Relativiteitstheorie Speciale Relativiteitstheorie Drs. H.Jordens E: h.jordens@rug.nl

Sneller dan de schaduw …… sneller dan het licht !!

Syllabus Nina vwo concept oktober 2011 Subdomein F2. Relativiteitstheorie *) De kandidaat kan in gedachte-experimenten en toepassingen de verschijnselen tijdrek en lengtekrimp verklaren aan de hand van de begrippen lichtsnelheid, gelijktijdigheid en referentiestelsel. *) Uit de subdomeinen E3. kern- en deeltjesprocessen F2. relativiteitstheorie G1. biofysica G2. geofysica worden er twee gekozen

Observatie aan ver verwijderde stelsels: roodverschuiving Baby Galaxy in Cluster TN J1338–1942 een radiostelsel op 13,5 miljard lichtjaar van de aarde roodverschuiving Meten aan een tov ons bewegend stelsel geeft afwijkingen te zien. afstand / snelheid Fraunhoferlijnen: absorptie aan het oppervlak

S’ S’ S S’ S S S’ Transformatie van coördinaten – klassiek (Galilei) z’ y’ O’ S’ z’ y’ O’ x’ S’ y S x O O z Op geldt S’ S S S’ dan volgt:

Transformatie van snelheden - klassiek Loopband Schiphol S Stel in S’wordt een foton uitgezonden dus dan is de snelheid van dat foton in S > c

Geschiedenis Klassieke mechanica (Principia, Newton: 1687) Klassieke elektriciteit & magnetisme Maxwell-vergelijkingen (Maxwell, 1865; 20 vergelijkingen Heaviside en Gibbs, 1884; 4 vergelijkingen) De snelheid van EM-golven in vacuüm tov de ether: Michelson en Morley, 1887; snelheid aarde tov ether is nul Lorentz; alternatieve verklaringen (lokale tijd, lengtekrimp) Einstein, 1905; speciale relativiteitsleer in elk stelsel heeft de lichtsnelheid de waarde: c = 299 792 458 m/s  

S’ S’ S S’: S: z’ y’ O’ x’ y z’ y’ O’ x’ x O O foton foton z algemeen kwadraat v.d. afstand - Pythagoras

Er moet gelden: en Met de G-transformatie: Dat gaat dus fout probeer: met en De enige ‘echt’ aanpassing

Samenvattend y y’ S S’ x x’ O’ O O z z’ S’ S

inverse L-transformaties Opgave inverse L-transformaties Leid de inverse Lorentz- transformaties af (S’ → S)

Leid de inverse Lorentz-transformaties af Maar …. het kan véél eenvoudiger: vervang voor de inverse transformatie v door –v en dus β door -β

S S’ S’ S S S’ Transformatie van coördinaten - relativistisch y y’ x z z’ S’ S S S’

Grafische voorstelling: Minkowski-diagram

Stelsel S’ met snelheid tov S Minkowski-diagram transformatie-formule: S; x=0 S’; x’=0 Stelsel S’ met snelheid tov S S’; t’=0   transformatie-formule:   lijn met rico = S; t=0

Minkowski-diagram - coördinaten gebeurtenis foton

1 2 Minkowski-diagram – (on)gelijktijdigheid gelijktijdig niet-gelijktijdig

2 1 Conclusie: 1+2 geen causaal verband Minkowski-diagram – causaliteit 2 1 Conclusie: 1+2 geen causaal verband

Minkowski-diagram – causaliteit causaal niet-causaal 2 3 4 1

causaal niet-causaal niet-causaal Minkowski-diagram – causaliteit naar links gaand foton naar rechts gaand foton causaal niet-causaal niet-causaal

Tijdrek S S’ S’ het proces lijkt (in S) dus langer te duren

Opgave verre stelsels

Van een ver verwijderd sterrenstelsel wordt gemeten dat het zich met een constante snelheid van 0,97c van ons verwijdert. De leeftijd van het heelal is t1 = 13,75 · 109 jaar. a. Teken het stelsel in het Minkowski-diagram. b. Bereken op welke afstand het stelsel nu van ons verwijderd is. c. Bereken de leeftijd van het stelsel op dit moment. Er wordt een foto van het stelsel gemaakt. d. Teken in het Minkowski-diagram de weg dit de fotonen die op de foto zijn gekomen, hebben afgelegd. Het moment dat in ons stelsel de fotonen geproduceerd werden is t0. e. Bereken de leeftijd van het stelsel op het moment dat de fotonen geproduceerd werden die op de foto kwamen.

Lengtekrimp v eigenlengte S S dus: de stok lijkt (in S) korter

Lijkt een snel voorbij vliegend voorwerp korter? James Terrell; 1959 golffront waarnemer

Conclusie: de rechthoek lijkt dus niet verkort, maar gedraaid!

Muon-verval

Verval van muonen - tijdrek µ haalt het niet !!! 12 km maar ….. tijdrek stel µ haalt het dus wel !!! aardoppervlak

Verval van muonen - lengtekrimp µ haalt het niet !!! 12 km maar ….. lengtekrimp µ haalt het dus wel !!! stel aardoppervlak

Doppler-effect

Doppler-effect S’ foton S S’ S’ aankomst 1e puls aankomst 2e puls

Roodverschuiving geen roodverschuiving: z = 0 grootste gemeten roodverschuiving: z = 7 hoe groot is de snelheid?

Opgave γ-laser

γ-laser Een elektron gaat met hoge snelheid door een magnetisch veld waarvan de veldrichting telkens na een afstand L wisselt. Het magnetisch veld staat loodrecht op de voortplantingsrichting van het elektron. Tengevolge van het veld zal het elektron gaan slingeren waardoor het elektromagnetische straling uitzendt: het elektron produceert dan fotonen. Druk de onderlinge afstand L' van twee opeenvolgende magneten, gemeten in het stelsel van het elektron, uit in L.

De golflengte van het foton dat door het elektron wordt uitgezonden is in het stelsel van het elektron gelijk aan 2L'. Bereken de golflengte van het uitgezonden foton in het laboratorium-stelsel, uitgedrukt in L en β. Voordat het elektron door het magneetveld gaat is het versneld met een potentiaal van 1,5.109 Volt. Dan blijkt voor γ te gelden dat . Gegeven is dat de lengte L = 1,7 cm. Bereken de golflengte van het uitgezonden foton in het laboratorium-stelsel.

Druk de onderlinge afstand L' van twee opeenvolgende magneten, gemeten in het stelsel van het elektron, uit in L. Uit de lengtecontractie volgt: De golflengte van het foton dat door het elektron wordt uitgezonden is in het stelsel van het elektron gelijk aan 2L'. Bereken de golflengte van het uitgezonden foton in het laboratorium-stelsel, uitgedrukt in L en β. Doppler: met volgt:

Voordat het elektron door het magneetveld gaat is het versneld met een potentiaal van 1,5.109 Volt. Dan blijkt voor γ te gelden dat . Gegeven is dat de lengte L = 1,7 cm. Bereken de golflengte van het uitgezonden foton in het laboratorium-stelsel.

Appendix

Lorentz-transformatie Afleiding van de Lorentz-transformatie

klassiek geldt: probeer:

er geldt: als dan is: voor de oorsprong O geldt: in S: in S’:

Afleiding van de relativistische Wet van Newton

Kracht

Afleiding van de Kinetische energie

Kinetische energie klassieke limiet (β<<1)

Afleiding van

of

Transformaties voor energie en impuls

Transformatie van energie en impuls NB. Het teken van β en p wordt bepaald door hun richting: positief naar rechts; negatief naar links