Exponentiële en logaritmische functies Grafiek, asymptoot en inverse Rekenregels logaritme

Rente op de rente Frits krijgt een bedrag van € 8000 uit een erfenis. Hij zet het geld op een aparte rekening op de bank tegen een rente van 5%. Hoeveel staat er op de rekening na 2 jaar? Hoeveel na 10 jaar? Na hoeveel jaar is het geld verdubbeld? Geef de formule (per jaar) Is de formule ook per kwartaal te maken? Hoe groot moet de rente zijn om te verdubbelen in tien jaar?

Grafiek/formule bij 5% rente 𝑦-as (bedrag in euro) 𝑦= 1,05 𝑥 𝑥-as (tijd in jaren) Deze grafiek geeft het beeld voor elke euro die je inlegt met 5% rente. Wanneer heb je het dubbele bedrag?

Verdubbelen na 10 jaar Welk percentage heb je nodig om te verdubbelen na tien jaar? Hoe reken je dat precies uit? 𝑔 10 =2 → 𝑔= 10 2

10.1 Exponentiële functies Machtsfuncties horen meestal bij groeifuncties. Het grondtal heet dan ook de groeifactor. Basisvorm: 𝑦= 2 𝑥

Groeifactor Bijzonder aan groeifuncties. Alleen horizontale asymptoot ( meestal x-as) Groeifactor groter dan 1 → stijgende lijn Groeifactor =1 → horizontale lijn (ook bij 0) Groeifactor tussen 0 en 1 → dalende lijn (eigenlijk is het dan geen groei maar krimp) Waarom geen negatieve getallen?

Wat is de formule?

10.2 Inverse functie De inverse functie van een exponentiële functie is een logaritmische functie. Wat is een logaritme?

Exponent berekenen 𝑦= 1,05 𝑥 Met behulp van de tabel kun je waarden uitrekenen, maar dat komt vaak niet precies uit. Bij machtsfuncties is de inverse een wortel, Maar dat lukt hier niet. 1,05 𝑥 =2 → 𝑥=…

Logaritme 𝑔 𝑥 =𝑎 →𝑥= 𝑔 log⁡(𝑎) 10 3 =1000 → 10 log 1000 = 10 log⁡( 10 3 ) =3 2 𝑥 =32 → 𝑥= 2 log 32 = 2 log⁡( 2 5 ) =5

Ander grondtal (10.5) Op je rekenmachine zitten twee logaritme. log 𝑥 = 10 log⁡(𝑥) ln⁡(𝑥)= 𝑒 log⁡(𝑥) ≈ 2,72 log⁡(𝑥) Wat doe je als je een ander grondtal bij het logaritme hebt staan? 𝑔 log⁡(𝑥) = log⁡(𝑥) log⁡(𝑔)

Logaritme uitrekenen 1,05 𝑥 =2 𝑥= 1,05 log (2) 𝑥= log⁡(2) log⁡(1,05) 𝑥=14,206699…≈14,21

Inverse uitrekenen 𝑦= 4 𝑥 Voor de inverse→ 𝑥 en 𝑦 verwisselen: 𝑥= 4 𝑦 Daarna de functie weer schrijven als 𝑦= … 𝑦= 4 log⁡(𝑥)

10.3 Logaritmische functie Voorwaarden: Deze functie bestaat alleen voor 𝑥>0 Deze gaan allemaal door (1,0) De 𝑦−𝑎𝑠 is de verticale asymptoot Voor 𝑔>1→ stijgende functie en 0<𝑔<1→ dalende functie andere waarden van 𝑔?

10.4 Rekenregels logaritme 𝑔 log 𝑎 + 𝑔 log⁡(𝑏) = 𝑔 log⁡(𝑎∙𝑏) 𝑔 log 𝑎 − 𝑔 log⁡(𝑏) = 𝑔 log⁡ 𝑎 𝑏 𝑔 log⁡ 𝑎 𝑝 =𝑝∙ 𝑔 log⁡(𝑎) 𝑔 log 𝑥 = 𝑏 log⁡(𝑥) 𝑏 log⁡(𝑔)