Raaklijn aan een grafiek Grafiek van f’(x) Differentiëren Raaklijn aan een grafiek Grafiek van f’(x)
Fietsen x(m) Jos gaat een stuk fietsen op een racefiets. Na 4 seconden bereikt hij de snelheid waar hij mee wil blijven rijden. t(s) Met welke snelheid is dat?
12.1 Versnelling/snelheid x(m) Bekijk het verschil tussen constante snelheid en door versnellen (vanaf t=2). Constante lijn is de raaklijn. Wat is de formule hiervan? (van de rode lijn) t(s) Formule blauwe lijn: 𝑥(𝑡)=1,25∙ 𝑡 2 Formule rode lijn: 𝑥 𝑡 =5∙𝑡−5
Snelheid in 1 punt Snelheid in één punt in een x,t grafiek, is niet te berekenen. Voor gemiddelde snelheid heb je twee punten nodig.
Gemiddelde snelheid [interval] Formule afstand-tijd grafiek: 𝑥 𝑡 =1,25∙ 𝑡 2 Helling => 𝑦 2 − 𝑦 1 𝑥 2 − 𝑥 1 Bereken de steilheid op het interval: Interval 𝑦 1 =𝑓 𝑥 1 𝑦 2 =𝑓 𝑥 2 𝑦 2 − 𝑦 1 𝑥 2 − 𝑥 1 helling [2 ; 4] [2 ; 3] [2 ; 2,5] [2 ; 2,1] [2 ; 2,01]
Differentie quotiënt Op het interval [𝑥 , 𝑥+ℎ] geldt bij functie 𝑓(𝑥): ∆𝑦 ∆𝑥 = ∆𝑓 𝑥 ∆𝑥 = 𝑓 𝑥+ℎ −𝑓 𝑥 ℎ Hoe kleiner het interval, des te dichter je bij de helling (van de raaklijn) in 𝑥 komt. 𝑥 𝑥+ℎ ℎ 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥+ℎ) 𝑥+ℎ−𝑥=ℎ
Differentiaal quotiënt (afgeleide) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑜𝑓 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = lim ℎ→0 𝑓 𝑥+ℎ −𝑓 𝑥 ℎ Dit noemen we ook wel de afgeleide functie 𝑓 ′ 𝑥 Deze geeft in elk punt de helling van de raaklijn. lim ℎ→0 betekend dat het stukje ℎ héél erg klein is. ℎ is zo goed als nul.
12.2 Raaklijn mbv de afgeleide 𝑓 𝑥 =1,25∙ 𝑥 2 heeft als afgeleide: 𝑓 ′ 𝑥 =2,5∙𝑥 Raaklijn in 𝑥=4? 𝑓 4 =20 dus de raaklijn gaat door 4, 20 𝑓 ′ 4 =10 geeft de helling raaklijn 𝑎=10 Raaklijn: 𝑦=𝑎𝑥+𝑏 20=10∙4+𝑏 𝑏=−20 Raaklijn: 𝑦=10𝑥−20
Formule voor de afgeleide 𝑑𝑓 𝑑𝑥 ⇒ 𝑓 ′ 𝑥 = lim ℎ→0 𝑓 𝑥+ℎ −𝑓 𝑥 ℎ en 𝑓 𝑥 =1,25∙ 𝑥 2 𝑓 𝑥+ℎ −𝑓 𝑥 ℎ = 1,25 𝑥+ℎ 2 −1,25 𝑥 2 ℎ = 1,25 𝑥 2 +2𝑥ℎ+ ℎ 2 −1,25 𝑥 2 ℎ = 1,25 𝑥 2 +2,5𝑥ℎ+1,25 ℎ 2 −1,25 𝑥 2 ℎ = 2,5𝑥ℎ+1,25 ℎ 2 ℎ =2,5𝑥+1,25ℎ 𝑓 ′ 𝑥 =2,5𝑥 ℎ is zo goed als nul
Grafiek en afgeleide