Welkom Klik linksonder op de xx knop om te beginnen. renten Klik op de groene knop om verder te gaan.

Woord vooraf. Deze presentatie gaat over renten. Er wordt voorkennis veronder-steld van enkelvoudige en samengestelde interest en enige basiskennis van het gebruik van de TI-83 en het werken met Excel. Het is aan te bevelen pen en papier en je GRM bij de hand te hebben. Aan deze presentatie zijn een aantal oefenbestanden met open vragen gekoppeld: Oefenen met eindwaarde Oefenen met contante waarde Wil je je kennis nu al testen, klik dan op de betreffende toets.

Inhoudsopgave Eindwaarde 1 definitie rente 3 de som van de interestfactoren 4 rekenen met datums 10 Contante waarde 19 de som van de inverse interestfactoren 21 Gebruik van de functies TW en HW in Excel (extra onderwerp) 29 Annuïteiten (extra onderwerp) 38 Gebruik van de functies BET, IBET en PBET in Excel 45 Klik op het onderwerp om er direct heen te gaan en op de oranje knop om een stap terug te gaan. Om te stoppen moet je linksboven op het toetsenbord op de Esc-knop drukken.

D. Ik wil eerst meer uitleg. 1 Sasya krijgt vanaf haar vijftiende elke verjaardag geld van haar ouders. Het eerste jaar heeft ze van dat geld € 50 op een spaar-rekening gezet, het tweede jaar € 40 en het derde jaar € 60. De bank belooft 4,5% samengestelde interest per jaar. Op haar achttiende verjaardag wil Sasya wel eens controleren of dat klopt. Hoeveel geld moet ze op haar rekening hebben staan (= de eindwaarde) als de bank inderdaad 4,5% samengestelde interest per jaar heeft gegeven? Klik op het goede antwoord. A. € 163,05 B. € 163,44 C. € 163,91 D. Ik wil eerst meer uitleg. Klik op de gele homeknop als je naar de inhouds- opgave wilt gaan.

Sasya krijgt vanaf haar vijftiende elke verjaardag geld van haar ouders. Het eerste jaar heeft ze van dat geld € 50 op een spaar-rekening gezet, het tweede jaar € 40 en het derde jaar € 60. De bank belooft 4,5% samengestelde interest per jaar. Op haar achttiende verjaardag wil Sasya wel eens controleren of dat klopt. Hoeveel geld moet ze op haar rekening hebben staan als de bank inderdaad 4,5% samengestelde interest per jaar heeft gegeven? A. € 163,05 B. € 163,44 C. € 163,91 D. Nog eens de uitleg.

Fout! Je bent uitgegaan van enkelvoudige interest. Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het wel moet.

Fout! Je hebt gedaan alsof er elk jaar € 50 is gestort. Dat mag niet. Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het wel moet.

De vraag is hoeveel de totale eindwaarde na drie jaar bedraagt, als je het eerste jaar € 50 stort tegen 4,5 % SI per jaar, het tweede jaar € 40 en het derde jaar € 60. Hieronder is weergegeven hoe je de eindwaarde van een reeks stortingen kunt berekenen. Gedurende drie jaar is aan het begin van elk jaar een bedrag gestort tegen 5% SI per jaar; het eerste jaar € 1.000, het tweede jaar € 800 en het derde jaar € 500. 5% x € 1.000 = € 50 5% x € 1.850 = € 92,50 5% x € 2.442,50 = € 122,13 € 2.564,63 5 € 1.000 1e storting eindwaarde 3e jaar interest 1e jaar interest 2e jaar interest 3e jaar eindwaarde 1e jaar + 2e storting eindwaarde 2e jaar + 3e storting € 1.050 + € 800 = € 1.850 € 1.942,50 + € 500 = € 2.442,50 Met behulp van een tabel kun je dit alles mooi overzichtelijk weergegeven.

beginwaarde na storting periode beginwaarde voor storting storting beginwaarde na storting interestbedrag bij 5% interest eindwaarde 1 1.000 50 1.050 2 800 1.850 92,50 1.942,50 3 500 2.442,50 122,13 2.564,63 Het handmatig opstellen van zo’n tabel kost nogal wat tijd. Door de eindwaarde te zien als de optelsom van de eindwaarden van de afzonderlijke stortingen kun je de eindwaarde op een wat snellere manier berekenen. Kijk maar: jaar 1 jaar 2 jaar 3 Klik hier om het te zien.

beginwaarde na storting periode beginwaarde voor storting storting beginwaarde na storting interestbedrag bij 5% interest eindwaarde 1 1.000 50 1.050 2 800 1.850 92,50 1.942,50 3 500 2.442,50 122,13 2.564,63 Het handmatig opstellen van zo’n tabel kost nogal wat tijd. Door de eindwaarde te zien als de optelsom van de eindwaarden van de afzonderlijke stortingen kun je de eindwaarde op een wat snellere manier berekenen. Kijk maar: jaar 1 jaar 2 jaar 3 x 1,053 1.000 1.157,63 x 1,052 800 882 x 1,051 500 525 2.564,63 Klik op de blauwe knop om het nog eens te proberen.

2 Goed De handigste manier om de eindwaarde van een reeks verschillende bedragen uit te rekenen is deze eindwaarde te beschouwen als de optelsom van de eindwaarden van de afzonderlijke bedragen. Klik op de groene knop om door te gaan.

3 Had Sasya met de bank afgesproken elk jaar hetzelfde bedrag te storten, dan was sprake geweest van een zogenaamde rente. Een rente is een andere benaming voor een reeks van periodiek gelijke bedragen. Zo’n periodiek gelijk bedrag noem je een termijn. Er kan sprake zijn van een rente waarbij in termijnen geld gestort wordt en een rente waarbij in termijnen geld wordt opgenomen. In het eerste geval is de vraag hoeveel de eindwaarde is die via de termijnen bij elkaar gespaard wordt. In het tweede geval is de vraag welk bedrag aan het begin aanwezig moet zijn om al die opnames in termijnen mogelijk te maken. Het storten of opnemen van een termijn wordt ook wel het vervallen van een termijn genoemd. Bij een rente wordt steeds gerekend met samengestelde interest en wordt het jaar op 360 dagen gesteld.

4 De eindwaarde van een rente kun je op dezelfde wijze uitrekenen als de eindwaarde van een reeks verschillende bedragen; door elke afzonderlijke termijn te vermenigvuldigen met de betreffende interestfactor (of oprentingsfactor) en de zo gevonden eindwaarden bij elkaar op te tellen. Wordt de reeks stortingen groter dan is het handiger om de eindwaarde in één keer te berekenen door het bedrag van de termijn te vermenigvuldigen met de som van de interestfactoren. Deze som kun je met een wiskundig foefje vrij eenvoudig zelf uitrekenen. Wil je weten hoe dat gaat, klik dan op het plaatje. Bij de TI-83 is de som van de interestfactoren opgenomen in de TVM Solver.

We laten aan de hand van de berekening van de eindwaarde van een rente met een looptijd van drie jaar, waarbij aan het begin van elk jaar € 1.000 wordt ingelegd tegen 5% (samengestelde) interest per jaar, zien hoe je de som van de interestfactoren kunt berekenen. Klik op de groene knop om deze berekening stap voor stap te zien.

Klik hier voor de volgende stap in de berekening. De eindwaarde is: 1.000 x 1,051 + 1.000 x 1,052 + 1.000 x 1,053 Klik hier voor de volgende stap in de berekening.

Klik hier voor de volgende stap in de berekening. De eindwaarde is: 1.000 x 1,051 + 1.000 x 1,052 + 1.000 x 1,053 Dit is gelijk aan: 1.000 x (1,051 + 1,052 + 1,053) Klik hier voor de volgende stap in de berekening.

Klik hier voor de volgende stap in de berekening. De eindwaarde is: 1.000 x 1,051 + 1.000 x 1,052 + 1.000 x 1,053 Dit is gelijk aan: 1.000 x (1,051 + 1,052 + 1,053) We stellen nu dat (1,051 + 1,052 + 1,053) = Y. Klik hier voor de volgende stap in de berekening.

Klik hier voor de volgende stap in de berekening. De eindwaarde is: 1.000 x 1,051 + 1.000 x 1,052 + 1.000 x 1,053 Dit is gelijk aan: 1.000 x (1,051 + 1,052 + 1,053) We stellen nu dat (1,051 + 1,052 + 1,053) = Y. Dan geldt dat 1,05 Y = 1,05 (1,051 + 1,052 + 1,053) = (1,052 + 1,053 + 1,054) Klik hier voor de volgende stap in de berekening.

Klik hier voor de volgende stap in de berekening. De eindwaarde is: 1.000 x 1,051 + 1.000 x 1,052 + 1.000 x 1,053 Dit is gelijk aan: 1.000 x (1,051 + 1,052 + 1,053) We stellen nu dat (1,051 + 1,052 + 1,053) = Y. Dan geldt dat 1,05 Y = 1,05 (1,051 + 1,052 + 1,053) = (1,052 + 1,053 + 1,054) 0,05 Y = (1,052 + 1,053 + 1,054) - (1,051 + 1,052 + 1,053) Als je Y aftrekt van 1,05 Y houd je 0,05 Y over en omdat 1,05 Y = (1,052 + 1,053 + 1,054) en Y = (1,051 + 1,052 + 1,053) geldt: Klik hier voor de volgende stap in de berekening.

Klik hier voor de volgende stap in de berekening. De eindwaarde is: 1.000 x 1,051 + 1.000 x 1,052 + 1.000 x 1,053 Dit is gelijk aan: 1.000 x (1,051 + 1,052 + 1,053) We stellen nu dat (1,051 + 1,052 + 1,053) = Y. Dan geldt dat 1,05 Y = 1,05 (1,051 + 1,052 + 1,053) = (1,052 + 1,053 + 1,054) 0,05 Y = (1,052 + 1,053 + 1,054) - (1,051 + 1,052 + 1,053) Als je Y aftrekt van 1,05 Y houd je 0,05 Y over en omdat 1,05 Y = (1,052 + 1,053 + 1,054) en Y = (1,051 + 1,052 + 1,053) geldt: Dus 0,05 Y = 1,052 + 1,053 + 1,054 - 1,051 - 1,052 - 1,053 Klik hier voor de volgende stap in de berekening.

Klik hier voor de volgende stap in de berekening. De eindwaarde is: 1.000 x 1,051 + 1.000 x 1,052 + 1.000 x 1,053 Dit is gelijk aan: 1.000 x (1,051 + 1,052 + 1,053) We stellen nu dat (1,051 + 1,052 + 1,053) = Y. Dan geldt dat 1,05 Y = 1,05 (1,051 + 1,052 + 1,053) = (1,052 + 1,053 + 1,054) 0,05 Y = (1,052 + 1,053 + 1,054) - (1,051 + 1,052 + 1,053) Als je Y aftrekt van 1,05 Y houd je 0,05 Y over en omdat 1,05 Y = (1,052 + 1,053 + 1,054) en Y = (1,051 + 1,052 + 1,053) geldt: Dus 0,05 Y = 1,052 + 1,053 + 1,054 - 1,051 - 1,052 - 1,053 Omdat 0,05 Y = 1,054 - 1,051, geldt Y = = 3,310125 Klik hier voor de volgende stap in de berekening.

De eindwaarde is dus 1.000 x Y = 1.000 x 3,310125 = 3.310,13. De eindwaarde is: 1.000 x 1,051 + 1.000 x 1,052 + 1.000 x 1,053 Dit is gelijk aan: 1.000 x (1,051 + 1,052 + 1,053) We stellen nu dat (1,051 + 1,052 + 1,053) = Y. Dan geldt dat 1,05 Y = 1,05 (1,051 + 1,052 + 1,053) = (1,052 + 1,053 + 1,054) 0,05 Y = (1,052 + 1,053 + 1,054) - (1,051 + 1,052 + 1,053) Als je Y aftrekt van 1,05 Y houd je 0,05 Y over en omdat 1,05 Y = (1,052 + 1,053 + 1,054) en Y = (1,051 + 1,052 + 1,053) geldt: Dus 0,05 Y = 1,052 + 1,053 + 1,054 - 1,051 - 1,052 - 1,053 Omdat 0,05 Y = 1,054 - 1,051, geldt Y = = 3,310125 De eindwaarde is dus 1.000 x Y = 1.000 x 3,310125 = 3.310,13.

Gelukkig kun je vrijwel alle stappen overslaan bij het berekenen van de som van de interestfactoren. Je hoeft alleen maar het volgende te doen: Kijk welk van de getallen die opgeteld moeten worden de grootste macht heeft (bij 1,051 + 1,052 + 1,053 is dat 1,053). Tel bij de macht 1 op (1,053 wordt dan 1,054). Trek het getal met de kleinste macht ervan af (wordt 1,054 - 1,051). Deel dit geheel door het interestperunage (wordt ). Zoals je ziet hoef je eigenlijk alleen het aantal perioden van de eerste termijn en dat van de laatste termijn te weten om op deze wijze de som van de interestfactoren te berekenen.

Zolang maar aan de voorwaarden voldaan is van gelijke termijnen, hetzelfde interestpercentage en een onafgebroken rij machten, kun je deze “truc” toepassen. De som van bijvoorbeeld 1,076 t/m 1,0720 is dus . Het aardige van deze berekening is bovendien dat je uit de machten boven de streep kunt afleiden om hoeveel termijnen het gaat. Zo kun je aan zien dat het bij de som van 1,076 t/m 1,0720 om 21 – 6 = 15 termijnen gaat (waarbij de eerste termijn twintig perioden heeft uitgestaan en de laatste zes perioden).

Even kijken of je het zelf ook kunt. De som van 1,038 t/m 1,0316 is gelijk aan: A. E. B. F. C. G. D. H.

De som van 1,038 t/m 1,0316 is gelijk aan: B. F. C. G. D. H.

Fout! Kijk nog eens naar de regels: - neem het getal met de grootste macht - tel bij de macht daarvan 1 op - trek het getal met de kleinste macht ervan af - deel dit geheel door het interestperunage Klik op de knop om het opnieuw te proberen.

Goed! Klik op de groene knop om door te gaan.

Eens kijken of je ook de voorwaarden hebt onthouden: Welke optelling voldoet aan alle voorwaarden? A. 2.000 × 1,066 + 2.000 × 1,068 + 2.000 × 1,0610 B. 2.000 × 1,066 + 2.000 × 1,067 + 2.000 × 1,068 C. 1.000 × 1,061 + 2.000 × 1,062 + 3.000 × 1,063 D. 1.000 × 1,061 + 2.000 × 1,062 + 3.000 × 1,063

Welke optelling voldoet aan alle voorwaarden? B. 2.000 × 1,066 + 2.000 × 1,067 + 2.000 × 1,068 C. 1.000 × 1,061 + 2.000 × 1,062 + 3.000 × 1,063 D. 1.000 × 1,061 + 2.000 × 1,062 + 3.000 × 1,063

Fout! Kijk nog eens goed naar de voorwaarden: - gelijke termijnen - hetzelfde interestpercentage (dat in de berekening van xde eindwaarde omgezet wordt in 1 + interestperunage) - een onafgebroken rij machten (die telkens met 1 xomhoog gaan). Klik op de knop om het opnieuw te proberen.

Goed Onthoud dat als niet aan deze voorwaarden is voldaan, je op zoek moet gaan naar een alternatieve berekening. Goed Klik op de groene knop om verder te gaan waar je gebleven was.

5 Bij deze functie wordt ervan uitgegaan dat je aan het begin van de looptijd een beginbedrag hebt (de “PV” = Present Value) en aan het eind een eindbedrag (de “FV” = Future Value). In de tussen-liggende perioden kun je aan het begin of aan het eind van elke periode een vast bedrag (de “PMT” = PayMenT = termijn) bijstorten of opnemen. Daarvoor moet je de functie instellen op “PMT BEGIN ” of “PMT END”. Hieronder zijn deze mogelijkheden weergegeven aan de hand van een tijdbalk met drie perioden. De termijnen zijn aangegeven met een “x”. De paarse stippellijn geeft de looptijd van het beginbedrag aan; de blauwe lijn de looptijd van de betreffende termijn. x PMT BEGIN PV FV PMT END

6 Welke optie je moet gebruiken blijkt niet af te hangen van het moment waarop de termijnen vervallen, maar van de looptijd van de laatste termijn. Staat deze één periode uit, dan moet je de optie “PMT BEGIN” gebruiken; staat hij nul perioden uit, de optie “PMT END”. Omdat het totale aantal perioden meestal aan de hand van de eerste termijn zal moeten worden uitgerekend (omdat er geen “PV” is), ben je bij gebruik van de optie “PMT END” geneigd één periode te weinig te tellen. Kijk maar: x PMT BEGIN PV FV PMT END Onthoud daarom dat als één van de termijnen nul perioden uitstaat, je bij het aantal perioden (“N”) één periode meer moet invullen dan het aantal perioden van de termijn die het langste uitstaat.

7 Om vergissingen te voorkomen kun je bij een rente voor “n” ook het aantal termijnen (stortingen of opnamen) lezen in plaats van het aantal perioden. Het is dan direct duidelijk, dat als de eerste termijn twee perioden uitstaat en de laatste nul, je bij “n” drie moet invullen (omdat je dan met drie termijnen te maken hebt). Doordat bij “N” met perioden wordt gewerkt in plaats van met het aantal jaren, kun je de P/Y (= Payment/Year) en de C/Y (= Calculation/Year) standaard op 1 laten staan. Zou je dat niet doen, dan maak je het jezelf alleen maar moeilijk. Wil je aan de hand van een voorbeeld zien hoe deze functie werkt, klik dan op het plaatje van de TI-83.

Hiernaast zie je een afbeelding van de TI-83 Hiernaast zie je een afbeelding van de TI-83. We laten nu stap voor stap zien hoe je de functie TVM Solver in werking stelt. Klik op de groene knop.

Druk op de (gele) 2nd-knop en dan op de x-1-knop om het menu Finance op te roepen. (Klik er ook daadwerkelijk op om de volgende stap te zien. Dat geldt ook voor het vervolg.) N.B. Heb je een TI-83 plus dan moet je eerst op de blauwe APPS-knop drukken. Je ziet dan Finance als eerste optie aangegeven. Door op ENTER te drukken activeer je deze functie. Het vervolg is hetzelfde als bij de gewone TI-83. Volg daarom gewoon de instructie voor de TI-83.

CALC VARS 1: TVM Solver 2: tvm_Pmt 3:tvm_I% 4:tvm_PV 5:tvm_N 6:tvm_FV 7npv( Zoals je ziet kun je bij het menu Finance kiezen voor “CALC” (= calculation) of “VARS” (variables). Het submenu dat je ziet, hoort bij de optie “CALC”. Zoals je ziet staat de TVM Solver als eerste functie in het rijtje. Druk nu op ENTER om deze functie te activeren. Opmerking: De TI-83 staat standaard op de eerste keuzemogelijkheid ingesteld. Wil je een van de andere opties hebben, dan moet je daar met de pijltjestoetsen naar toe gaan.

N= I%= PV= PMT= FV= P/Y= C/Y= PMT: END BEGIN De functie is nu geactiveerd. In principe staat de vorige invoer nog op het scherm. De “N” staat voor perioden, “I%” voor het interestpercentage, “PV” (= Present Value) voor de beginwaarde, “PMT” (= PayMenT) voor het termijnbedrag en “FV” (= Future Value) voor de eindwaarde. Omdat je met perioden in plaats van jaren rekent, moet je “P/Y” (= Payment/Year) en “C/Y” (= Calculation/Year) beide standaard op 1 laten staan. Klik op de groene knop.

Om bijvoorbeeld de eindwaarde aan het eind van de laatste periode uit te rekenen van een rente waarbij je twintig keer aan het begin van elke periode € 100 stort tegen 5% interest per periode, moet je de onderste PMT op de optie BEGIN zetten (want de laatste termijn staat één periode uit). Daarvoor moet je met de pijltjestoetsen op BEGIN gaan staan en op ENTER drukken (doe dat). N= I%= PV= PMT= FV= P/Y= C/Y= PMT: END BEGIN

Aan de zwarte arcering kun je zien dat de optie PMT BEGIN geactiveerd is. Nu moet je met behulp van de pijltjestoetsen bij N 20 invullen, bij I% 5 (zonder procentteken), bij PV 0 en bij PMT 100 (en P/Y en C/Y op 1 laten staan). Zoals je ziet is alles hier al ingevuld. Vervolgens moet je met behulp van de pijltjestoetsen op FV gaan staan. Druk nu op de (groene) ALPHA-knop en dan op ENTER (= SOLVE). Opmerking. Als er decimalen staan en je vindt dat storend, dan moet je op de MODE-knop drukken, met de pijltjestoets op “Float” gaan staan en op ENTER drukken. Vervolgens kun je via 2nd-MODE (= “QUIT”) dit scherm afsluiten. De volgende keer dat je de functie “TVM Solver” gebruikt zullen er geen decimalen meer staan. N= 20 I%= 5 PV= 0 PMT= 100 FV= ... P/Y= 1 C/Y= 1 PMT: END BEGIN N= I%= PV= PMT= FV= P/Y= C/Y= PMT: END BEGIN

Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE (= QUIT). N= 20 I%= 5 PV= 0 PMT= 100 FV= -3471,925181 P/Y= 1 C/Y= 1 PMT: END BEGIN Zoals je ziet is de uitkomst – 3471,92.. Die – staat daar omdat je bij PMT (+)100 hebt ingevuld. De GRM beschouwt de PMT als geleend bedrag en de FV als terugbetaling. De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent. Wil je een positieve uitkomst, dan moet je bij PMT –100 invullen, waarbij je de (–) toets moet gebruiken om de min aan te geven. Je kunt de functie verlaten via 2nd – MODE (= QUIT). Klik op de groene knop.

Nu eens kijken of je met de TVM Solver kunt werken. 8 Nu eens kijken of je met de TVM Solver kunt werken. Je stort drie jaar lang aan het begin van elke maand € 25 op een rekening tegen 0,5% samengestelde interest per maand. Hoeveel bedraagt de totale eindwaarde op het eind van het derde jaar na bijschrijving van de interest? A. € 29,92 B. € 75,75 C. € 983,40 D. € 988,32

Je stort drie jaar lang aan het begin van elke maand € 25 op een rekening tegen 0,5% samengestelde interest per maand. Hoeveel bedraagt de totale eindwaarde op het eind van het derde jaar na bijschrijving van de interest? A. € 29,92 B. € 75,75 C. € 983,40 D. € 988,32

Fout! Je hebt het termijnbedrag op de verkeerde plaats ingevuld. Klik op de knop om het opnieuw te proberen.

Fout! Je hebt de perioden verkeerd geteld. Als je drie jaar lang elke maand € 25 inlegt, dan is de inleg alleen al € 900. Klik op de knop om het opnieuw te proberen.

Fout! Je hebt de termijnen aan het eind van de maand laten vervallen. Klik op de knop om het opnieuw te proberen.

9 Goed Klik op de groene knop om door te gaan.

10 Als bij de looptijd gebruik wordt gemaakt van datums, dan hoef je alleen maar te kijken hoeveel perioden de eerste termijn uitstaat en hoeveel perioden de laatste termijn. Zoals al eerder is opgemerkt, moet je als de laatste termijn één periode uitstaat voor “PMT: BEGIN” kiezen (en kun je voor “N” het aantal perioden dat de eerste termijn uitstaat invullen). Als de laatste termijn nul perioden uitstaat, moet je voor “PMT: END” kiezen (en dus voor de “N” één optellen bij het aantal perioden dat de eerste termijn uitstaat). Omdat gerekend wordt met hele perioden, mag je, als de termijn op de laatste dag van een periode vervalt, daar ook de eerste dag van de volgende periode voor lezen. Bij gebruik van een tijdbalk doe je dat eigenlijk al vanzelf. Bij het tekenen van zo’n tijdbalk kun je je beperken tot alleen de eerste en de laatste termijn.

Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je bent. 11 Eens kijken hoe “tijdbalkvaardig” je bent. Je stort twee jaar lang elke maand eenzelfde bedrag tegen een vast (samengesteld) interestpercentage per maand. De eerste storting vindt plaats op 29-2-2004. Je wilt de voorlopige eindwaarde op 30-11-2005 vóór de storting van die dag weten. Welke tijdbalk geeft alle belangrijke informatie op de juiste wijze weer? 1-1-2004 1-1-2005 1-1-2006 A. x x B. x x C. x x D. x x

Je stort twee jaar lang elke maand eenzelfde bedrag tegen een vast (samengesteld) interestpercentage per maand. De eerste storting vindt plaats op 29-2-2004. Je wilt de voorlopige eindwaarde op 30-11-2005 vóór de storting van die dag weten. Welke tijdbalk geeft alle belangrijke informatie op de juiste wijze weer? 1-1-2004 1-1-2005 1-1-2006 A. x x B. x x C. x x D. x x

Fout! 29-2-2004 is de datum van de laatste dag van de tweede maand in dat jaar en niet het eind van de derde maand! Klik op de knop om het opnieuw te proberen.

Fout! 29-2-2004 is de datum van de laatste dag van de tweede maand in dat jaar en niet het eind van de derde maand en de storting op 30-11-2005 telt niet mee! Klik op de knop om het opnieuw te proberen.

Fout! De storting op 30-11-2005 telt niet mee! Klik op de knop om het opnieuw te proberen.

12 Goed Klik op de groene knop om door te gaan.

13 Je kunt ook de datum van die van de einddatum aftrekken om het aantal perioden te bepalen. Wordt uitsluitend gebruik gemaakt van datums op het eind van de maand, dan is het handig om alles gewoon één dag op te schuiven en voor de laatste van de maand dus de eerste van de volgende maand te gebruiken. Wil je zien hoe je op deze manier het aantal perioden kunt berekenen, klik dan op het plaatje. Houd wel in de gaten dat je elke berekening in principe twee keer zult moeten uitvoeren. Een keer met de datum van de eerste termijn en de datum van de eindwaarde en een keer met de datum van de laatste termijn en de datum van de eindwaarde.

Als je handmatig de begindatum van de einddatum aftrekt en de laatste van de maand niet vervangt door de eerste van de volgende maand, moet je voor de 31ste van de maand altijd de 30ste nemen. Is het van(af) 28 februari (of in een schrikkeljaar 29 februari), dan moet je daar vanaf 30 februari van maken (want februari is ten einde).

Stel dat je op 31-5-2000 een bepaald bedrag heb gestort tegen een bepaald samengesteld interestpercentage per maand en dat op de laatste van elke maand interest wordt bijgeschreven. Op 28-2-2005 wil je weten over hoeveel perioden je recht hebt gehad op interest. Links staat de berekening als je voor de 30ste van de maand kiest en rechts als je voor de eerste van de volgende maand kiest. (+ 12 =) 14 tot 30 - 2 - 2005 van 30 - 5 - 2000 wi2004 9 maanden 4 jaren tot 1 - 3 - 2005 van 1 - 6 - 2000 (+12 =) 15 Bij beide kom je uit op 57 maanden (= 9 + 4 x 12). Als je links 28 februari had laten staan, had je de twee ontbrekende dagen er zelf bij mogen tellen, omdat op 28 februari de interest over de hele voorafgaande periode wordt bijgeschreven. Klik op de groene knop om verder te gaan waar je was.

Eens kijken of het je lukt om het aantal perioden te bepalen. 14 Eens kijken of het je lukt om het aantal perioden te bepalen. De eerste storting van een rente vindt plaats op 31-12-2002 en de laatste op 30-4-2016. Hoeveel perioden heeft de eerste termijn gestaan en hoeveel de laatste termijn als de eindwaarde op 1-5-2016 gevraagd wordt en het interestpercentage per maand gegeven is? A. de eerste 160 perioden en de laatste nul perioden. B. de eerste 160 perioden en de laatste één periode. C. de eerste 161 perioden en de laatste één periode. D. Ik wil eerst meer uitleg.

De eerste storting van een rente vindt plaats op 31-12-2002 en de laatste op 30-4-2016. Hoeveel perioden heeft de eerste termijn gestaan en hoeveel de laatste termijn als de eindwaarde op 1-5-2016 gevraagd wordt en het interestpercentage per maand gegeven is? A. de eerste 160 perioden en de laatste nul perioden. B. de eerste 160 perioden en de laatste één periode. C. de eerste 161 perioden en de laatste één periode. D. Nog eens de uitleg.

Fout! De laatste termijn vervalt hier één dag tevoren. Die ene dag telt niet als periode. Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het wel moet.

Fout! Je hebt alles één maand opgeschoven. Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het wel moet.

De vraag is hoeveel perioden de eerste termijn en de laatste termijn hebben gestaan als de eerste storting van een rente plaatsvindt op 31-12-2002 en de laatste op 30-4-2016, de eindwaarde op 1-5-2016 gevraagd wordt en het interestpercentage per maand is gegeven. Stel dat de eindwaarde op 1-5-2010 gevraagd wordt van een rente waarbij aan het eind van elk kwartaal een vast bedrag wordt ingelegd tegen 1% SI per kwartaal en waarbij de eerste termijn vervalt op 31-7-2001 en de laatste op 30-4-2010. Het handigste is om eerst de laatste van de maand te vervangen door de eerste van de volgende maand. In plaats van 31-7-2001 gebruik je 1-8-2001 en in plaats van 30-4-2010 dus 1-5-2010.

looptijd eerste termijn: looptijd laatste termijn: Nu kun je de volgende opstelling maken om de datum af te trekken van de datum van de eindwaarde: looptijd eerste termijn: looptijd laatste termijn: (+12 =) 17 2009 totvan 1 - 5 - 2010 van tot1 - 8 - 2001 totvan 1 - 5 - 2010 vantot 1 - 5 - 2010 9 - 8 De eerste termijn staat acht jaar en negen maanden uit, dus 35 kwartalen. De laatste termijn staat nul kwartalen uit. Je kunt natuurlijk ook een tijdbalk tekenen.

In dit geval zou die er zo uit kunnen zien: 1-5 2010 1-8 2001 1-8 2010 1-8 2003 1-8 2004 1-8 2009 1-8 2005 1-8 2006 1-8 2007 1-8 2008 1-8 2002 x 8 x 4 + 3 = 35 perioden cx 0 perioden Zoals je ziet is gekozen voor een tijdbalk in jaren, waarbij alleen het laatste jaar is opgesplitst in kwartalen. Waren de kwartalen bij alle jaren ingetekend, dan had je het aantal perioden ook kunnen tellen. Hou bij dit tellen in de gaten dat het aantal tijdstippen altijd één groter is dan het aantal perioden. ( = vier perioden ( ) en vijf tijdstippen ( ) ) Klik op de blauwe knop terug te gaan naar de opgave.

15 Goed Klik op de groene knop om door te gaan.

16 Nu eens kijken of je in staat bent de eindwaarde te berekenen als met datums wordt gewerkt. Hoeveel bedraagt op 31-3-2005 na bijschrijving van de interest de eindwaarde van een rente waarbij de eerste storting op 1-12-2001 heeft plaatsgevonden en de laatste op 1-3-2005. Er wordt telkens € 20 gestort tegen 0,5% SI per maand en de interest wordt op het eind van de maand bijgeschreven. A. € 863,18 B. € 883,18 C. € 887,59 D. € 907,59

Hoeveel bedraagt op 31-3-2005 na bijschrijving van de interest de eindwaarde van een rente waarbij de eerste storting op 1-12-2001 heeft plaatsgevonden en de laatste op 1-3-2005. Er wordt telkens € 20 gestort tegen 0,5% SI per maand en de interest wordt op het eind van de maand bijgeschreven. A. € 863,18 B. € 883,18 C. € 887,59 D. € 907,59

Fout! Als de laatste termijn één periode staat, moet je voor “N” de looptijd van de eerste termijn invullen. Nu heb je één termijn en één periode te weinig geteld. Klik op de knop om het opnieuw te proberen.

Fout! Als de laatste termijn één periode staat, moet je kiezen voor PMT BEGIN. Nu heb je één periode interest te weinig geteld. Klik op de knop om het opnieuw te proberen.

Fout! Als de laatste termijn één periode staat, moet je kiezen voor PMT BEGIN en voor “N” de looptijd van de eerste termijn invullen. Nu heb je nog een termijn laten vervallen op de dag waarop de eindwaarde berekend moet worden. Klik op de knop om het opnieuw te proberen.

17 GOED Klik op de groene knop om door te gaan.

18 We zetten de regels voor het berekenen van de eindwaarde nog eens kort op een rij met behulp van een rente met drie termijnen. x N = aantal perioden eerste termijn plus één Laatste termijn nul perioden: PMT END PV = 0, P/Y = 1, C/Y = 1 N = aantal perioden eerste termijn Laatste termijn één periode: PMT BEGIN Klik op het vliegtuigje om berekeningen met eind-waarden van renten te oefenen met open vragen. Wij gaan nu over op het afbouwen van een bedrag via een rente. Daarbij gaan we er steeds vanuit dat het hele bedrag zal worden afgebouwd; met andere woorden, de restwaarde is steeds nul.

19 Stel, je wilt drie jaar lang aan het eind van het jaar € 1.000 telkens opnemen. Hoeveel moet je dan aan het begin van het eerste jaar in één keer storten als de interest 5% per jaar is? Het gevraagde bedrag noem je de contante waarde van de rente. Beschouw je deze contante waarde als één bedrag waaraan je elk jaar € 1.000 onttrekt, dan zul je door steeds maar weer een andere beginwaarde te proberen uiteindelijk tot de volgende oplossing komen: jaar 1 jaar 2 jaar 3 1.000 - 1.000 2.723,25 2.859,41 1.859,41 1.952,38 952,38 x 1,05

20 Door op vergelijkbare wijze als bij de eindwaarde, de contante waarde te beschouwen als de optelsom van de contante waarden van de afzonderlijke termijnen, kun je het geheel veel sneller oplossen. Hieronder is dat uitgebeeld: jaar 1 jaar 2 jaar 3 : 1,051 952,38 1.000 : 1,052 907,03 1.000 : 1,053 863,84 1.000 2.723,25 Bij deze methode zie je elke termijn dus als een stuk van de inleg plus de samengestelde interest over dat stuk van de inleg.

21 Je kunt ook gebruik maken van de som van de inverse interestfactoren om de contante waarde te berekenen. Wil je weten hoe je deze som zelf kunt berekenen, klik dan op het plaatje. Bij de “TVM Solver” maak je automatisch van de som van de inverse interestfactoren gebruik als je de “PV” als onbekende neemt. Hieronder is op vergelijkbare wijze als bij de eindwaarde weergegeven hoe deze functie werkt als je “PV” als onbekend stelt. (“x” = termijnen; paarse stippellijn = looptijd van het eindbedrag; blauwe lijn = looptijd van de betreffende termijn) PMT BEGIN PMT END x FV PV

Je weet waarschijnlijk al dat delen door bijvoorbeeld 1,051 hetzelfde oplevert als vermenigvuldigen met de inverse van 1,051. Omdat je ook kunt schrijven als 1,05-1, mag je in plaats van delen door 1,051 dus ook vermenigvuldigen met 1,05-1. Delen door 1,051 is dus gelijk aan vermenigvuldigen met . Dat houdt in dat € 1.000 : 1,051 + € 1.000 : 1,052 + € 1.000 : 1,053 hetzelfde is als € 1.000 x 1,05-1 + € 1.000 x 1,05-2 + € 1.000 x 1,05-3. Dat kun je weer schrijven als € 1.000 x (1,05-1 + 1,05-2 + 1,05-3).

€ 1.000 x (1,05-1 + 1,05-2 + 1,05-3) voldoet aan de drie voorwaarden om met behulp van de “truc” de som van de interestfactoren uit te rekenen. Kijk dus welk van de getallen die opgeteld moeten worden de grootste macht heeft. Tel bij de macht 1 op. Trek het getal met de kleinste macht ervan af. Deel dit geheel door het interestperunage. Bij negatieve getallen moet je er wel op letten dat -1 groter is dan -2 enzovoorts. 1,02-1 heeft dus een grotere macht dan 1,02-3.

Eens kijken of het lukt. Wat klopt? € 1.000 x (1,02-1 + 1,02-2 + 1,02-3) = 1,02-4 – 1,02-1 0,02 A. € 1.000 x 1,02-1 – 1,02-4 0,02 B. € 1.000 x 1,020 – 1,02-3 0,02 C. € 1.000 x

Wat klopt? € 1.000 x (1,02-1 + 1,02-2 + 1,02-3) = 1,02-4 – 1,02-1 0,02 A. € 1.000 x 1,02-1 – 1,02-4 0,02 B. € 1.000 x 1,020 – 1,02-3 0,02 C. € 1.000 x

Fout! -1 is groter dan -3 Klik op de knop om het opnieuw te proberen.

Fout! Je hebt van de kleinste macht 1 afgetrokken in plaats van bij de grootste macht 1 opgeteld. Klik op de knop om het opnieuw te proberen.

Net als bij de berekening van de som van de interestfactoren moet je bij de berekening van de som van de inverse interestfactoren wel goed in de gaten houden of aan alle drie de voorwaarden is voldaan. Goed Klik op de groene knop om verder te gaan waar je gebleven bent. Goed

22 De keuze van de optie hangt bij de contante waarde af van de looptijd van de eerste termijn. Staat deze één periode uit, dan moet je “PMT END” gebruiken; staat hij nul perioden uit, de optie “PMT BEGIN”. Omdat we ervan uitgaan dat er niets meer staat als de rente is afgelopen, ben je dit keer juist bij gebruik van de optie “PMT BEGIN” geneigd één periode te weinig te tellen. Kijk maar: PMT BEGIN PMT END x FV PV Net als bij de eindwaarde geldt dat als één van de termijnen nul perioden uitstaat, je bij het aantal perioden (“n”) één periode meer moet invullen dan het aantal perioden van de termijn die het langste uitstaat.

D. Ik wil eerst meer uitleg. 23 Eens kijken of het lukt. Hoeveel moet je aan het begin van het eerste jaar in één keer storten om gedurende vier jaar aan het eind van elk jaar € 300 te kunnen opnemen? Er is sprake van 4,5% SI per jaar. A. € 1.076,26 B. € 1.124,69 C. € 1.283,46 D. Ik wil eerst meer uitleg.

Hoeveel moet je aan het begin van het eerste jaar in één keer storten om gedurende vier jaar aan het eind van elk jaar € 300 te kunnen opnemen? Er is sprake van 4,5% SI per jaar. A. € 1.076,26 B. € 1.124,69 C. € 1.283,46 D. Nog eens de uitleg.

Fout! Je hebt de eindwaarde (FV) in plaats van de contante waarde (PV) berekend. Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het wel moet.

Fout! Je hebt PMT END/BEGIN verkeerd ingevuld, waardoor je één periode interest bent vergeten. Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het wel moet.

Klik hier om het resultaat van dit invulwerk te zien. De vraag is hoeveel je aan het begin van het eerste jaar in één keer moet storten om gedurende vier jaar aan het eind van elk jaar € 300 te kunnen opnemen bij 4,5% SI per jaar. Stel dat gevraagd was de contante waarde uit te rekenen van een rente waarbij je tien keer aan het eind van elke periode € 200 opneemt tegen 4% interest per periode. Je moet de onderste PMT dan op de optie END zetten en bij N 10 invullen, bij I% 4, bij PMT 200 en bij FV 0. P/Y en C/Y moet je op 1 laten staan N= I%= PV= PMT= FV= P/Y= C/Y= PMT: END BEGIN Klik hier om het resultaat van dit invulwerk te zien.

N= 10 I%= 4 PV= ... PMT= 200 FV= 0 P/Y= 1 C/Y= 1 PMT: BEGIN Nu moet je met behulp van de pijltjestoetsen op PV gaan staan en op de (groene) ALPHA-knop en dan op ENTER (= SOLVE). (Doe dat.) END

N= 10 I%= 4 PV= -1622.179156 PMT= 200 FV= 0 P/Y= 1 C/Y= 1 Zoals je ziet is de uitkomst – 1622,17.. De – geeft aan dat je dit bedrag kwijt bent. PMT: BEGIN END Klik op de blauwe knop terug te gaan naar de opgave.

24 Goed Klik op de groene knop om door te gaan.

Eens kijken of het ook lukt met datums. 25 Eens kijken of het ook lukt met datums. Stel dat je op 30-9-2002 een zodanig bedrag stort dat je met ingang van 1-10-2002 tot en met 1-1-2006 elk kwartaal € 50 kunt opnemen. Hoe groot moet dat bedrag zijn als je uitgaat van 1% SI per kwartaal? A. € 612,75 B. € 650,19 C. € 656,69 D. Ik wil eerst meer uitleg.

Stel dat je op 30-9-2002 een zodanig bedrag stort dat je met ingang van 1-10-2002 tot en met 1-1-2006 elk kwartaal € 50 kunt opnemen. Hoe groot moet dat bedrag zijn als je uitgaat van 1% SI per kwartaal? A. € 612,75 B. € 650,69 C. € 656,69 D. Nog eens de uitleg.

Fout! Je bent vergeten één op te tellen bij het aantal perioden van de laatste termijn. Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het wel moet.

Fout! De eerste termijn staat nul perioden uit, dus moet je voor PMT BEGIN kiezen. Nu ben je één periode interest vergeten. Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het wel moet.

De vraag is hoeveel je op 30-9-2002 moet storten om bij 1% SI per kwartaal met ingang van 1-10-2002 tot en met 1-1-2006 elk kwartaal € 50 te kunnen opnemen. Stel dat je bij 0,5% SI per maand de contante waarde op 28-2-2002 had moeten berekenen van een rente waarbij de eerste termijn vervalt op 1-3-2002 en de laatste op 1-5-2003. Vervang je om “restdagen” te voorkomen de laatste van de maand door de eerste van de volgende maand, dan kun je de looptijden van de eerste en de laatste termijn als volgt berekenen: totvan 1 - 5 - 2003 vantot 1 - 3 - 2002 2 x1 totvan 1 - 3 - 2002 vantot 1 - 3 - 2002 x0 De eerste termijn staat dus 0 perioden (van een maand) uit en de laatste 2 + 1 x 12 = 14 perioden.

Omdat de eerste termijn nul perioden uitstaat, moet je kiezen voor PMT BEGIN. Bij “N” moet je 14 + 1 = 15 invullen voor het aantal termijnen. Let op dat je de looptijd in dagen, maanden en jaren wel goed vertaald in perioden! Je kunt natuurlijk ook een tijdbalk tekenen. Die zou er als volgt uit kunnen zien: x cx 28-2 / 1-3 0 perioden 14 perioden 1-1 2003 1-1 2004 1-1 2002 1-5 Omdat alle maanden zijn aangegeven kun je aan de hand van de tijdstippen goed het aantal termijnen tellen.

26 Goed Klik op de groene knop om door te gaan.

27 We zetten de regels voor het berekenen van de contante waarde nog eens kort op een rij met behulp van een rente met drie termijnen. Ter vergelijking herhalen we eerst de regels voor het berekenen van de eindwaarde. Laatste termijn één periode: PMT BEGIN x N = aantal perioden eerste termijn PV = 0, P/Y = 1, C/Y = 1 x N = aantal perioden eerste termijn plus één Laatste termijn nul perioden: PMT END PV = 0, P/Y = 1, C/Y = 1 Eerste termijn nul perioden: PMT BEGIN N = aantal perioden laatste termijn plus één FV = 0, P/Y = 1, C/Y = 1 x Eerste termijn één periode: PMT END N = aantal perioden laatste termijn FV = 0, P/Y = 1, C/Y = 1 x

28 Klik op het vliegtuigje om berekeningen met de contante waarde van een rente te oefenen met open vragen. Je bent nu aan het einde van deze presentatie gekomen. Er volgen nog twee extra onderwerpen. Het eerste onderwerp is hoe je in Excel met functies de eindwaarde en de contante waarde van renten kunt berekenen. Het tweede onderwerp is de zogenaamde annuïteitenlening. Klik op de groene knop als je naar het eerste extra onderwerp wilt gaan. Wil je alleen het tweede onderwerp bekijken of wil je een eerder onderwerp herhalen, klik dan op de home-knop en ga van daaruit naar het betreffende onderwerp. Druk op de Esc-toets (linksboven op het toetsenbord) om af te sluiten.

29 In Excel kun je zelf formules invoeren om berekeningen met renten uit te voeren. Je kunt ook gebruik maken van de functie TW (= Toekomstige Waarde) om de eindwaarde te berekenen en de functie HW (= Huidige Waarde) om de contante waarde te berekenen. Deze functies werken op dezelfde manier als de functie “TVM Solver” bij de TI-83, alleen vraagt Excel uitdrukkelijk naar het aantal termijnen en niet naar het aantal perioden.We zullen aan de hand van een simulatie laten zien hoe de functies TW en HW werken.

30 . D10 Voorbeeldberekening Om een overzichtelijk geheel te maken, voeren we eerst de benodigde gegevens in. We gaan uit van een rente met een looptijd van zeven jaar, waarbij de termijnen aan het begin van het jaar vervallen en de eindwaarde aan het eind van het zevende jaar moet worden berekend. interestpercentage 4% . 7 aantal termijnen termijnbedrag 100 beginwaarde begin (1) of eind (0) v/d periode 1 eindwaarde De beginwaarde is het bedrag dat je al op de rekening had staan voordat je met storten begon. Dat bedrag stellen we op 0. Zoals je ziet is ingevuld dat de termijnen aan het begin van de periode vervallen. Je moet nu op cel D10 gaan staan en vervolgens op de functie-knop in het menu klikken.

31 . D10 Nu verschijnt een keuzemenu. Op dit menu moet je kiezen voor Financieel en vervolgens voor TW. Klik nu op OK.

32 In het dialoogvenster, kun je bij Rente het interestpercentage invullen, bij Bet (= Betaling) het termijnbedrag, bij HW (= huidige waarde) het bedrag dat je al op de rekening had staan en bij Type_getal of de termijnen aan het begin of eind van een periode vervallen. Het aantal termijnen spreekt voor zich, maar houd in de gaten dat dit niet gelijk hoeft te staan aan het aantal perioden! Als je het dialoogvenster in de weg vindt staan, kun je het in Excel met de muisknop ingedrukt naar een andere plaats slepen. Klik op de groene knop.

33 Zoals je ziet is het dialoogvenster versleept. Je kunt, zoals hier gebeurd is, rechtstreeks de cellen invoeren waar de gegevens te vinden zijn. Je kunt de cellen ook met behulp van de aanwijs-knoppen (rechts in het dialoogvenster) invoeren of de getallen zelf in de balk noteren. Klik nu op OK.

De uitkomst komt te staan op de aangewezen plaats (cel D10). 34 De uitkomst komt te staan op de aangewezen plaats (cel D10). Zoals je ziet is de uitkomst negatief. Dat komt omdat het termijnbedrag als een positief getal is ingevoerd. Excel ziet de termijn dan als een ontvangst en de eindwaarde als de terugbetaling. Klik op de groene knop om door te gaan.

35 Als je de eindwaarde aan het begin van het zevende jaar had willen berekenen, dan had je bij Type_getal moeten aangeven dat de termijnen aan het eind van de periode vervallen (hoewel ze aan het begin van het jaar betaald worden!). De looptijd van de eerste termijn wordt dan op zes perioden gesteld en die van de laatste op nul perioden. De functie HW kun je net als de functie TW vinden onder de functieknop bij FINANCIEEL. Het enige verschil met de TW-functie is dat TW en HW van plaats verwisseld zijn. Omdat verder alles hetzelfde werkt, tonen we alleen het dialoogvenster. We kiezen nu een voorbeeld waarbij het aantal termijnen één meer is dan het aantal perioden dat de laatste termijn uitstaat.

Klik op de groene knop om door te gaan. 36 Er is gekozen voor een rente, waarbij één keer per jaar geld wordt opgenomen en waarbij de eerste opname direct plaatsvindt en de laatste opname na elf jaar (zodat je op twaalf termijnen komt). De restwaarde is het bedrag dat je nog op de rekening hebt staan nadat de laatste termijn is opgenomen. Dat is op nul gesteld. Klik op de groene knop om door te gaan.

37 Wil je oefenen met het gebruik van de TW- en HW-functie, klik dan op het uiltje. Klik op de groene knop om verder te gaan met het tweede extra onderwerp. Dat betreft de zogenaamde annuïteitenlening. Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het toetsenbord) om af te sluiten.

38 Een annuïteitenlening is een lening met een vast interest-percentage, waarbij periodiek een gelijkblijvend bedrag aan interest en aflossing wordt betaald. Dit gelijkblijvend bedrag wordt een annuïteit genoemd. Dat stamt van het Latijnse woord annus, dat jaar betekent (denk ook aan het Franse woord année). Vroeger was het de gewoonte één keer per jaar schulden te regelen. Tegenwoordig vindt de betaling van interest en aflossing bij de meeste leningen meestal één keer per maand plaats. Het bedrag van de lening minus de aflossingen die al gebeurd zijn, noem je de schuldrest. De interest wordt steeds berekend over de schuldrest in de periode die onmiddelijk voorafgaat aan de betaling. Omdat bij de eerste keer over het hele geleende bedrag interest moet worden betaald, ligt het bedrag dat je de eerste keer aan interest moet betalen al vast bij het afsluiten van de lening.

Lees nu eens voor “x” annuïteit en voor PV het geleende bedrag. 39 Omdat het eerste interestbedrag vastligt, bepaalt de annuïteit hoe het aflossingsschema er uit zal zien (want door het eerste interestbedrag af te trekken van de annuïteit krijg je de eerste aflossing en door die af te trekken van het geleende bedrag krijg je de schuldrest waarover je de volgende periode interest moet betalen en daarmee staat weer de aflossing voor de volgende periode vast, dus ook de schuldrest voor de volgende periode, enzovoorts). Om aan de annuïteit te komen, ga je leentjebuur spelen bij de contante waarde van een rente. Kijk nog eens naar de schematische weergave van de berekening van de contante waarde van een rente waarbij de termijnen aan het eind van de perioden vervallen: x PV Lees nu eens voor “x” annuïteit en voor PV het geleende bedrag.

D. Ik wil eerst meer uitleg. 40 Heb je gezien dat je door voor “PV” het geleende bedrag in te vullen en te kiezen voor “PMT END”, de annuïteit als de onbekende “PMT” kunt uitrekenen? Eens kijken of het lukt. Hoeveel bedraagt de annuïteit bij een 8%-lening van € 20.000 die in 24 jaarlijkse annuïteiten moet worden afgelost, voor het eerst aan het eind van het eerste jaar? A. € 1.899,56 B. € 1.758,85 C. € 277,37 D. Ik wil eerst meer uitleg.

Hoeveel bedraagt de annuïteit bij een 8%-lening van € 20 Hoeveel bedraagt de annuïteit bij een 8%-lening van € 20.000 die in 24 jaarlijkse annuïteiten moet worden afgelost, voor het eerst aan het eind van het eerste jaar? A. € 1.899,56 B. € 1.758,85 C. € 277,37 D. Nog eens de uitleg.

Fout! Je hebt PV en FV verwisseld en daardoor uitgerekend wat je elk jaar moet inleggen om in 24 jaar € 20.000 bij elkaar te sparen. Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het wel moet.

Fout! Je hebt PMT END/BEGIN verkeerd ingevuld en daardoor de eerste annuïteit aan het begin van het eerste jaar laten vervallen. Klik op de knop. Je krijgt dan uitgelegd hoe het wel moet.

De vraag is hoeveel de annuïteit bedraagt bij een 8%-lening van € 20 De vraag is hoeveel de annuïteit bedraagt bij een 8%-lening van € 20.000 die in 24 jaarlijkse annuïteiten moet worden afgelost, voor het eerst aan het eind van het eerste jaar. Laten we eens kijken naar het voorbeeld van een lening van € 100.000, die in vijf jaar wordt afgelost met maandelijkse annuïteiten. De interest is 0,5% SI per maand en de eerste annuïteit vervalt op het eind van de eerste maand. Je kiest nu voor PMT END en vult bij “N” 60 (= 5 x 12) in, bij I% is 0.5, bij PV 100000 en bij FV 0. P/Y en C/Y laat je weer op 1 staan. Door op PMT te gaan staan en op ALPHA SOLVE te drukken vind je de gevraagde annuïteit. Dat blijkt 1.933,20 te zijn.

Maak je gebruik van de som van de inverse interestfactoren, dan krijg je: 1,0050 - 1,005-60 0,005 100.000 = termijn × De termijn is dus: 1,0050 - 1,005-60 0,005 100.000 × Daarmee heb je de annuïteit berekend. Bij het intypen van moet je er wel op letten dat je 1,0050 - 1,005-60 tussen haakjes zet. 1,0050 - 1,005-60 0,005

41 Goed Klik op de groene knop om door te gaan.

D. Ik wil eerst meer uitleg. 42 Het verloop van een annuïteitenlening kun je goed met behulp van een aflossingsplan weergeven. Eens kijken of je weet welk aflossingsplan hoort bij een 10%-lening van € 5.000, die wordt afgelost met twintig jaarlijkse annuïteiten van € 587,30. Alleen de eerste drie jaren zijn gegeven. A. C. jaar schuldrest begin annuïteit interest aflossing eind 1 5.000 587,30 500 87,30 4.500 2 450 137,30 4.050 3 405 182,30 3.645 jaar schuldrest begin annuïteit interest aflossing eind 1 5.000 587,30 500 87,30 4.412,70 2 441,27 146,03 3.825,40 3 382,54 204,76 3.238,10 B. jaar schuldrest begin annuïteit interest aflossing eind 1 5.000 587,30 500 87,30 4.912,70 2 491,27 96,03 4.816,67 3 481,67 105,63 4.711,04 D. Ik wil eerst meer uitleg.

Welk aflossingsplan hoort bij een 10%-lening van € 5 Welk aflossingsplan hoort bij een 10%-lening van € 5.000, die wordt afgelost met twintig jaarlijkse annuïteiten van € 587,30? Alleen de eerste drie jaar zijn gegeven. A. C. jaar schuldrest begin annuïteit interest aflossing eind 1 5.000 587,30 500 87,30 4.500 2 450 137,30 4.050 3 405 182,30 3.645 jaar schuldrest begin annuïteit interest aflossing eind 1 5.000 587,30 500 87,30 4.412,70 2 441,27 146,03 3.825,40 3 382,54 204,76 3.238,10 B. jaar schuldrest begin annuïteit interest aflossing eind 1 5.000 587,30 500 87,30 4.912,70 2 491,27 96,03 4.816,67 3 481,67 105,63 4.711,04 D. Nog eens de uitleg.

Fout! Het is toch beter dat je eerst eens naar de uitleg kijkt. Klik op de knop.

De vraag is welk aflossingsplan hoort bij een 10%-lening van € 5 De vraag is welk aflossingsplan hoort bij een 10%-lening van € 5.000, die wordt afgelost met twintig jaarlijkse annuïteiten van € 587,30. In feite verschilt zo’n aflossingsplan niet van een aflossingsplan van een lening bij enkelvoudige interest, waarbij in elke periode naast de interest een bepaald bedrag wordt betaald om de lening af te lossen. Het enige bijzondere is dat de som van interest en aflossing steeds hetzelfde bedrag vormt. Hieronder is het aflossingsplan van een 4%-lening van € 10.000 die in vijf jaar moet worden afgelost met jaarlijkse annuïteiten van € 2.246,30 (afgerond) stap voor stap opgebouwd met behulp van een tijdbalk.

K staat voor kapitaal (= de lening), R voor schuldrest, r voor interestbestanddeel (de i is al bezet door het interestperunage) en de a voor aflossingsbestanddeel. De schuldrest staat steeds tussen de tijdstippen om aan te geven dat de betreffende schuldrest voor die hele periode geldt. Alle bedragen luiden in euro’s. jaar 1 jaar 2 jaar 3 jaar 4 jaar 5 K = 10.000 ann1 = 2.246,30 Klik hier om het vervolg van het aflossingsplan in het eerste jaar te zien.

Klik hier om het het aflossingsplan in het tweede jaar te zien. K staat voor kapitaal (= de lening), R voor schuldrest, r voor interestbestanddeel (de i is al bezet door het interestperunage) en de a voor aflossingsbestanddeel. De schuldrest staat steeds tussen de tijdstippen om aan te geven dat de betreffende schuldrest voor die hele periode geldt. Alle bedragen luiden in euro’s. jaar 1 jaar 2 jaar 3 jaar 4 jaar 5 K = 10.000 ann1 = 2.246,30 bestaat uit: 4% x 10.000 r1 = = 400 2.246,30 - 400 a1 = = 1.846,30 Klik hier om het het aflossingsplan in het tweede jaar te zien.

Klik hier om het het aflossingsplan in het derde jaar te zien. K staat voor kapitaal (= de lening), R voor schuldrest, r voor interestbestanddeel (de i is al bezet door het interestperunage) en de a voor aflossingsbestanddeel. De schuldrest staat steeds tussen de tijdstippen om aan te geven dat de betreffende schuldrest voor die hele periode geldt. Alle bedragen luiden in euro’s. jaar 1 jaar 2 jaar 3 jaar 4 jaar 5 K = 10.000 R1 = K – a1 = 10.000 – 1846,30 = 8153,70 ann1 = 2.246,30 ann2 = 2.246,30 bestaat uit: bestaat uit: 4% x 10.000 r1 = = 400 4% x 8153,70 r2 = = 326,15 2.246,30 - 400 a1 = = 1.846,30 2.246,30 – 326,15 a2 = = 1.920,15 Klik hier om het het aflossingsplan in het derde jaar te zien.

Klik hier om het het aflossingsplan in het vierde jaar te zien. K staat voor kapitaal (= de lening), R voor schuldrest, r voor interestbestanddeel (de i is al bezet door het interestperunage) en de a voor aflossingsbestanddeel. De schuldrest staat steeds tussen de tijdstippen om aan te geven dat de betreffende schuldrest voor die hele periode geldt. Alle bedragen luiden in euro’s. jaar 1 jaar 2 jaar 3 jaar 4 jaar 5 K = 10.000 R1 = K – a1 = 10.000 – 1846,30 = 8153,70 R2 = R1 – a2 = 8153,70 – 1920,15 = 6233,55 ann1 = 2.246,30 ann2 = 2.246,30 ann3 = 2.246,30 bestaat uit: bestaat uit: bestaat uit: 4% x 10.000 r1 = = 400 4% x 8153,70 r2 = = 326,15 4% x 6233,55 r3 = = 249,34 2.246,30 - 400 a1 = = 1.846,30 2.246,30 – 326,15 a2 = = 1.920,15 2.246,30 – 249,34 a3 = = 1.996,96 Klik hier om het het aflossingsplan in het vierde jaar te zien.

Klik hier om het het aflossingsplan in het vijfde jaar te zien. K staat voor kapitaal (= de lening), R voor schuldrest, r voor interestbestanddeel (de i is al bezet door het interestperunage) en de a voor aflossingsbestanddeel. De schuldrest staat steeds tussen de tijdstippen om aan te geven dat de betreffende schuldrest voor die hele periode geldt. Alle bedragen luiden in euro’s. jaar 1 jaar 2 jaar 3 jaar 4 jaar 5 K = 10.000 R1 = K – a1 = 10.000 – 1846,30 = 8153,70 R2 = R1 – a2 = 8153,70 – 1920,15 = 6233,55 R3 = R2 – a3 = 6233,55 – 1996,96 = 4236,59 ann1 = 2.246,30 ann2 = 2.246,30 ann3 = 2.246,30 ann4 = 2.246,30 bestaat uit: bestaat uit: bestaat uit: bestaat uit: 4% x 10.000 r1 = = 400 4% x 8153,70 r2 = = 326,15 4% x 6233,55 r3 = = 249,34 4% x 4236,59 r4 = = 169,46 2.246,30 - 400 a1 = = 1.846,30 2.246,30 – 326,15 a2 = = 1.920,15 2.246,30 – 249,34 a3 = = 1.996,96 2.246,30 – 169,46 a4 = = 2.076,83 Klik hier om het het aflossingsplan in het vijfde jaar te zien.

K staat voor kapitaal (= de lening), R voor schuldrest, r voor interestbestanddeel (de i is al bezet door het interestperunage) en de a voor aflossingsbestanddeel. De schuldrest staat steeds tussen de tijdstippen om aan te geven dat de betreffende schuldrest voor die hele periode geldt. Alle bedragen luiden in euro’s. jaar 1 jaar 2 jaar 3 jaar 4 jaar 5 K = 10.000 R1 = K – a1 = 10.000 – 1846,30 = 8153,70 R2 = R1 – a2 = 8153,70 – 1920,15 = 6233,55 R3 = R2 – a3 = 6233,55 – 1996,96 = 4236,59 R4 = R3 – a4 = 4236,59 – 2076,83 = 2159,75 R5 = R4 – a5 = -0,16 ipv 0 ivm afronden ann1 = 2.246,30 ann2 = 2.246,30 ann3 = 2.246,30 ann4 = 2.246,30 ann5 = 2.246,30 bestaat uit: bestaat uit: bestaat uit: bestaat uit: bestaat uit: 4% x 10.000 r1 = = 400 4% x 8153,70 r2 = = 326,15 4% x 6233,55 r3 = = 249,34 4% x 4236,59 r4 = = 169,46 4% x 2159,75 r5 = = 86,39 2.246,30 - 400 a1 = = 1.846,30 2.246,30 – 326,15 a2 = = 1.920,15 2.246,30 – 249,34 a3 = = 1.996,96 2.246,30 – 169,46 a4 = = 2.076,83 2.246,30 – 86,39 a5 = = 2.159,91 Klik op de blauwe knop om terug te gaan naar de vraag.

43 Goed Klik op de groene knop om door te gaan.

44 Met Excel is het vrij eenvoudig om een heel aflossingsplan te maken. Wil je dat eens doen, klik dan op het uiltje. Klik op het vliegtuigje om het berekenen van de annuïteit en de aflossing te oefenen met open vragen. Wil je weten hoe je in Excel met speciale functies berekeningen met annuïteiten kunt uitvoeren, klik dan op de groene knop. Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het toetsenbord) om af te sluiten.

45 In Excel kun je met de functie BET (= betaling) de annuïteit berekenen. Met de functies IBET (= interestbestanddeel van de betaling) en PBET (de “P” komt van het Engelse “pay-off” dat aflossen betekent; dus aflossingsbestanddeel van de betaling) kun je elke gewenste annuïteit onderverdelen in een interest- en een aflossingsdeel. Al deze functies zijn net als de functies TW en HW te vinden onder de categorie FINANCIEEL. Aan het voorbeeld van een 6%-lening van € 13.000 die in twintig annuïteiten van € 1133,40 moet worden terugbetaald, laten we zien hoe de functies BET, IBET en PBET werken.

Je moet nu op cel C7 gaan staan. 46 . C7 Voorbeeldberekening interestpercentage 6% We beginnen met het berekenen van de annuïteit met behulp van de functie BET. aantal annuïteiten . 20 kapitaal 13.000 annuïteit Om een overzichtelijk geheel te maken, voeren we eerst de benodigde gegevens in. Omdat bij het kapitaal een positief bedrag is ingevuld, krijg je straks als annuïteit een negatief bedrag. Je moet nu op cel C7 gaan staan. Klik nu op de functie-knop in het menu.

47 . C7 Nu verschijnt een keuzemenu. Op dit menu moet je kiezen voor Financieel en vervolgens voor BET. Klik nu op OK.

48 Het dialoogvenster dat je nu te zien krijgt kun je desgewenst naar een andere plaats slepen. Je kunt, zoals hier gebeurd is, rechtstreeks de cellen invoeren waar de gegevens te vinden zijn. Je kunt de cellen ook met behulp van de aanwijsknoppen (rechts in het dialoogvenster) invoeren of direct de gewenste getallen invoeren. Zoals je ziet zijn de laatste twee niet ingevuld. Excel kiest dan vanzelf voor een eindwaarde van 0 en termijnen die aan het einde van een periode vervallen. Klik nu op OK.

De uitkomst komt nu te staan op de aangewezen plaats (cel C7). 49 De uitkomst komt nu te staan op de aangewezen plaats (cel C7). Klik op de groene knop om door te gaan.

We gaan nu over tot de functie IBET voor het interestbestanddeel. 50 . C8 Voorbeeldberekening We gaan nu over tot de functie IBET voor het interestbestanddeel. interestpercentage 6% nummer annuïteit 5 aantal annuïteiten 20 kapitaal 13000 We voeren weer eerst de benodigde gegevens in. Met “nummer annuïteit” wordt aangegeven om welke annuïteit het gaat. Je ziet dat het bedrag van de annuïteit niet hoeft te worden ingevoerd. Excel heeft genoeg gegevens om dat uit te rekenen. interestbestanddeel Je moet nu op cel C8 gaan staan. Klik nu op de functie-knop in het menu.

51 . C8 Nu verschijnt weer een keuzemenu. Op dit menu moet je kiezen voor Financieel en vervolgens voor IBET. Klik nu op OK.

52 Zoals je ziet zijn de cellen waar de waarden te vinden zijn al ingevuld. Klik nu op OK.

De uitkomst komt nu te staan op de aangewezen plaats (cel C8). 53 De uitkomst komt nu te staan op de aangewezen plaats (cel C8). Klik op de groene knop om door te gaan.

Klik op de groene knop om door te gaan. 54 Omdat de procedure voor de functie PBET (voor het aflossingsbestanddeel) precies hetzelfde is, tonen we alleen het dialoogvenster. Dat venster hebben we met de muisknop ingedrukt naar rechts versleept. Als je op OK drukt komt het resultaat van de formule in cel C8 te staan. Klik op de groene knop om door te gaan.

55 Wil je oefenen met de BET-, IBET- en PBET-functies in Excel, klik dan op het uiltje. Dit is het definitieve einde van deze presentatie. Klik op de home-knop als je een eerder onderwerp wilt herhalen. Druk op de Esc-toets (linksboven op het toetsenbord) om af te sluiten.