samenvatting Verbanden

Periodiek verband Periodiek verband De grafiek van eb en vloed herhaalt zich ongeveer elke 12 uur. Die 12 uur is de periode van de grafiek. Er is een periodiek verband tussen de tijd en de hoogte. In de grafiek zijn 2,5 perioden getekend. De waterhoogte na 39 uur bereken je zo: De periode is 12 uur. De periode past 3 keer in 39 uur. Je houdt 39 – 3 × 12 = 3 uur over. In de grafiek lees je bij 3 uur af hoogte = 1 m. De waterhoogte na 39 uur is dus ook 1 m. Wat is de waterhoogte na 45 uur? -1 meter

Evenwichtsstand, amplitude en frequentie Periodiek verband De hoogste punten liggen op 5 meter. De laagste punten liggen op 1 meter. De evenwichtsstand ligt daar precies tussenin, dus op 3 meter. De evenwichtsstand is met rood gestippeld. De hoogste en laagste punten liggen 2 meter boven en onder de evenwichtsstand. We zeggen: de amplitude is 2 meter. De amplitude is de afstand van de hoogste punten tot de evenwichtsstand. De periode is 4 seconden. De periode past 60 : 4 = 15 keer in een minuut. De frequentie is dus 15 per minuut. De periode past 60 × 15 = 900 keer in een uur. De frequentie is dus ook 900 per uur. hoogte in meters 5 4 amplitude evenwichtsstand 3 amplitude 2 1 O 1 2 3 4 5 6 tijd in seconden

Bijzondere lineaire formules en grafieken Lineair verband Bijzondere lineaire formules en grafieken De blauwe grafiek loopt horizontaal. Alle punten op de grafiek liggen op hoogte 3. Alle punten op de grafiek hebben y-coördinaat 3. De formule is dan y = 3. De groene grafiek loopt verticaal. Alle punten op de grafiek hebben x-coördinaat 2. De formule is dan x = 2 Op de rode grafiek liggen de punten (0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3) enz. De x-coördinaat is altijd hetzelfde als de y-coördinaat. De formule is daarom y = x y = getal  horizontale grafiek x = getal  verticale grafiek y = x  grafiek door O en (1, 1), (2, 2), enz.

Wat je invult, zet je altijd tussen haakjes. kwadratisch verband Parabool hoogte in m = ¯20t2 + 400t + 4000 t en hoogte zijn de variabelen. In de formule staat een kwadraat, daarom is het een kwadratische formule. Er is een kwadratisch verband tussen de tijd en de hoogte. t = 10 hoogte in m = -20 × (10)2 + 400 × (10) + 4000 = 6000 m De grafiek heeft de vorm van een parabool. De parabool is symmetrisch. De symmetrieas is de verticale lijn door de top. Wat je invult, zet je altijd tussen haakjes.

Eigenschappen parabool kwadratisch verband Eigenschappen parabool Staat er in een kwadratisch verband een negatief getal voor de variabele met het kwadraat, dan is de grafiek een bergparabool. De grafiek heeft een maximum. W = -5a2 + 300a Bij een positief getal voor de variabele met het kwadraat is de grafiek een dalparabool met een minimum. K = 6a2 – 7a Het hoogste of laagste punt van een parabool noemen we de top.

kwadratisch verband Voorbeeld 3 Hiernaast zie je de grafieken van hoogte = a2 – 6a + 8 en hoogte = 4 a: horizontale afstand in meters hoogte in meters Bereken de coördinaten van het snijpunt P. Rond af op één decimaal. Aanpak a2 – 6a + 8 = 4 Los op met inklemmen. Lees uit de grafiek af dat a ligt tussen 0,5 en 1. Bereken a met inklemmen. Uitwerking a = 0,7 geeft hoogte = 4,29 a = 0,8 geeft hoogte = 3,84 3,84 ligt dichter bij 4 dan bij 4,29, dus a = 0,8 De hoogte is 4, dus P(0,8; 4).

kwadratisch verband De top van een parabool In kwadratische formules kun je de coördinaten van de top berekenen. Kwadratische formule: y = ax2 + bx + c Notatie coördinaten top: (xtop, ytop) Van de parabool hiernaast is de top (2, 5). Dus xtop = 2 en ytop = 5. Van de grafiek van een kwadratische formule kun je de top berekenen. De xtop bereken je met xtop = – De ytop bereken je door het antwoord van xtop in te vullen in de formule. b 2a

Vergelijkingen oplossen Lineair verband Vergelijkingen oplossen Bij een vergelijking heb je, net als bij een balans, twee kanten. Daarom kun je een vergelijking oplossen met de balansmethode. Links van het = teken noemen we het linkerlid, rechts van het = teken noemen we het rechterlid. 5a – 4 = 9a + 16 De letter in de vergelijking noemen we de variabele. Met de volgende stappen los je de vergelijking op. Zorg ervoor dat de variabele uit het rechterlid verdwijnt. Zorg ervoor dat in het linkerlid de losse getallen verdwijnen. Deel door het getal dat voor de variabele staat. Controleer je antwoord. linkerlid rechterlid

Lineair verband voorbeeld Los op: -3a + 2 = 6 + 5a Uitwerking – 2 – 2 ¯8a = 4 : -8 : -8 a = -0,5 Controle linkerlid: -3 × (-0,5) + 2 = 3,5 rechterlid: 6 + 5 × (-0,5) = 3,5 Het klopt.

Lineair verband 2 formules vergelijken met elkaar bundel A: kosten in € = 3 + 0,07a bundel B: kosten in € = 2,50 + 0,08a a: aantal sms’jes a Maak een vergelijking van de beide formules. b Bij hoeveel sms’jes zijn de kosten gelijk? c Welke van de bundels is voordeliger op lange termijn? Aanpak a Neem van beide formules het rechtergedeelte en stel die aan elkaar gelijk. Het maakt niet uit welke formule je eerst opschrijft. b Los de vergelijking op met de balansmethode. c Kies voor a(= aantal sms’jes) een getal dat groter is dan de oplossing, hier bijvoorbeeld 100. Vul dat getal in beide formules in. Je ziet nu welke bundel op de lange duur voordeliger is.

Somformule en verschilformule Lineair verband Somformule en verschilformule Formules met dezelfde variabelen kun je bij elkaar optellen of van elkaar aftrekken. Je krijgt dan een somformule of een verschilformule. formule tent 1 huurprijs in € = 80 + 250w formule tent 2 huurprijs in € = 20 + 270w somformule huurprijs in € = 100 + 520w w: tijd in weken Je ziet dat de getallen worden opgeteld. De variabelen huurprijs in € en w blijven hetzelfde. Met de somformule bereken je de huurprijs van de twee tenten samen. Bij de formules kun je grafieken tekenen. De grafiek bij de somformule is de somgrafiek. +

Lineair verband voorbeeld Hans wil een tent huren. Hij vraagt zich af wat het prijsverschil is tussen tent 1 en tent 2.. formule tent 1 huurprijs in € = 80 + 250w formule tent 2 huurprijs in € = 20 + 270w w: tijd in weken a Maak de verschilformule tent 1 – tent 2. b Teken de verschilgrafiek tent 1 – tent 2. c Wat betekent de verschilgrafiek? d Welke tent is goedkoper? Uitwerking a formule tent 1 huurprijs in € = 80 + 250w formule tent 2 huurprijs in € = 20 + 270w verschilformule huurprijs in € = 60 – 20w b c Met de verschilformule kun je uitrekenen hoeveel tent 1 duurder is dan tent 2. d Tent 2 is goedkoper als je kort huurt. Na 3 weken zijn de tenten even duur, daarna is het voordeliger om tent 1 te huren. −

Van percentage naar groeifactor Exponentieel verband Van percentage naar groeifactor Neemt een hoeveelheid met 12% toe, dan krijg je 100% + 12% = 112%. De groeifactor is dan 112 : 100 = 1,12. Bij een toename van 5,3% krijg je 100% + 5,3% = 105,3%. De groeifactor is dan 105,3 : 100 = 1,053. Bij een toename van 0,8% hoort een groeifactor van 1,008.

Exponentieel verband Exponentiële afname Neemt een hoeveelheid met 16% af, dan krijg je 100% – 16% = 84%. De groeifactor is dan 84 : 100 = 0,84. Bij een afname van 7,2% krijg je 100% – 7,2% = 92,8% . De groeifactor is dan 92,8 : 100 = 0,928. Bij een afname van 0,6% hoort een groeifactor van 0,994.

Verdubbelingstijd en halveringstijd Exponentieel verband Verdubbelingstijd en halveringstijd De tijd die nodig is om het begingetal te verdubbelen noem je de verdubbelingstijd. In de formule aantal = 240 × 1,2t is het begingetal 240. t = tijd in jaren Het dubbele van 240 is 480. De verdubbelingstijd op één decimaal bereken je zo. Bij t = 3,8 is het aantal nog net niet verdubbeld. Bij t = 3,9 is aantal net iets meer dan verdubbeld. De verdubbelingstijd is 3,9 jaren. 3,9 jaren = 3 jaren en 0,9 × 365 dagen = 3 jaren en 329 dagen. De verdubbelingstijd op twee decimalen is 3,81 jaren 3,81 jaren = 3 jaren en 0,81 × 365 dagen = 3 jaren en 296 dagen. De tijd die nodig is om het begingetal te halveren noem je de halveringstijd.

Tabel exponentiele groei Exponentieel verband Tabel exponentiele groei N=b x gt t 1 2 3 4 A 15 38 94 234 38 94 234 =2,4893… 15 38 94 =2,53333… =2,4736… g = 2,5 t 1 2 3 4 A 15 38 94 234 t=0 : A=15 ÷ 2,5 = 6 A=6 x 2,5t

Gelijkmatige toename en afname Lineair verband Je kunt onderzoeken of er in een tabel sprake is van een gelijkmatige toename of afname. Dat gaat zo: Je schrijft de toename en/of afname boven en onder de tabel met de boogjes. Dan maak je steeds de deling stapgrootte = Als de stapgrootte steeds hetzelfde is, dan is het een tabel met een gelijkmatige toename of afname. Is de stapgrootte +  gelijkmatige toename Is de stapgrootte -  gelijkmatige afname Voorbeeld = -3 De uitkomst is steeds gelijk, er is sprake van gelijkmatige afname. De stapgrootte is -3. toename onder toename boven + 2 + 3 + 1 - 6 2 t 2 5 6 l 60 54 45 42 - 9 3 - 3 1 – 6 – 9 – 3

Lineair verband voorbeeld Bij de tabel hiernaast is de stapgrootte + 2 + 2 + 2 Bij de tabel hiernaast is de stapgrootte = 1,5 Het begingetal is de lengte die hoort bij t = 0. Dat is hier 6 – 3 = 3. De variabele onder in de tabel is ‘lengte’. Daar begint de formule mee. t 2 4 6 8 lengte 9 12 15 3 2 + 3 + 3 + 3 De formule bij de tabel is lengte = 3 + 1,5 × t lengte 3 1,5 t

Van lineaire grafiek naar formule Lineair verband Van lineaire grafiek naar formule Bij een lineaire grafiek kun je een lineaire formule maken. De variabele die bij de verticale as staat komt voor het = teken. De variabele die bij de horizontale as staat komt achter het = teken. Lees het begingetal af op de verticale as. De stapgrootte vind je zo: Zoek een roosterpunt op de grafiek dat je goed kunt aflezen. Tel één naar rechts en kijk hoe je weer op de grafiek komt. De formule die je krijgt ziet er zo uit

Stapgrootte berekenen II Lineair verband Stapgrootte berekenen II B In sommige grafieken is de stapgrootte niet precies af te lezen als je één stap opzij gaat. Dan bereken je de stapgrootte zo: 1 Kies twee punten op de grafiek waarvan je de coördinaten goed kunt aflezen. Teken de horizontale en verticale lijnstukken die daarbij horen. Bereken de stapgrootte met stapgrootte = Hiernaast zie je: stapgrootte = = 3,75 25 • 20 15 15 10 toename verticaal toename horizontaal • 5 4 15 4 t O 1 2 3 4

Hetzelfde begingetal of dezelfde stapgrootte Lineair verband Hetzelfde begingetal of dezelfde stapgrootte Bij grafieken die evenwijdig lopen horen formules met dezelfde stapgrootte. Sommige formules hebben hetzelfde begingetal . De grafieken van die formules beginnen op dezelfde hoogte op de verticale as. Voorbeeld Bij een rode grafiek hoort formule B = 15 + 2,5t a Een groene grafiek loopt evenwijdig aan de rode grafiek, maar als beginpunt (0, 7). Wat is de formule van deze grafiek? b Een blauwe grafiek heeft hetzelfde beginpunt als de rode grafiek en heeft als stapgrootte ¯0,75. Aanpak a Gebruik dat evenwijdige grafieken dezelfde stapgrootte hebben. b Gebruik dat de gegeven grafieken hetzelfde begingetal hebben. Uitwerking a B = 7 + 2,5t b B = 15 – 0,75t 2.3

hyperbolisch verband Omgekeerd evenredig Het inhuren van een band voor een schoolfeest kost € 600. Hoe meer leerlingen er komen, hoe minder je per leerling betaalt. a: aantal leerlingen Hierbij kun je een tabel maken en een grafiek. In de tabel en de grafiek zie je: als het aantal leerlingen tien keer zo groot wordt, dan wordt het bedrag per leerling tien keer zo klein. als het aantal leerlingen drie keer zo groot wordt, dan wordt het bedrag per leerling drie keer zo klein. Dit noemen we een omgekeerd evenredig verband. De grafiek bij een omgekeerd evenredig verband is een hyperbool.

Formules bij een omgekeerd evenredig verband hyperbolisch verband Formules bij een omgekeerd evenredig verband De formule P = hoort bij een omgekeerd evenredig verband. Je kunt de formule ook schrijven als P × a = 36. Bij de twee formules hoort dezelfde tabel en dezelfde grafiek. De grafiek is een hyperbool. De formule P × a = 36 is van de vorm variabele × variabele = getal. 36 a variabele variabele getal

wortel verband Wortelverbanden hoogte in m = a: horizontale afstand in meters. In de formule staat één van de variabelen onder het wortelteken. Daarom is het een wortelformule. Er bestaat een wortelverband tussen de afstand a en de hoogte. Vul je a = 6 in, dan krijg je hoogte = = 4,9 Bij de formule kun je een grafiek tekenen. Je maakt eerst een tabel.

machts verband Machten 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 26 26 is een macht. In de macht 26 is 2 het grondtal en 6 de exponent. 26 = 64 Voorbeelden I 23 = 2 × 2 × 2 = 8 II 73 spreek je uit als zeven-tot-de-derde of als zeven-tot-de-derde-macht.

machts verband Machtsverheffen Het berekenen van machten heet machtsverheffen. Volgorde bij berekeningen: Berekenen wat binnen de haakjes staat Machtsverheffen en worteltrekken van links naar rechts. Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts. Optellen en aftrekken van links naar rechts. voorbeelden a 23 + 5 × 3 = 8 + 15 = 23 b 5 + 3 × 23 = 5 + 3 × 8 = 5 + 24 = 29

Machtsverheffen op de rekenmachine machts verband Machtsverheffen op de rekenmachine Op je rekenmachine zit een machttoets. Oudere: 3,58 tik je in als Nieuwere: 3,58 tik je in als Controleer dat 3,58 = 22 518,753 91.

Grafiek bij een machtsformule machts verband Grafiek bij een machtsformule In de formule I =  × π × r3 staat de derde macht van de variabele r. Deze formule is een voorbeeld van een machtsformule. Er bestaat een machtsverband tussen de straal en de inhoud van de piramide. Grafiek machtsverband: Je maakt dan eerst een tabel. Teken de punten uit de tabel in een assenstelsel. Teken door die punten een vloeiende kromme.

Voorbeeld machtsverband Teken de grafiek van de formule h = 10 + 0,8t2,5. h: hoogte in m t: tijd in uren Aanpak Maak eerst een tabel, bijvoorbeeld van t van 0 tot 5. Voor t = 2 krijg je h = 10 + 0,8 × (2)2,5 = 14,5. Teken een assenstelsel dat bij de tabel past. Teken de punten van de tabel in de grafiek. Verbind de punten door een vloeiende kromme te tekenen. Uitwerking 1.1