, B500, qd = 95 kN/m1, lengte balk l = 4m Bereken de benodigde dwarskrachtwapening RAd = RBd = 0.5 x 95 x 4 = 190kN VAd = VBd = VEd = 190kN MEd, veld = 1/8 x 95 x ^42 = 190kNm

Dwarskrachtwapening cmin,dur = 30mm (uit tabel milieuklasse) cnom = cmin,dur + Δdev + nabewerking = 15 + 5 + 5 = 25mm cd = 25 + 8 = 33mm (beugel op hoofdwapening) d = h – c – Øbgl – ½ ØHW = 500 – 25 – 8 - ½ x 16 = 459mm k = 1 + √(200/459) = 1.66 ≤ 2 vRd,c = vmin = 0.035 x 1.661.5 x √28 = 0.33 N/mm2 Of uit tabel: VRd,c = 0.33N/mm2 21.8° hellingshoek vd drukdiagonalen

Dwarskrachtwapening vEd > vRd,c 1.18 > 0,33  dwarskrachtwapening toepassen vEd < vRd,max 1.18 < 2.28  akkoord op sterkteklasse en afmeting

Dwarskrachtwapening vRD,s,extra beugels = 1.18 – 0.94 = 0.24 N/mm2 De lengte waarover de extra beugels moeten worden toegepast kan nu berekend worden mbv gelijkvormige driehoeken 0.24 : 1.18 = y : 2000

Dwarskrachtwapening Extra beugels zijn dus noodzakelijk over een afstand van 407mm, met vRd,s=1,18N/mm2, mbv de tabel kunnen we hiervoor de benodigde beugelafstand bepalen. Gekozen wordt: vRd,S, beugels Ø8-200 =1.41N/mm2 over 407mm en over het resterende gedeelte de praktische beugels Ø8-300

Einde