De complexe Fourierreeks De overgang van Fourierreeks naar Fouriertransformatie

t n w q s z kw1 kq1 tijdcontinu tijddiscreet tijddomein bemonstering t n tijddomein F.R. reconstruktie FFT discreet frequentie-domein kw1 kq1 T→∞ N→∞ F.T. continu frequentie-domein w q x et z = ejq L.T. Z.T. complex frequentie-domein s esTs = z z 2

Exponentiële vorm van de Fourierreeks met en kan x(t) ook geschreven worden als :

Complexe Fouriercoëfficiënten We stellen : Dan is :

Complexe Fouriercoëfficiënten algemeen: Dan is: som van sinoren

Dubbelzijdig frequentiespectrum amplitude |Cm| |C-3| |C3| |C0| |C-1| |C1| |C-4| |C4| |C-2| |C2| mw1 -4w1 -3w1 -2w1 - w1 0 w1 2w1 3w1 4w1 door sinoren te gebruiken hebben we negatieve frequenties ingevoerd het spectrum van de negatieve frequenties bevat geen nieuwe informatie immers :

Dubbelzijdig frequentiespectrum jm fase j3 j1 j4 j2 -4w1 -3w1 -2w1 - w1 mw1 0 w1 2w1 3w1 4w1 j-2 j-4 j-1 j-3 hetzelfde geldt voor de faze :

Berekening van Cm als m > 0 : k = m

Berekening van Cm als m < 0 : k = -m zelfde formule !

Berekening van C0 als m = 0 : zelfde formule !

Besluit: 2 belangrijke formules

Voorbeeld: een puls x(t) x(t) = x(-t) even signaal 1 t -T -T/2 -t t t -T -T/2 -t t T/2 T 2 2 x(t) = x(-t) even signaal In dit geval zijn alle Bk = 0 → Cm = Ak / 2 en reëel !

Berekenen van Cm → → uiteindelijk:

Formule voor Cm met wordt dit Opmerkingen : 1) C0 = D vermits 2) de eerste nuldoorgang gebeurt bij

De coëfficiënten Cm voor D = 0,2 (in dit speciale geval zijn alle Cm reeel) Cm 0,2 5w1 mw1 10w1 w1 = 2p/T In het algemeen geval bekomt men een amplitudespectrum en een fasespectrum |Cm| 0,2 mw1 -10w1 -5w1 5w1 10w1 jm 180° mw1 -10w1 -5w1 5w1 10w1

Vb : D = 0,2 x(t) t -4T -3T -2T -T T 2T 3T 4T Cm mw1 vb. T = 1 ms T 2T 3T 4T Cm vb. T = 1 ms t = 200 µs Eerste nuldoorgang bij 5 kHz. 0,2 1 1 1 f1 = = 1 kHz f0 = m f1 = = = 5 kHz T DT t mw1 5w1 2p w1 = T

Wat gebeurt er als we t halveren ? → D = 0,1 x(t) 1 t -4T -3T -2T -T T 2T 3T 4T Cm vb. T = 1 ms t = 100 µs Eerste nuldoorgang bij 10 kHz. 1 1 0,1 f0 = m f1 = = = 10 kHz DT t mw1 10w1 2p w1 = T

Verschoven puls x(t) x(t) 1 t -T -T/2 -t t T/2 T 1 t0 t -T -T/2 T -t t t -T -T/2 -t t T/2 T 2 2 x(t) 1 t0 t -T -T/2 T -t t +t0 +t0 2 2 18

Berekenen van Cm → → zodat: 19

Gevolg van een tijdverschuiving Een factor e-jmw1t0 wordt toegevoegd Hieruit volgt: de modulus van Cm blijft hetzelfde (zelfde amplitudespectrum) van de fase wordt mw1t0 radialen afgetrokken of 20

We doen enkele berekeningen voor D = 0,2 We beschouwen 4 gevallen: x(t) 1 DT -T T t aT -1 We doen enkele berekeningen voor D = 0,2 We beschouwen 4 gevallen: a = -0,1 → t0 = 0 → Djm = 0 a = -0,05 → t0 = 0,05 T → Djm = -m 18° a = 0 → t0 = 0,1 T → Djm = -m 36° a = 0,1 → t0 = 0,2 T → Djm = -m 72° 21

x(t) -T T t a = -0,1 → t0 = 0 → Djm = 0 22

x(t) -T T t t0 a = -0,05 → t0 = 0,05 T → Djm = -m 18° 23

x(t) -T T t t0 a = 0 → t0 = 0,1 T → Djm = -m 36° 24

x(t) -T T t t0 a = 0,1 → t0 = 0,2 T → Djm = -m 72° 25

Wat gebeurt er als we de pulsbreedte t konstant houden, maar de periode T laten toenemen ?

D = 0,2 x(t) t -4T -3T -2T -T T 2T 3T 4T Cm mw1 vb. T = 1 ms T 2T 3T 4T Cm vb. T = 1 ms t = 200 µs Eerste nuldoorgang bij 5 kHz. 0,2 mw1 5w1 2p w1 = T

D = 0,1 x(t) t -2T -T T 2T Cm mw1 vb. T = 2 ms T 2T Cm vb. T = 2 ms t = 200 µs Eerste nuldoorgang bij 5 kHz. 0,1 mw1 10w1 2p w1 = T

D = 0,05 x(t) t -T T Cm mw1 vb. T = 4 ms Eerste nuldoorgang bij 5 kHz. T Cm vb. T = 4 ms t = 200 µs Eerste nuldoorgang bij 5 kHz. 0,05 mw1 20w1 2p w1 = T

Hieruit volgt dat als de periode T toeneemt dan worden de coëfficiënten Cm kleiner liggen de harmonischen dichter bij elkaar (w1 wordt kleiner) de frequentie f0 van de eerste nuldoorgang blijft constant ( f0 = 1 / t) de vorm van het spectrum blijft hetzelfde

Dus als de periode T toeneemt tot oneindig worden de coëfficiënten Cm gelijk aan nul liggen de harmonischen oneindig dicht bij elkaar (het spectrum wordt continu) de frequentie f0 van de eerste nuldoorgang blijft constant ( f = 1 / t) de vorm van het spectrum blijft hetzelfde

Echter als we Cm vermenigvuldigen met T worden de produkten Cm T eindig als T gelijk is aan oneindig (0 x ∞ = eindig) het spectrum blijft continu de frequentie f0 van de eerste nuldoorgang blijft constant ( f = 1 / t) de vorm van het spectrum blijft hetzelfde

Fouriertransformatie De fouriertransformatie is het continu spectrum X(w) dat we bekomen bij de limietovergang voor T gaande naar oneindig, of

Uit volgt dan Merk op: mw1 gaat over in de continue variabele w

Inverse fouriertransformatie met wordt dit Als T→∞, gaat w1 naar dw: de sommatie gaat over in een integraal:

Besluit Door de periode T naar oneindig te laten gaan, kunnen vanuit de formules van de complexe fourierreeks de formules voor de fouriertransformatie worden afgeleid