De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

1 De tijd van Hilbert Bert Seghers Vakgroep Wiskunde Universiteit Gent Gastlezing LAAM II 16 mei 2013.

Verwante presentaties


Presentatie over: "1 De tijd van Hilbert Bert Seghers Vakgroep Wiskunde Universiteit Gent Gastlezing LAAM II 16 mei 2013."— Transcript van de presentatie:

1 1 De tijd van Hilbert Bert Seghers Vakgroep Wiskunde Universiteit Gent Gastlezing LAAM II 16 mei 2013

2 2 De tijd van Hilbert David Hilbert De grond- slagencrisis Wiskunde aan het begin van de twintigste eeuw

3 3 Achtergrond Europa, 2de golf IR Snelle ontwikkeling wiskunde Gauss, Weierstrass Niet-Euclidische meetkunden ‧ Bolyai ‧ Lobachevsky

4 4 Hilberts jeugd in Königsberg °1862, vader rechter Wiskundige traditie Königsberg Hilbert geen wonderkind

5 5 Cantors verzamelingenleer (1873) Originele behandeling oneindig Verschillende oneindigheden Reëlen overaftelbaar Controverse (transcendenten) Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen hat, soll uns niemand vertreiben können (Hilbert, 1925)

6 6 Hilbert op rondreis Naar Leipzig: Felix Klein Legendarisch wiskundige

7 7 Hilbert op rondreis Naar Leipzig: Felix Klein Legendarisch wiskundige Naar Parijs: Henri Poincaré Jordan, Poincaré, Hermite

8 8 Hilbert op rondreis Naar Leipzig: Felix Klein Legendarisch wiskundige Naar Parijs: Henri Poincaré Jordan, Poincaré, Hermite Naar Berlijn: Leopold Kronecker

9 9 Probleem van Gordan (1888) Eindige basis invarianten? Hilberts basisstelling Verrassing, tegenstand Existentie volgens Hilbert en Kronecker Volgende jaren aanvaard Das ist nicht Mathematik. Das ist Theologie. (Gordan, 1888)

10 10 Hilbert naar Göttingen (jaren ‘90) Klein haalt Hilbert naar Göttingen Open deur, conversatie MS gaf opdracht getaltheorie 1897: Zahlbericht

11 11

12 12 Axiomatisatie van de meetkunde (1899) 1891: Halle Grundlagen der Geometrie ‧ 21 axioma’s ‧ Eenvoud ‧ Compleetheid ‧ Onafhankelijkheid ‧ Consistentie Invloedrijk werk

13 13 De 23 problemen van Hilbert (1900) 1900, Parijs, 2 de ICM Legendarische speech Belangrijke problemen Nieuwe takken wiskunde In der Mathematik gibt es kein ignorabimus (Hilbert, 1900)

14 14 Enkele problemen van Hilbert (1900) 1.Continuümhypothese 2.Consistentie van de rekenkunde 6.Axiomatisatie van de fysica 8.Riemannhypothese en Vermoeden van Goldbach 10.Diophantische vergelijkingen 18.Vermoeden van Kepler 24.Bewijstheorie (ontdekt 2000)

15 15 Hilbert bekendste wiskundige Speech trekt aandacht en verbeelding van alle wiskundigen Honderden studenten Blijft langdurig open problemen oplossen Je hebt de gehele wiskunde van de twintigste eeuw aan je verpacht! (Minkowski, 1900)

16 16 Paradox van Russell (1903) Rampzalig ‧ Verzamelingenleer  ┴  Ω ‧ Verzamelingtheoretici haken af Hilbert: bewijstheorie Zermelo ‧ Interesse in fundamenten ‧ Zelf paradox ontdekt ‧ Wohlordnungssatz Zij R de verzameling van alle verzamelingen die geen element zijn van zichzelf. R is element van R als en slechts als dat niet zo is. (vrij naar Russell, 1903)

17 17 Wohlordnungssatz (1904) Zermelo: Elke verzameling heeft een welordening Contra-intuïtief Massale kritiek Volgende stap: …

18 18 Axiomatisatie van de verzamelingenleer (1908) 1.AXIOMA VAN EXTENSIONALITEIT (AXIOM DER BESTIMMTHEIT). Als elk element van een verzameling M ook een element is van N en omgekeerd, dan is M = N. 2.AXIOMA VAN ELEMENTAIRE VERZAMELINGEN (AXIOM DER ELEMENTARMENGEN). Er bestaat een verzameling, de ledige, ∅, die geen elementen bevat. Voor elk object a van het domein bestaat er een verzameling {a} die alleen a als element bevat. Als a en b twee objecten zijn uit het domein, bestaat er altijd een verzameling {a, b} die beide objecten a en b bevat en geen enkel ander verschillend van die twee. 3.AXIOMA VAN SEPARATIE (AXIOM DER AUSSONDERUNG). Wanneer de propositionele functie p(x) gedefinieerd is voor alle elementen van een verzameling M, dan bevat M een deelverzameling die juist alle elementen x uit M bevat waarvoor p(x) waar is. 4.AXIOMA VAN DE MACHTVERZAMELING (AXIOM DER POTENZMENGE). Met elke verzameling T correspondeert een verzameling, genaamd de machtverzameling, die als elementen precies alle deelverzamelingen van T bevat. 5.AXIOMA VAN DE UNIE (AXIOM DER VEREINIGUNG). Met elke verzameling T correspondeert een verzameling UT, de unie van T, die als elementen precies alle elementen van elementen van T bevat. 6.KEUZEAXIOMA (AXIOM DER AUSWAHL). Als T een verzameling is wiens elementen verzamelingen zijn verschillend van ∅ en onderling disjunct, bevat de unie UT ten minste een deelverzameling die een en slechts een element gemeen heeft met elk element van T. 7.AXIOMA VAN ONEINDIGHEID (AXIOM DES UNENDLICHEN). Er bestaat ten minste een verzameling in het domein die de ledige verzameling als element bevat, en zo is opgebouwd dat voor elk van zijn elementen a, ook het corresponderende element van de vorm {a} erin bevat is.

19 19

20 20 Ontwikkelingen in de fysica Ontdekkingen vragen modellen ‧ 1887: Lichtsnelheid constant ‧ 1888, 1896: Elektromagnetische straling ‧ 1900: Kwantumhypothese ‧ 1904: Modellen aanloop relativiteitsprincipe ‧ 1905: Einstein ‧ 1897, 1911, 1913: Atoommodellen Hilbert vanaf 1905 Fysica is veel te moeilijk voor fysici. (Hilbert)

21 21 Einstein en Algemene Relativiteit (1915) Gravitatieveldvergelijkingen: Hilbert-Einsteinvergelijkingen Spiekbrief Impact op Hilbert ‧ Cursus algemene relativiteitstheorie ‧ 3-dimensionale Euclidische ruimte verliest haar bevoorrechte rol Iedere jongen in de straten van Göttingen weet meer van vierdimensionale meetkunde dan Einstein. Desondanks deed hij het werk, en niet de wiskundigen. (Hilbert)

22 22 Intuïtionisme (1918) Brouwer met 3 artikelen Wiskunde baseren op intuïtie Verwerpt tertium non datur voor oneindige verzamelingen Hilbert: «Gevaar voor wiskunde» Alternatief: bewijstheorie De wiskundige tertium non datur ontnemen is hetzelfde als... de bokser het gebruik van zijn vuisten ontnemen. (Hilbert, 1928)

23 23 Hilberts programma (jaren ’20) Wiskunde: inhoudsvolle begrippen en logische bewijzen Dit kan allemaal geformaliseerd worden Studieobject: sequenties van symbolen, syntactische manipulaties volgens logicaloze regeltjes Voordeel: formules eindig, finitistische methoden Hilberts programma (formalisme) ‧ Wiskunde formaliseren ‧ Metatheorie ontwikkelen ‧ Metamathematisch constistentiebewijs

24 24 Hilberts programma: caveat! Kritiek: betekenisloos woordenspel Maar slechts oplossing NIET ware toedracht van wiskunde Formalisme ≠ overtuiging Hilbert ≠ formalisme

25 25 Gödel (1930) « Wir müssen wissen wir werden wissen » Op dat moment… Wir müssen wissen, wir werden wissen. (Hilbert, 1930)

26 26 Gödel (1930) Doctoraatsthesis Kurt Gödel ‧ Volledigheid van de predikaatcalculus ‧ Onvolledigheid van de rekenkunde ‧ Consistentiebewijs onmogelijk Wir müssen wissen, wir werden wissen. (Hilbert, 1930)

27 27 Einde ( ) Göttingen overleeft Hitler niet « Wiskunde in Göttingen? Er is er echt geen meer! » Scherp onderzoek logica † 1943 Er zijn slechts twee soorten wiskundigen: zij die problemen van erkende waarde aanpakken en oplossen, en zij die dat niet doen. (Hilbert, 1919)

28 28

29 29

30 30


Download ppt "1 De tijd van Hilbert Bert Seghers Vakgroep Wiskunde Universiteit Gent Gastlezing LAAM II 16 mei 2013."

Verwante presentaties


Ads door Google