havo A Samenvatting Hoofdstuk 9

Kansen en combinaties Is bij het kiezen van 4 dingen uit 7 dingen de volgorde niet van belang, dan spreken we van het aantal combinaties van 4 uit 7 Het aantal combinaties van 4 uit 7 noteren we als Spreek uit : 7 boven 4 Het aantal manieren om r dingen uit n dingen te kiezen zonder op de volgorde te letten, dus het aantal combinaties van r uit n, is 7 4 n r 9.1

Kansen en combinaties Ook bij het pakken van knikkers uit een vaas heb je met combinaties te maken. P(2r, 2w, 1b) = ? Volgens de kansdefinitie van Laplace is die kans Het aantal mogelijke uitkomsten is het aantal manieren om 5 knikkers uit de totaal 15 knikkers te pakken. Dat kan op manieren. Het aantal gunstige uitkomsten is het aantal manieren om 2r uit de 8r, 2w uit 4w en 1b uit 3b te pakken. Dat kan op P(4r, 1w, 2b) = ≈ 0,168 aantal gunstige uitkomsten aantal mogelijke uitkomsten P(G) = 15 5 8 2 4 2 3 1 . . manieren 2+2+1=5 8 2 4 2 3 1 8+4+3=15 . . 15 5 9.1

Het vaasmodel Bij veel kansberekeningen kan het handig zijn het kansexperiment om te zetten in het pakken van knikkers uit een geschikt samengestelde vaas  vaasmodel 9.1

De somregel Als de gebeurtenissen geen gemeenschappelijke uitkomsten hebben, dus als de gebeurtenissen elkaar uitsluiten. Hebben twee gebeurtenissen wel gemeenschappelijke uitkomsten, dan geldt de somregel niet. Zo is P(som is 4 of product is 4) niet gelijk aan, P(som is 4) + P(product is 4) want de gebeurtenissen ‘som is 4’ en ‘product is 4’ hebben de uitkomst  gemeenschappelijk Voor elkaar uitsluitende gebeurtenissen G1 en G2 geldt de somregel: P(G1 of G2) = P(G1) + P(G2) 9.2

De complementregel P(gebeurtenis + P(complement-gebeurtenis) = 1 P(minder dan 8 witte) = P(0 w) + P(1 w) + P(2 w) + P(3 w) + P(4 w) + P(5 w) + P(6 w) + P(7 w) = 1 – P(8 witte) P(gebeurtenis + P(complement-gebeurtenis) = 1 P(gebeurtenis) = 1 – P(complement-gebeurtenis) 9.2

opgave 29 Vaas met 60 knikkers waarvan 4 rood (de glazen met een barst). Aafke pakt 12 knikkers (de doos met de 12 glazen). a P(minstens 1 glas met barst) = 1 – P(geen glas met een barst) = 1 – b P(alle kapotte glazen in de doos) = 56 12 ≈ 0,601 60 12 4 4 56 8 . ≈ 0,001 60 12 9.2

De productregel Voor de gebeurtenis G1 bij het ene kansexperiment en de gebeurtenis G2 bij het andere experiment geldt : P(G1 en G2) = P(G1) · P(G2) 9.3

Kansbomen Bij het uitvoeren van 2 of meer kansexperimenten kun je een kansboom gebruiken. Je gaat als volgt te werk : Zet de uitkomsten bij de kansboom. Bereken de kansen van de uitkomsten die je nodig hebt. Vermenigvuldig daartoe de kansen die je tegenkomt als je de kansboom doorloopt van START naar de betreffende uitkomst. 9.3 9

Een experiment 2 keer of vaker uitvoeren Het 4 keer gooien met een dobbelsteen is een voorbeeld van het herhaald uitvoeren van hetzelfde kansexperiment. Ook in zo’n situatie gebruik je de productregel om kansen te berekenen. De productregel gebruik je ook als je hetzelfde kansexperiment 2 of meer keren uitvoert. 9.3

Experimenten herhalen totdat succes optreedt In het volgende voorbeeld pak je één voor één knikkers uit de vaas met 3 rode en 5 witte knikkers. Je gaat net zo lang door tot je een rode knikker pakt. Elke keer pak je als het ware uit een nieuwe vaas. De kansen in de kansboom veranderen daardoor per keer. 9.3

Trekken met en zonder terugleggen 9.4

opgave 73 3 2 . 7 3 a P(2r) = P(2r en 3w) = ≈ 0,417 b P(2r) = P(2r en 3w) = ≈ 0,316 c P(2r) = P(2r en 3w) = ≈ 0,309 d P(2r) = P(2r en 3w) = ≈ 0,309 10 5 30 2 . 70 3 100 5 300 2 . 700 3 1000 5 3000 2 . 7000 3 10000 5 9.4

Kleine steekproef uit grote populatie Bij een kleine steekproef uit een grote populatie mag je trekken zonder terugleggen opvatten als trekken met terugleggen. 9.4

opgave 75 a P(geen bijtende stoffen) = 0,8510 ≈ 0,197 b P(8 brandende en 2 bijtende) = · 0,608 · 0,152 ≈ 0,017 c P(minstens 9 brandbare) = P(9 brandbare) + P(10 brandbare) = · 0,609 · 0,40 + 0,6010 ≈ 0,046 10 8 10 9 9.4