vwo A/C Samenvatting Hoofdstuk 6

Kansbomen Veel kansexperimenten bestaan uit 2 of meer experimenten, denk maar aan: - het gooien met 3 dobbelstenen - het gooien met een dobbelsteen en een geldstuk - uit 2 vazen elk één knikker pakken De experimenten in deze voorbeelden zijn onafhankelijk van elkaar, omdat ze elkaars uitkomsten op geen enkele wijze beïnvloeden. Om bij dit soort samengestelde kansexperimenten kansen te berekenen, kun je gebruik maken van een boomdiagram. 6.1

Kansbomen Bij het uitvoeren van 2 of meer kansexperimenten kun je een kansboom gebruiken. Je gaat als volgt te werk: zet de uitkomsten bij de kansboom bereken de kansen van de uitkomsten die je nodig hebt - vermenigvuldig daartoe de kansen die je tegenkomt als je de kansboom doorloopt van START naar de betreffende uitkomst 6.1

Draaiende schijven Bij het draaien van de schijven hoort de volgende kansboom. 6.1

Onafhankelijke kansexperimenten We gaan er bij het draaien van de schijven vanuit dat de kansexperimenten onafhankelijk zijn. Dat betekent dat ze elkaar niet beïnvloeden, alleen dan mag je de kansen in de kansboom vermenigvuldigen. Als de kansen afhankelijk zijn (elkaar beïnvloeden) mag je de kansen in de kansboom niet vermenigvuldigen. Afhankelijke experimenten komen in dit boek niet voor. 6.1

De product-, de som- en de complementregel De productregel Voor de gebeurtenis G1 bij het ene kansexperiment en de gebeurtenis G2 bij het andere experiment geldt: P(G1 en G2) = P(G1) . P(G2) De somregel Voor elkaar uitsluitende gebeurtenissen G1 en G2 geldt: P(G1 of G2) = P(G1) + P(G2) De complementregel P(gebeurtenis) = 1 – P(complement–gebeurtenis) 6.1

De complementregel P(minder dan 8 witte) = P(0 w)+P(1 w)+P(2 w)+ P(3 w)+P(4 w)+P(5 w)+ P(6 w)+P(7 w) = 1 – P(8 witte) P(gebeurtenis + P(complement-gebeurtenis) = 1 P(gebeurtenis) = 1 – P(complement-gebeurtenis) 6.1

Een experiment 2 of meer keer uitvoeren Het 4 keer gooien met een dobbelsteen is een voorbeeld van het herhaald uitvoeren van hetzelfde kansexperiment. Ook in zo’n situatie gebruik je de productregel om kansen te berekenen De productregel gebruik je ook als je hetzelfde experiment 2 of meer keren uitvoert. 6.2

Experimenten herhalen totdat succes optreedt In het volgende voorbeeld pak je één voor één knikkers uit de vaas met 3 rode en 5 witte knikkers. Je gaat net zo lang door tot je een rode knikker pakt. Elke keer pak je als het ware uit een nieuwe vaas. De kansen in de kansboom veranderen daardoor per keer. 6.2

Herhaling hoofdstuk 4 Is bij het kiezen van 4 dingen uit 7 dingen de volgorde niet van belang, dan spreken we van het aantal combinaties van 4 uit 7. Het aantal combinaties van 4 uit 7 noteren we als Spreek uit : 7 boven 4. Het aantal combinaties van 4 uit 7, dus het aantal manieren om 4 dingen te kiezen uit 7 dingen zonder op de volgorde te letten, is 7 4 7 4 6.3

aantal gunstige uitkomsten aantal mogelijke uitkomsten Kansen en combinaties Ook bij het pakken van knikkers uit een vaas heb je met combinaties te maken. P(2r,2w,1b) = ? volgens de kansdefinitie van Laplace is die kans Het aantal mogelijke uitkomsten is het aantal manieren om 5 knikkers uit de totaal 15 knikkers te pakken, dat kan op manieren Het aantal gunstige uitkomsten is het aantal manieren om 2r uit de 8r, 2w uit 4w en 1b uit 3b te pakken. Dat kan op P(4r,1w,2b) = ≈ 0,168 aantal gunstige uitkomsten aantal mogelijke uitkomsten 15 5 8 2 4 2 3 1 . . manieren 8 2 4 2 3 1 2+2+1=5 8+4+3=15 . . 15 5 6.3

Het vaasmodel Bij veel kansberekeningen kan het handig zijn het kansexperiment om te zetten in het pakken van knikkers uit een geschikt samengestelde vaas  vaasmodel. 6.3

Trekken met en zonder terugleggen 6.3

Toevalsvariabelen Bij het kansexperiment uit opgave 50 wordt aselect (= willekeurig) een leerling uit de klas gekozen. Je kunt daarbij geïnteresseerd zijn in de leeftijd van de leerling. De leerling geven we aan met de letter X Dus X = de leeftijd van de leerling. Omdat de waarde van X afhangt van het toeval heet X een toevalsvariabele. In opgave 50 is nog een toevalsvariabele gedefinieerd, Y = het aantal keer sporten per week complementregel  P(Y ≥ 1) = 1 – P(Y = 0) somregel  P(Y < 2) = P(Y = 0) + P(Y = 1) 6.4

Kansverdelingen De kansverdeling van X is een tabel waarin bij elke waarde van X de bijbehorende kans is vermeld. kanshistogram De som van de kansen in een kansverdeling is altijd 1. Uniform verdeelde toevalsvariabele  kansverdeling waarin alle kansen gelijk zijn. 6.4

Onafhankelijke toevalsvariabelen De gebeurtenissen G1 en G2 zijn onafhankelijk als P(G1 onder de voorwaarde G2) = P(G1). P(X = 1 onder de voorwaarde Y = 0) = P(X = 1) dus de gebeurtenissen X = 1 en Y = 0 zijn onafhankelijk. P(X = 0 onder de voorwaarde Y = 0) ≠ P(X = 0) dus de gebeurtenissen X = 0 en Y = 0 zijn onafhankelijk. We zeggen dat de toevalsvariabelen X en Y afhankelijk zijn. De toevalsvariabelen X en Y zijn onafhankelijk als voor elke mogelijke x en y geldt : P(X = x onder de voorwaarde Y = y) = P(X = x). 6.4