Wiskundevademecum eerste graad Gemaakt op basis van verschillende wiskundesites Uitgewerkt door Tom Van Daele

INHOUDSTAFEL Getallenverzamelingen Meetkundige benamingen schaal Kenmerken van deelbaarheid (N) schaal Priemgetallen Maten herleiden Ontbinden in priemfactoren Merkwaardige lijnen in een driehoek Rekenregels bewerkingen in (Z) Merkwaardige lijnen en hoeken in een cirkel Rekenregels bewerkingen breuken (Q) Soorten hoeken Rekenregels bewerkingen decimale getallen (Q) Buitenhoek van een driehoek Gemiddelde en mediaan Hoekensom van veelhoeken Oplossen van vergelijkingen Omtrek en oppervlakte van vlakke figuren Procentberekening Eigenschappen (en definities) van vlakke figuren Rekenregels bewerkingen machten Oppervlakte en Volume van ruimtefiguren Eentermen Transformaties van het vlak Veeltermen Congruentie Merkwaardige producten Gelijkvormigheden Ontbinden in factoren Evenredige grootheden

Getallenverzamelingen N = {0,1,2,3,...} : natuurlijke getallen Z ={...−3,−2,−1,0,1,2,3,...} : gehele getallen Q= alle getallen die als breuk kunnen geschreven worden : rationale getallen R= alle getallen die een decimale schrijfwijze hebben : reële getallen Opmerkingen a) Elk rationaal getal is eveneens te schrijven als een repeterende decimale vorm en omgekeerd. Vb.: 11/12 = 0,916666… niet-repeterend deel : 91 en periode : 6 Cijfers nà de komma noemen we decimalen. Een decimaal getal is een rationaal getal met periode nul. b) Een niet-repeterende decimale vorm noemen we een irrationaal getal. Vb.: π = 3,141592653589793238462643383... c) Met elk reëel getal komt juist één punt van de getallenas overeen en omgekeerd. d) Twee getallen zijn elkaars tegengestelde als hun som nul is. e) Twee getallen zijn elkaars omgekeerde als hun product één is. f) De absolute waarde van een getal is dat getal zonder tekens. Vb.: |-7| = 7 en |+7| = 7 en vandaar : |-13| = |+13| = 13 g) Breuken zijn gelijknamig als ze een zelfde noemer hebben. h) Een echte breuk is een breuk waarbij de teller kleiner is dan de noemer. Een onechte breuk is een breuk waarbij de teller groter is dan of gelijk is aan de noemer.

Kenmerken van deelbaarheid (N) Een getal is deelbaar door: 2 : als het laatste cijfer van het getal deelbaar is door 2 (of het laatste cijfer 0, 2, 4, 6 of 8 is). 3: als de som van de cijfers van het getal deelbaar is door 3. 4: als het getal gevormd door de 2 laatste cijfers deelbaar is door 4. 5: als het laatste cijfer van het getal deelbaar is door 5 (of het laatste cijfer 0 of 5 is). 8: als het getal gevormd door de 3 laatste cijfers deelbaar is door 8. 9: als de som van de cijfers van het getal deelbaar is door 9. 25: als het getal gevormd door de 2 laatste cijfers deelbaar is door 25 (of het getal eindigt op 00, 25, 50, 75). 125: als het getal gevormd door de 3 laatste cijfers deelbaar is door 125.

Priemgetallen Ontbinden in priemfactoren Een priemgetal is een natuurlijk getal dat juist twee delers heeft. Voorbeelden: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,47, … Ontbinden in priemfactoren Grootste gemeenschappelijke deler (N) Kleinste gemeenschappelijk veelvoud (N)

Ontbinden in priemfactoren Werkwijze Bepaal het quotiënt van het gegeven getal en het kleinste priemgetal dat een deler is van het gegeven getal. Schrijf het priemgetal rechts van het gegeven getal en het quotiënt onder het getal. Bepaal op dezelfde wijze het kleinste priemgetal dat een deler is van het gevonden quotiënt. Herhaal dezelfde werkwijze tot het quotiënt 1 is. Noteer het getal als een product van de priemfactoren. Vb: Ontbind 150 in priemfactoren   150             2 75               3 25               5 5                 5    1 150 = 2 . 3 . 5²

Grootste gemeenschappelijke deler (N) Werkwijze Ontbind elk getal in priemfactoren Maak het product van de gemeenschappelijke priemfactoren, elk met hun kleinste exponent. Dit product is de grootste gemeenschappelijke deler van de gegeven getallen. Vb: Bepaal de ggd van 360 en 84   360 2 84 2 180 2 42 2 90 2 21 3 45 3 7 7 15 3 1 5 5 84 = 2² . 3 . 7 1  360 = 2³ . 3² . 5  ggd (360, 84) = 2² . 3 = 4 . 3 = 12

Kleinste gemeenschappelijk veelvoud (N) Werkwijze Ontbind elk getal in priemfactoren . Maak het product van alle verschillende priemfactoren, elk met hun grootste exponent. Dit product is het kleinste gemeenschappelijk veelvoud van de gegeven getallen. Vb: Bepaal kgv van 90 en 84 90 2 84 2 45 3 42 2 15 3 21 3 5 5 7 7 1 1 90 = 2 . 3² . 5 84 = 2² . 3 . 7   kgv (90,84) = 2²  3²  5  7 = 4  9  5  7 = 1 260

Rekenregels voor bewerkingen in Z Vereenvoudigingregel Optellen van 2 gehele getallen Vermenigvuldigen van gehele getallen Delen van gehele getallen Machtsverheffing Haakjesregel Volgorde van bewerkingen

Vereenvoudigingsregel + (+ ) wordt + - (+ ) wordt - + (- ) wordt - - (- ) wordt +

Optellen van 2 gehele getallen De twee termen hebben    hetzelfde toestandsteken verschillend toestandsteken - teken behouden - teken van het getal met de grootste absolute waarde - absolute waarden optellen - absolute waarden aftrekken (grootste absolute waarde – kleinste abs. waarde) Vb: 6 + 3 = 9 (-6) + 3 = -3 (-6) + (-3) = -9 6 + (-3) = 3

Vermenigvuldigen van gehele getallen - teken bepalen a.d.h.v. de tekenregel: +)  (+ = + +)  ( - = - - )  (+ = - - )  ( - = + - absolute waarden vermenigvuldigen   Opmerking aantal negatieve factoren even oneven product is positief product is negatief Vb: 6  3 = 18 (-6)  3 = -18 (-6)  (-3) = 18 6  (-3) .(-2) . (-5) = -180

Delen van gehele getallen - teken bepalen a.d.h.v. de tekenregel: +) : (+ = + +) : (- = - -) : (+ = - -) : (- = + - absolute waarden delen  Vb: 6 : 3 = 2 (-6) : 3 = -2 (-6) : (-3) = 2 6 : (-3) = -2

Machtsverheffing Grondtal Exponent Macht (resultaat) + EVEN ONEVEN - Grondtal negatief is Een macht wordt negatief en Exponent oneven is   Een macht wordt positief: alle andere gevallen Grondtal Exponent Macht (resultaat) + EVEN ONEVEN - Vb: 24 = 16 23 = 8 (-2)4 = 16 (-2)3 = -8

Haakjesregel Vb: + (a + b) = a + b + (-a – b) = -a - b Vb: + voor de haken: haken en plusteken weglaten (invoeren) en alle tekens van de termen behouden. Vb: + (a + b) = a + b + (-a – b) = -a - b - voor de haken: haken en minteken weglaten (invoeren) en elke term binnen de haakjes vervangen door zijn tegengestelde. Vb: - (a + b) = -a - b - (-a – b) = a + b

Volgorde van bewerkingen 1. De bewerkingen binnen de Haken.   2.             Machtsverheffingen 3.             VierkantsWorteltrekkingen 4.             Vermenigvuldigen en Delen van links naar rechts. 5.             Optellen en Aftrekken van links naar rechts.

Rekenregels voor bewerkingen met breuken (Q) Breuken optellen Breuken vermenigvuldigen Breuken delen

Breuken optellen/aftrekken 1.      Breuken vereenvoudigen (zowel in getallen als in tekens)   2.      Breuken gelijknamig maken (kgv van de noemers) 3.      Tellers optellen/aftrekken, noemer behouden 4.      Resultaat vereenvoudigen Vb: 1       2        5        4         9 -   +   -   =   -   +    -    =    - 2       5       10      10        10

Breuken vermenigvuldigen 1.      Eerst voor het toestandsteken zorgen (zie tekenregel vermenigvuldiging gehele getallen)   2.      teller x teller ------------------------------ en dadelijk vereenvoudigen, niet eerst vermenigvuldigen noemer x noemer Opmerking Het is nutteloos om de breuken eerst gelijknamig te maken. VEREENVOUDIGEN: enkel bij maal diagonaal (ook vertikaal) Vb: 1  x  2        2 1     -      -   =    - = - 8  x  3        24 12

Breuken delen 1.      Eerst voor het toestandsteken zorgen   2.      Eerste breuk vermenigvuldigen met het omgekeerde van de tweede breuk Opmerking De omgekeerde breuk bekom je door teller en noemer te wisselen. Vb: 13      6      13       8       13       2       26 13  -   :   -   =   -   .    -   =    -    .   -   =    - = -  4       8       4        6        1        6        6 3

Rekenregels voor bewerkingen met decimale getallen (Q) Optellen/Aftrekken Vermenigvuldigen Delen Machten

Decimale getallen optellen/aftrekken 1. Komma’s onder elkaar   2.      Optellen AFTREKKEN 1.      Teken bepalen   2.      Komma’s onder elkaar (getal met grootste absolute waarde bovenaan) 3. Aftrekken 31,3 + 5,4 = 36,7 5,4 – 36,7 = - 31,3

Decimale getallen Vermenigvuldigen 1.      Werk d vermenigvuldiging uit zonder komma’s   2.      Tel hoeveel cijfers er in totaal na de komma staan bij de factoren 3. Plaats de komma in het bekomen product.

Decimale getallen delen 1.      Deler schrijven zonder komma.   2.      Deeltal evenveel rangen opschuiven als deler 3. Deling uitwerken. Vb: 21,7 : 0,07 = 2170 : 7 = 310  21,7 : 0,07 = 310

Machten van decimale getallen 1.      Bepaal het teken (zie rekenregels machtsverheffing in Z)   2.      Rangen na de komma van het grondtal vermenigvuldigen met de exponent Vb: (0,3)³ = 2 (rangen na de komma) . 3 (exponent) = 6 rangen na de komma 3³ = 27  (0,3)³ = 0,000027

Gemiddelde en mediaan Rekenkundig gemiddelde SOM van alle getallen Het gemiddelde van enige getallen = ---------------------------------    aantal getallen Mediaan   Mediaan van enige getallen: 1) rangschik de getallen van klein naar groot 2) aantal getallen is even oneven mediaan is het rekenkundig mediaan is het gemiddelde van de twee middelste getal middelste getallen

Oplossen van vergelijkingen Onbekende termen overbrengen naar het ene lid (alles waar x bijstaat) (+ wordt – en omgekeerd) Bekende termen naar het andere lid. (+ wordt – en omgekeerd)   Beide leden uitwerken (=herleiden) Factor bij x overbrengen (wordt in andere lid gedeeld) 2de lid uitwerken en/of vereenvoudigen 3x - 8 = 19 – 6x   3x + 6x = 19 + 8 9x = 27 27 x = --- of 27 : 9 9 x = 3

Procentberekening

Rekenregels voor bewerkingen met machten Product van gelijksoortige machten Quotiënt van gelijksoortige machten Macht tot een macht verheffen Macht van een product Macht van een quotiënt Wetenschappelijke notatie

Product van gelijksoortige machten Om gelijksoortige machten te vermenigvuldigen:   Behoud je het grondtal en Tel je de exponenten op. am . an = am+n Vb: 26 . 24 = 210   (-3)5 . (-3)7 = (-3)12

Quotiënt van gelijksoortige machten Om gelijksoortige machten te delen   Behoud je het grondtal en trek je de exponenten van elkaar af. (exponent deeltal - exponent deler) am : an = am-n Vb: a³: a = a² (-5)6 ----- = (-5)1 = -5 (-5)5

Macht tot een macht verheffen Om een macht tot een macht te verheffen   Behoud je het grondtal en Vermenigvuldig je de exponenten ( am )n = am . n Vb: (63)5 = 615   ( (-7)5)9 = (-7)45

Macht van een product ( a . b . c )m = am . bm . cm Vb: Om een product tot een macht te verheffen   Verhef je elke factor tot die macht Vb: (4 . 100)3 = 43 . 1003   (-2 . 15)5 = (-2)5 . 155

a am ( ----- )m = ----- b bm Macht van een quotiënt Vb: Om een quotiënt tot een macht te verheffen   Verhef je teller en noemer tot die macht a am ( ----- )m = ----- b bm Vb: (3:7)³ = 3³ : 7³ 81 812 (----- )2 = ------ 7 72

Wetenschappelijke notatie Bij een wetenschappelijke notatie van getallen schrijf je het getal als een product van twee factoren:   De eerste factor is een decimaal getal met één beduidend cijfer (dit is een cijfer verschillend van nul) voor de komma, De tweede factor is een macht van tien. Vb: 321 000 = 3,21 . 105 0,00 047= 4,7 . 10-4

Eentermen Optellen en aftrekken Vermenigvuldigen Delen Tot een macht verheffen

Eentermen optellen/aftrekken Om de som (verschil) van gelijksoortige eentermen te berekenen;   Bereken je de som (verschil) van de coëfficiënten en Behoud je het lettergedeelte. Vb: 5a + 3ab = niet op te lossen, hebben niet hetzelfde letterdeel (dus niet gelijksoortig) 5a + 6a = (5 + 6)a = 11a   18a2 – 11 a2 = (18 – 11) a2 = 7 a2

Eentermen vermenigvuldigen Om het product van eentermen te berekenen;   Vermenigvuldig je de coëfficiënten en Vermenigvuldig je de letterfactoren. (exponenten optellen) Vb: 3 . 6 c4 = 18 c4   (-4 c) . 3 c² = -12 c³ (-5 c3) . (-7 c8) = 35c11 

Eentermen delen Vb: 27d8 : 3d2 = 9d6 (-35e10) : (-7e7) = 5e3 Om het quotiënt van eentermen te berekenen;   Deel je de coëfficiënten en Deel je de letterfactoren (exponenten aftrekken). Vb: 27d8 : 3d2 = 9d6   (-35e10) : (-7e7) = 5e3 18d³e : (-6d) = 3d²e Bij breuken opletten! Rekenregels toepassen!

Eentermen tot een macht verheffen Om de macht van een eenterm te berekenen;   Verhef je de coëfficiënt tot die macht en Verhef je elke letterfactor tot die macht (exponenten vermenigvuldigen). Vb: (5h³)² = 25h6   (-3h4)3 = -27h12

Veeltermen Veeltermen optellen/aftrekken Veelterm . Veelterm Veelterm . Eenterm Veelterm : Eenterm

Veeltermen optellen/aftrekken Om de som (verschil) van veeltermen te berekenen;   Werk je de haakjes weg (haakjesregel) Herleid je de bekomen veelterm. Vb: (3b + 6) – (2b – 3) = 3b + 6 – 2b + 3   = b + 9

Veelterm maal veelterm Om het product van twee veeltermen te berekenen;   Vermenigvuldig je elke term van de ene veelterm met elke term van de andere veelterm (distributiviteit) Herleid je de bekomen veelterm. Vb: (a+ b) . (c – d) = ac – ad +bc – bd (2g – 6) . (3g + 1) = 6g² + 2g – 18g – 6   = 6g² - 16g – 6 

Veelterm maal eenterm Vb: a . (b – c) = ab - ac Om het product van een eenterm en een veelterm te berekenen;   Vermenigvuldig je de eenterm met elke term van de veelterm (distributiviteit) Tel je de bekomen producten op. Vb: a . (b – c) = ab - ac 3f . (5 – 4f) = 15f – 12f²   (-2f2) . (-7f3 + 4f8) =14f5 – 8f10

Veelterm delen door eenterm Om het quotiënt van veelterm en eenterm te berekenen;   Deel je de coëfficiënten Deel je de letterfactoren (exponenten aftrekken). Vb: (27d8 + 12d5) : 3d2 = 9d6+ 4d3   (-7e10 + 21e7) : (-7e7) = e3 – 3 (18d3e – 6d) : (-6d) = -3d²e + 1

Merkwaardige producten (a + b)(a – b) = a² - b² (a + b)(a + b) = (a + b)² = a² + 2.a.b + b² (a – b)(a - b) = (a – b)² = a² - 2.a.b + b² Indien a en b een verschillend toestandsteken hebben is het dubbel product (middelste term) negatief.

Ontbinden in factoren TWEETERM DRIETERM   1) Gemeenschappelijke 1) Gemeenschappelijk factoren afzonderen factoren afzonderen a . b + a . c = a . (b+c) a . b + a . c -a . d = a . (b + c - d) Voorbeeld Voorbeeld 12x² - 8x = 2x . (6x – 4) 6x4 + 12x² - 8x= 2x . (3x3 + 6x – 4)  2) Verschil van twee kwadraten 2) Volkomen kwadraat ontbinden ontbinden in factoren in factoren a² – b² = (a + b) . (a – b) a² – 2 . a . b + b² = (a – b)²    49z² - 25 = (7z + 5) . (7z – 5) 4y² - 24y + 9 = (2y – 3)²

Evenredige grootheden Evenredigheden   Definitie : Een evenredigheid is de gelijkheid van twee verhoudingen 3 6 Voorbeeld : ----- = ----- is een evenredigheid 4 8  Recht evenredige en omgekeerd evenredige grootheden (klik hier) Hoofdeigenschap van de evenredigheden   In een evenredigheid is het product van de middelste termen gelijk aan het product van de uiterste termen. a c Met symbolen : ----- = -----  a.d = b.c (a en d: de uiterste termen) b d (b en c : de middelste termen)

Recht en omgekeerd evenredige grootheden RECHT EVENREDIG OMGEKEERD EVENREDIG Voorbeeld: X 4 6 8 10 16 20 ----------------------------------------------- Y 8 12 16 20 32 40 X 1 2 3 4 5 6 ---------------------------------------------- Y 60 30 20 15 12 10 Het quotiënt is constant 4 6 8 20 -- = -- = -- = -- 8 12 16 40 Het product is constant   1 . 60 = 2 . 30 = 3 . 20 = 4 . 15 = 5 . 12 Grafiek: rechte door de oorsprong hyperbool

Meetkundige benamingen Punt: A (hoofdletter) Rechte: a (kleine letter) of AB (rechte door punten A en B) Halfrechte:[AB (grenspunt A) Lijnstuk: [AB] (grenspunten A en B) Afstand: |AB| (afstand tussen de punten A en B) Evenwijdigheid: a // b (de rechten a en b zijn evenwijdig) Hoeken: Â (hoofdletter met een hoedje erop) Hoekpunt: A (gewoon een hoofdletter)

Schaal Schaal Afstand op tekening = -------------------------------- Afstand in werkelijkheid Verkleinende schaal  De tekening is kleiner dan de werkelijkheid (landkaart) De tekening is 10 000 keer kleiner dan de werkelijkheid Vergrotende schaal  De tekening is groter dan de werkelijkheid (tekening van een luis) De tekening is 50 keer groter dan de werkelijkheid Tekening 1 Werkelijkheid 10 000 Tekening 50 Werkelijkheid 1

Maten herleiden Lengtematen (per 10) Oppervlaktematen (per 100) Volumematen (per 1000)

Merkwaardige lijnen in een driehoek - Een middelloodlijn staat loodrecht op een zijde, in het midden van die zijde. - Een zwaartelijn verbindt een hoekpunt met het midden van de overstaande zijde. - Een bissectrice of deellijn verdeelt een hoek in twee gelijke delen. - Een hoogtelijn gaat door een hoekpunt en staat loodrecht op de overstaande zijde of het verlengde ervan.

Merkwaardige lijnen en hoeken in een cirkel Straal (|MS| is de straal.) Een straal van een cirkel is de lengte van het lijnstuk bepaald door het middelpunt en een punt van de cirkel. Koorde ([CD] is een koorde.) Een koorde van een cirkel is een lijnstuk bepaald door twee verschillende punten van de cirkel. Middellijn (m is een middellijn.) Een middellijn van een cirkel is een rechte door het middelpunt van de cirkel. Diameter (|AB| is de diameter.) De diameter is de lengte van een koorde door het middelpunt. Opmerking: de diameter is het dubbele van de straal. Middelpuntshoek (Ô is een middelpuntshoek.) Een middelpuntshoek van een cirkel is een hoek met als hoekpunt het middelpunt van de cirkel. Omtrekshoek (Ŷ is een omtrekshoek.) Een omtrekshoek van een cirkel is een hoek met als hoekpunt een punt van de cirkel en de benen snijden de cirkel.

Soorten hoeken Hoek (per 1) Hoeken (per2) Hoeken bij evenwijdige rechten en snijlijn

Hoeken (per 1) Nulhoek: een nulhoek is een hoek van 0°.   Scherpe hoek: een scherpe hoek is een hoek die groter is dan 0° en kleiner dan 90°. Rechte hoek: een rechte hoek is een hoek van 90°. Stompe hoek: een stompe hoek is een hoek die groter is dan 90° en kleiner dan 180°. Gestrekte hoek: een gestrekte hoek is een hoek van 180°.    Concave hoek: een concave hoek is een hoek die groter is dan 180°. Dit noem je ook een inspringende hoek.

Hoeken (per 2) Overstaande hoeken: overstaande hoeken zijn twee hoeken waarvan de benen in elkaars verlengde liggen. Opmerking : overstaande hoeken zijn gelijk   Aanliggende hoeken: aanliggende hoeken zijn twee hoeken met een gemeenschappelijk been (en een gemeenschappelijk hoekpunt). Het gemeenschappelijk been ligt tussen de twee andere benen.  Nevenhoeken: nevenhoeken zijn aanliggende hoeken waarvan de som 180° is. Complementaire hoeken: complementaire hoeken zijn twee hoeken waarvan de som 90° is. Supplementaire hoeken: zijn twee hoeken waarvan de som 180° is.

Hoeken (bij evenwijdige rechten en snijlijn) Â4 en Ê4 zijn overeenkomstige hoeken (zijn gelijk)   Â4 en Ê2 zijn verwisselende buitenhoeken (zijn gelijk) Â1 en Ê4 zijn verwisselende binnenhoeken (zijn gelijk) Â1 en Ê4 zijn binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn (zijn supplementair) Â4 en Ê1 zijn buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn (zijn supplementair) !!Supplementaire hoeken zijn hoeken die samen 180° zijn!!

Buitenhoek van een driehoek Definitie Een buitenhoek van een driehoek is een nevenhoek van een hoek van die driehoek.   Eigenschap Een buitenhoek van een driehoek is gelijk aan de som van de niet-aanliggende hoeken van die driehoek. Â1 is een buitenhoek van driehoek ABC Â1 = Ê + Ô

Hoekensom van veelhoeken De hoekensom van een n-hoek = (n - 2) . 180° De hoekensom van een driehoek = (3 - 2) .180° = 1 . 180° = 180° De hoekensom van een vierhoek = (4 - 2) .180° = 2 . 180° = 360° De hoekensom van een tienhoek = (10 - 2) . 180° = 8 . 180° = 1 440°

Omtrek en oppervlakte van vlakke figuren Driehoek Ruit Trapezium Vierkant Cirkel Parallellogram Rechthoek

Driehoek O = som van de zijden  A = (b . h) 2

Trapezium O = som van de zijden  A = (b + B) . h = (kleine basis . Grote basis) . hoogte 2 2

Parallellogram O = som van de zijden = 2 . (basis + Schuine zijde)  A = b . h = basis . hoogte

Rechthoek O = som van de zijden = 2 . (l + b)  A = l . b = lengte . breedte

Ruit O = som van de zijden = 4 . z  A = (d . D) = (kleine diagonaal . Grote diagonaal) 2 2

Vierkant O = som van de zijden = 4 . z  A = z . z = z² = zijde . zijde

Cirkel O = 2 . r . ╥ = 2 . straal . Pi (3,14) of d . ╥ = diameter . Pi  A = r . R . ╥ = straal . straal . Pi

Eigenschappen en definities van vlakke figuren   Trapezium: een vierhoek met minstens twee evenwijdige zijden. Parallellogram: een vierhoek waarvan de overstaande zijden evenwijdig zijn. Rechthoek: een vierhoek met vier gelijke hoeken. Ruit: een vierhoek met vier even lange zijden. Vierkant: een vierhoek met vier gelijke hoeken en vier even lange zijden.  Eigenschappen VIERHOEKEN (klik hier) DRIEHOEKEN (klik hier)

Eigenschappen van vierhoeken

Eigenschappen van driehoeken

Oppervlakte en inhoud van ruimtefiguren Kubus Kegel Bol Balk Algemeen Prisma Piramide Cilinder

Kubus A = 6. oppervlakte grondvlak  I = z . z . z = z³ = zijde . zijde . zijde

Balk A = 2 . Oppervlakte grondvlak + 4 . Oppervlakte zijvlak  I = oppervlakte grondvlak . hoogte = l . b . h

Prisma A = 2 . Oppervlakte grondvlak + omtrek . hoogte  I = oppervlakte grondvlak . Hoogte Oppervlakte grondvlak bestaat in voorbeeld uit 5 kleine driehoeken : 5 . z . a 2

Piramide A = Oppervlakte grondvlak (Z . Z) + 4 . Oppervlakte driehoek (opstaand vlak)  I = Oppervlakte grondvlak . Hoogte

Cilinder A = 2 . Oppervlakte grondvlak (cirkel) + Oppervlakte mantel 2 . (r . r . Pi) + (2. r . Pi) . h  I = Oppervlakte grondvlak . Hoogte 2.(r . r . PI) . h

Kegel A = oppervlakte grondvlak + oppervlakte zijvlak = Pi . r² + Pi . r . a ( a² = h² + r² )  Pythagoras oppervlakte grondvlak . Hoogte Pi . r² . h  I = ---------------------------------------------------- = ---------------- 3 3

Bol A = 6. oppervlakte grondvlak  I = z . z . z = z³ = zijde . zijde . zijde

ALGEMEEN O = 2 . r . ╥ = 2 . straal . Pi (3,14) of d . ╥ = diameter . Pi  A = r . R . ╥ = straal . straal . Pi

ALGEMEEN De oppervlakte van een ruimtelichaam is gelijk aan de som van de oppervlakten van elk vlak afzonderlijk. Is het grondvlak gelijk aan het bovenvlak, dan is de inhoud van een ruimtelichaam gelijk aan de oppervlakte van het grondvlak . hoogte. is er slechts één hoogste punt, dan moet je delen door drie. opp(grondvlak) . Hoogte Dus ------------------------------- 3   De formules voor inhoud of volume blijven dezelfde voor een recht of een scheefgetrokken lichaam. In het laatste geval kies je als hoogte de (werkelijke) verticale hoogte.

Transformaties van het vlak Spiegeling Verschuiving Draaiing Puntspiegeling

Spiegeling De spiegeling sa is bepaald door: de spiegelas: a Eigenschappen:  Elke spiegeling bewaart de hoekgrootte, de lengte, de evenwijdigheid en de loodrechte stand.

Verschuiving De verschuiving tAB is bepaald door een georiënteerd lijnstuk de richting: AB de lengte: |AB| de zin: van A naar B  Eigenschappen: Elke verschuiving bewaart de hoekgrootte, de lengte, de evenwijdigheid en de loodrechte stand.  Elke verschuiving beeldt een rechte af op een evenwijdige rechte.

draaiing De draaiing is bepaald door : het centrum: O de hoek: de zin: positieve hoekgrootte  tegenwijzerzin negatieve hoekgrootte  in wijzerzin   Eigenschappen: Elke draaiing bewaart de hoekgrootte, de lengte, de evenwijdigheid en de loodrechte stand.

puntspiegeling De puntspiegeling sA is bepaald door: het centrum: A   Eigenschappen:   Elke puntspiegeling bewaart de hoekgrootte, de lengte, de evenwijdigheid en de loodrechte stand. Elke puntspiegeling beeldt een rechte af op een evenwijdige rechte.

Congruentie Definitie : Figuren die elkaar volledig bedekken noem je congruente figuren. Notatie : ΔABC  ΔA’B’C’ ΔABC is congruent met ΔA’B’C’ ZZZ : twee driehoeken zijn congruent als al hun zijden twee aan twee gelijk zijn.   ZHZ : twee driehoeken zijn congruent als twee zijden en de ingesloten hoek twee aan twee gelijk zijn. HZH : twee driehoeken zijn congruent als een zijde en de twee aanliggende hoeken twee aan twee gelijk zijn. ZHH : twee driehoeken zijn congruent als een zijde, een aanliggende hoek en de overstaande hoek twee aan twee gelijk zijn. SZRZ90°: twee rechthoekige driehoeken zijn congruent als ze de schuine zijde en een paar rechthoekszijden gelijk hebben.

Gelijkvormigheid Definitie: Als je een figuur vergroot of verkleint, bekom je een gelijkvormige figuur.   Notatie: ΔABC ~ ΔA’B’C’ ΔABC is gelijkvormig met ΔA’B’C’ Eigenschappen: Bij twee gelijkvormige figuren: - zijn de overeenkomstige hoeken gelijk is de verhouding tussen de lengten van de overeenkomstige zijden constant en gelijk aan de gelijkvormigheidsfactor r. |AB| |AC| |BC| ------ = ------ = ------ |EG| |GF| |EF|