Speciale relativiteit Hoogtepunten uit de ‘Speciale Relativiteit theorie’ van Einstein Stan Bentvelsen s.bentvelsen@uva.nl

UvA Mastercourse - 12 maart 2009 Albert Einstein (1879 – 1955) Einstein’s grensverleggende papers (1905): De speciale relativiteitstheorie Ruimte en tijd, E=mc2 Het foto-elektrisch effect Start kwantumtheorie ‘Brownse’ beweging Aantonen bestaan moleculen Deze publicaties hebben verstrekkende gevolgen! Leven is ingrijpend veranderd TV, computer, WWW, magnetron,… Gezondheidszorg, communicatie, militair, ... Veel veranderingen zijn terug te voeren op de ontwikkeling van de fundamentele natuurkunde. Met name de invloed van Einstein is enorm. UvA Mastercourse - 12 maart 2009

De Klassieke Mechanica Wetenschappelijke revolutie tijdens de ‘gouden’ 17e eeuw Klassieke mechanica geeft kwantitatief ‘recept’ voor de beschrijving van bewegende objecten. Ik gooi een steen omhoog met snelheid van 10 m/s. Hoe hoog komt de steen? Hoe is de beweging van planeten en manen in het zonnestelsel? ‘Helden’ van de klassieke mechanica: Galileo Galilei, Isaac Newton Galilei (1564 - 1642) Newton (1643 - 1727) UvA Mastercourse - 12 maart 2009

Galilei-transformaties Bekijk een kogel die wordt afgeschoten vanuit een rijdende trein. Wat is de snelheid van de kogel t.o.v. De rijdende trein? Uw vriend op het perron die de trein voorbij ziet komen? Stel de kogel vliegt met snelheid V’kogel weg tov trein Relatie tussen de snelheden is vanzelfsprekend: Vkogel=V’kogel+vtrein Dit is de Galilei-transformatie tussen twee coördinatensystemen UvA Mastercourse - 12 maart 2009

Principe van relativiteit De grootte van je snelheid kun je niet voelen Een rijdende trein, of sta je stil en de rest van de wereld beweegt? Astronauten in het ISS voelen niet dat zij met 29000 km/uur rond de aarde razen Alle natuurwetten (ook die van de mechanica) zijn hetzelfde in coördinatenstelsels die een constante snelheid tov elkaar hebben. In de Klassieke Mechanica wordt dit beschreven door de 3 hoofdwetten van Newton Voor versnelde coördinatenstelsels heeft Einstein de ‘Algemene Relativiteitstheorie’ ontwikkeld (Einstein 1915) Gevolg: Zwarte gaten, Big Bang, etcetera! UvA Mastercourse - 12 maart 2009

UvA Mastercourse - 12 maart 2009 Snelheid van het licht Eind 19e eeuw stelt Maxwell de theorie van elektriciteit en magnetisme op. Licht (fotonen) is een continue ‘buiteling’ van elektrische en magnetische velden Maxwell vergelijkingen: de lichtsnelheid is een natuurconstante, onafhankelijk van het coördinatenstelsel! Snelheid van het licht, c, in vacuüm is c=299792458 m/s Ongeveer 300000 km/s = 3·108 m/s Hoe kan dit nu? We hadden gezien dat de snelheid van dingen afhankelijk is van hoe je observeert? Maxwell (1831– 1879) Poincare (1854 – 1912) Lorentz (1853 – 1928) UvA Mastercourse - 12 maart 2009

UvA Mastercourse - 12 maart 2009 Perplex met licht… Sta even stil bij de consequentie hiervan Stel u ontsteekt een zaklantaarn in een rijdende trein. De snelheid waarmee het licht zich beweegt tov de zaklamp is c, dwz, ~300000 km/s. Uw vriend bevind zich op het perron en ziet de voorbijsnellende trein. Hij kan de snelheid van het licht uit de zaklamp bepalen, tov het perron: Uw vriend op het perron zal dezelfde snelheid c meten! Duidelijke tegenspraak met de Galilei-transformaties. UvA Mastercourse - 12 maart 2009

UvA Mastercourse - 12 maart 2009 Gelijktijdigheid Volgende gedachten experiment: Neem lange trein – sta in het midden en ontsteek een lampje Het duurt een tijdje en dan komt het licht aan bij de voor- en achterkant van de trein (A en B) Licht bereikt voor- en achterkant van de trein tegelijkertijd Het licht bereikt A en B gelijktijdig A B A B UvA Mastercourse - 12 maart 2009

UvA Mastercourse - 12 maart 2009 Gelijktijdig, of niet? Nu gaat de trein rijden en bekijkt uw vriend op het perron dit alles: In de tijd dat het licht nodig heeft om de uiteinden te bereiken, is de trein een stukje opgeschoven. De lichtsnelheid naar links en naar rechts is hetzelfde (konstant!) Het licht bereikt nu uiteinde A eerder dan B! Het licht bereikt A en B niet gelijktijdig voor de vriend op perron. A B A B UvA Mastercourse - 12 maart 2009

UvA Mastercourse - 12 maart 2009 De lichtklok Stel u maakt een klok op de volgende manier: Lampje en spiegel – en elke keer dat licht heen en weer gaat een volgende ‘tik’ van de klok De tijdsduur ΔT’ tussen twee ‘tikken’ is hiermee gelijk aan: Deze klok geeft uiterst regelmatig tikken. Hoewel praktisch gezien het maken van de klok best lastig is. Hiermee wordt de voortgang van de tijd bekeken Het is gemakkelijk te analyseren! L0 spiegel lampje UvA Mastercourse - 12 maart 2009

De lichtklok op de trein Zet nu de lichtklok op een trein. De waarnemer op het perron ziet de klok tikken met snelheid Δt De afstand AB wordt gegeven door Pythagoras De snelheid van het licht is constant, en de totale afstand ABC wordt afgelegd in een tijd cΔt B L0 Snelheid van de trein v A C UvA Mastercourse - 12 maart 2009

Tijds-uitrekking (dilatatie) We hebben nu een vergelijking met Δt, die kunnen we oplossen: Voor de stilstaande klok (in de trein dus) hadden we Δt’: Hiermee zijn de tikken niet meer gelijk voor de man in de trein en de vriend op het perron: De man op het perron ziet de tijd in de trein anders verlopen! Gevolg van constante lichtsnelheid… UvA Mastercourse - 12 maart 2009

UvA Mastercourse - 12 maart 2009 Tijdsdilatatie We hebben nu laten zien dat: Δt’ : ‘stilstaande’ klok: tijd in de trein zelf Δt : Tijd in de voorbijsnellende trein, gezien vanaf het perron Stel een ruimteschip beweegt met een snelheid v = 0.8c = (4/5)c Een seconde voor een reiziger het ruimteschip ziet de vriend vanaf de aarde als Man op aarde ziet alle bewegingen ‘trager’ verlopen in het ruimteschip, met een factor 1.66! UvA Mastercourse - 12 maart 2009

UvA Mastercourse - 12 maart 2009 Dilatatie Bij lage snelheden is het effect van tijdsvertraging klein Voor een trein met v=100 km/uur zijn de tijden Δt en Δt’ hetzelfde tot op 99.999994% nauwkeurig Toch blijft u iets jonger in de rijdende trein tov de thuisblijver! Bij snelheden in de buurt van de lichtsnelheid is tijdsdilatatie heel groot Lichtsnelheid v=c is de maximum snelheid Tijd kan wel langzamer lopen, maar niet terug-lopen Gelukkig! Anders problemen met oorzaak en gevolg Bv: U kunt niet uw eigen ouders vermoorden voordat u geboren bent! Effect in elementaire deeltjes onmiskenbaar Voor positie bepaling met GPS systeem is relativiteit onmisbaar UvA Mastercourse - 12 maart 2009

UvA Mastercourse - 12 maart 2009 ‘Invariant’ interval Een ruimteschip met lichtklok van 3m hoog beweegt met snelheid 0.8c tov de aarde Tov aarde: Klok tikt anders, maar heeft ook een afstand afgelegd Is er een grootheid invariant? ‘Interval’ tussen twee gebeurtenissen Onafhankelijk van de beweging- snelheid van de klok! UvA Mastercourse - 12 maart 2009

Bewegende coördinatenstelsels Hoe kun je coördinaten beschrijven tov twee bewegende stelsels Galilei transformaties Klassieke mechanica Vergelijk beschrijving vanuit trein en vanuit het perron Gebruik schrijfwijze Lorentz transformaties (geen afleiding hier) Enige mogelijkheid die interval s ‘invariant’ laat Modificatie van Galilei bij hoge snelheden ‘Mixen’ van ruimte en tijd Naar links bewegend coördinatenstelsel UvA Mastercourse - 12 maart 2009

UvA Mastercourse - 12 maart 2009 Opdracht Laat zien dat de Lorentztransformaties de grootheid invariant laat. Maw, laat zien dat geldt: gebruik de definities: UvA Mastercourse - 12 maart 2009

Optellen van snelheden Stel trein beweegt met snelheid v1 Kogel in de trein beweegt met snelheid v2 tov de trein Wat is de snelheid van de kogel tov het perron? Klassiek: Met Lorentz transformaties Hierdoor kan snelheid niet groter worden dan c Voorbeeld: snelheid licht op trein, bezien vanaf perron: UvA Mastercourse - 12 maart 2009

‘Invariant’ interval Invariante interval speelt centrale rol in relativiteitstheorie Interval tussen twee gebeurtenissen bepaalt of deze causaal verbonden zijn Kunnen zij elkaar beinvloeden? Voortgang in tijd beschrijven mbv (ct,x) diagram: ct x Stilstaand object ct x Konstant bewegend object ct x Bewegend object UvA Mastercourse - 12 maart 2009

Visualisatie Lorentz transformatie www.nikhef.nl/~stanb/Minkowski.html http://www.nikhef.nl/~stanb/Minkowski.html UvA Mastercourse - 12 maart 2009

Vier dimensionale vectoren Gebeurtenis wordt beschreven door vier-vector Vergelijk drie- en vier vectoren Klassieke drie-vector: Vier-vector Tijd coördinaat, uitgedrukt in [m]: ct Lengte van de vectoren Lengte van drie-vector: De lengte is invariant onder rotaties van het coördinatenstelsel Lengte van vier vector: Deze lengte is invariant onder 3d rotaties van het ‘ruimtelijk’ coördinatenstelsel Maar bovendien is deze lengte invariant voor bewegende coördinatenstelsels UvA Mastercourse - 12 maart 2009

UvA Mastercourse - 12 maart 2009 De vier-impuls vector Voor de Klassieke Mechanica Impuls wordt gegeven door Impuls is behouden – gebruik analyse van bv botsingen Vier dimensionale equivalent: Kunt niet differentiëren naar de tijd t In plaats daarvan gebruik ‘eigentijd’ t – tijd van eigen horloge Voor stilstaande waarnemer is tikken van klok gelijk aan eigentijd Verder is eigentijd ‘invariant’, dwz hetzelfde tov iedere waarnemer Enige mogelijke vier-vector: UvA Mastercourse - 12 maart 2009

Relativistische impuls De eigentijd t kan worden geschreven als Vergelijk de situatie met stilstaande en bewegende klok, eigentijd werd daar t’ genoemd. Bekijk het ‘ruimtelijk’ gedeelte van vier-impuls De relativistische impuls wordt nu De wiskundige expansie van γ rond kleine snelheden Hiermee vinden we terug voor lage snelheden UvA Mastercourse - 12 maart 2009

Relativistische energie Impuls vier-vector componenten De ruimtelijke componenten zijn de relativistische impuls De nul-component kunnen we met de energie identificeren. Dimensies zijn correct als vier-vector gelijk is aan Hiermee is de relativistische energie gelijk aan Met de ontwikkeling van γ wordt dit Relativistische energie geeft klassieke uitdrukking voor kinetische energie, plus ‘rust’ energie, plus ‘kleine’ correcties UvA Mastercourse - 12 maart 2009

Energie-impuls vergelijking We hebben nu een vier-impuls De componenten voldoen aan de Lorentz transformaties Uit de eerdere discussie volgt: De lengte van de vier-impuls is invariant: Waarmee we uiteindelijk vinden Een vergelijking voor op je t-shirt! Aanzet tot bestaan anti-materie als negatieve energie oplossing UvA Mastercourse - 12 maart 2009

Verstrooiingstheorie Voor Na Analyse van verstrooiing: Teken een diagram met alle deeltjes voor en na de botsing Schrijf behoud van energie op Schrijf behoud van impuls op Probeer dit systeem op te lossen Gebruik Gebruik niet de snelheid v want die ligt vaak heel dicht bij lichtsnelheid c Vul zo laat mogelijk de getallen in de uitdrukkingen in Check resultaat en de dimensie van je antwoord! Kun je een algemene conclusie uit het resultaat trekken?

Behouden tijdens botsingen Botsingen tussen (willekeurig aantal) deeltjes: Alle componenten van de vier-impuls zijn behouden bij de botsing Invariante massa van de botsing ook behouden – en bovendien hetzelfde in elk coördinatenstelsel ? Toestand ‘in’ Toestand ‘uit’ UvA Mastercourse - 12 maart 2009

Voorbeeld van deeltjesversneller In LEP deeltjesversneller werden elektronen en anti-elektronen op elkaar geschoten Elk met energie E=45.5 GeV verwaarloos de massa van elektron, die is De invariante energie van dit systeem wordt dan: Oftewel: precies genoeg voor de productie van het Z0 deeltje! UvA Mastercourse - 12 maart 2009

Waarom ‘botsende bundels’? Stel je wilt het Z deeltje maken met botsingen op een trefplaatje: Welke energie moet bundel anti-elektronen hebben om Z deeltje te creëren? De massa van het systeem wordt nu: Om Z deeltje te maken hebben we een bundelenergie nodig van Dit is heel ver buiten technologische mogelijkheden! UvA Mastercourse - 12 maart 2009

Vergelijk LEP met LHC Twee grote versnellers op Cern, bij Geneve: Versnellen van elektronen op positronen, elk met een energie van maximaal 105000 MeV. Rustmassa van deze deeltjes is 0.511 MeV/c2 Hiermee is de Lorentzfactor γ Invariante massa Limiet van de bundelenergie wordt gegeven door de synchrotron straling: Hoeveel energie kun je per ‘rondje’ maximaal in de bundel inpompen LHC (2009-2020) Versnellen van protonen op protonen, elk met een energie van maximaal 7000000 MeV. Rustmassa van deze deeltjes is plm 938 MeV/c2 Limiet van de bundelenergie wordt gegeven door de sterkte van de afbuigingsmagneten Bij hogere energie ‘schieten’ de protonen hun baan uit Synchrotron straling bij protonen verwaarloosbaar

Productie van nieuwe deeltjes (E1,p1) (E4,p4) ma mb mH a b H (E2,p2) (E3,p3) Voor Tussen Na Of een deeltje H wordt gemaakt hangt af van de natuurwetten Het deeltje H zal vrijwel altijd weer onmiddellijk uiteen vallen in een serie andere deeltjes met kleinere massa Als je de energie en impulsen van al deze ‘vervalsproducten’ meet, kun je de massa van deeltje H bepalen. De invariante massa van dit systeem kun je uitrekenen: Hiermee kun je de massa van deeltje H bepalen De massa van dit deeltje H is maximaal Hoe groter de energie van de versneller, hoe zwaarder het nieuwe deeltje

Een Higgs deeltje HiggsZ0Z0 m+m- m+m- Heel duidelijk signaal: 4 muonen in detector Erg kleine kans Veel storing van extra deeltjes Maar weinig ‘gebeurtenissen’ die hierop lijken Dit kan alleen van een Higgs deeltje afkomstig zijn!

Ontdekking en massa van het Higgs Invariante massa Higgs: Gelijk aan invariante massa 4 muonen Na een paar jaar LHC (100 fb-1) m Ongeacht de Higgs massa: Atlas gaat het vinden