Download de presentatie
De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub
GepubliceerdPieter Sanders Laatst gewijzigd meer dan 9 jaar geleden
1
1 Datastructuren Quicksort College 3
2
2 Vorige keren O-notaties Sorteren: insertion sort, bubble sort Kosten (n 2 ) tijd in het slechtste geval Sorteren: merge sort Kosten (n lg n) tijd in het slechtste geval Zoeken: binary search Zoeken in een geordende array: (lg n) tijd Quicksort: begin
3
3 Vandaag O-notatie: en Quicksort: eind Heapsort
4
4 Sorteeralgoritmen overzicht (n 2 ): bubble sort, insertion sort (n lg n): merge sort, heapsort (komt nog) Geen extra geheugen: bubble sort, insertion sort, heapsort Wel extra geheugen: merge sort
5
5 1 Orde notaties
6
6 O-notatie en zo O-notatie (herhaling): O(g(n)) = { f(n) | er zijn positieve constanten c en r, zodat 0 f(n) c * g(n) voor alle n r} O(g(n)) is dus een verzameling functies. In plaats van de schrijven f(n) O(g(n)) schrijft men echter f(n)=O(g(n)) Allemaal waar: 3n 2 = O(n 2 ) (7 n lg n 3 ) = O(n lg n) (2n 3 +4n 2 +3n + 5) = O(n 3 ) Maar ook zijn waar: n lg n = O(n 2 ) n 3 = O(n 4 ) Want “O” geeft een bovengrens
7
7 Bewijzen dat algoritme O-grens haalt Te bewijzen: algoritme gebruikt O(f(n)) tijd. Zo doe je dat: Toon aan dat voor alle inputs, de tijd niet meer is dan een constante maal f(n), n de inputgrootte Verschillende methoden: Inspectie van loop-structuur Analyse van “recursieboom” Andere technieken komen nog
8
8 Voorbeeld z = 0; for i = 1 to n do for j = 1 to n * n do k = 1 while k < n * n do –z = z + i * j * k –k = k*2 z ++; z = z + 3; return z
9
9 -notatie (Omega) -notatie: (g(n)) = { f(n) | er zijn positieve constanten c en r, zodat f(n) c * g(n) voor alle n r} (g(n)) is dus weer een verzameling functies. In plaats van de schrijven f(n) (g(n)) schrijft men echter f(n)= (g(n)) Deze notatie geeft ondergrenzen, terwijl de O- notatie bovengrenzen gaf Vb.: het bubblesort-algoritme gebruikt in het slechtste geval n 2 ) tijd Vb.: het mergesort-algoritme gebruikt in het slechtste geval (n lg n) tijd
10
10 Voorbeelden Allemaal waar: 3n 2 = (n 2 ) (7 n lg n 3 ) = (n lg n) (2n 3 +4n 2 +3n + 5) = (n 3 ) Maar ook zijn waar: n lg n = (n) n 3 = (n 2 ) Want “” geeft een ondergrens
11
11 -notatie (Theta) -notatie combineert O-notatie en -notatie f(n) = (g(n)), dan en slechts dan als f(n) = O(g(n)) en f(n) = (g(n)) Dus: 3n 2 = (n 2 ) Maar niet: 3n 2 = (n 3 ) en niet: 3n 3 = (n 2 )
12
12 Van snel naar langzaam (1), (lg lg n) (lg n), (lg 2 n), (n), (n), (n lg n), (n lg 2 n), (n n), (n 2 ), (n 2 lg n), (n 3 ), (n 4 ), (2 n ), (3 n ), (n!), (busybeaver(n)) ( bijvoorbeeld: maximum aantal stappen dat een terminerend programma met n symbolen opgeschreven kan doen ) Snel algoritme langzaam stijgende functie (en omgekeerd)
13
13 Herhaling + Vandaag Quicksort Snel sorteer algoritme Gebruikt gemiddeld weinig tijd: (n lg n) met in de praktijk een kleine constante Maakt gebruik van belangrijke subroutine: Partition Quicksort is langzaam in het slechtste geval, maar snel op random inputs Randomized-Quicksort om slechte gevallen ‘meestal’ te vermijden Wiskundige analyse van gemiddelde tijd Randomized-Quicksort
14
14 Quicksort Verdeel en heers paradigma Idee is: Kies een element uit de array, zeg x Splits de array in drie stukken: Alles in 1 e stuk is x 2 e stuk is het element x Alles in 3 e stuk is x (of >) Sorteer recursief het eerste stuk Sorteer recursief het derde stuk Klaar!
15
15 Opmerking (herhaling) In onze beschrijving gingen we er van uit dat alle elementen verschillend zijn Als er gelijke elementen zijn, werkt het ook, maar moet je iets beter opletten in de analyse (zelfde code kan gebruikt worden) Datastructuren
16
16 Partition Vorige keer: Partition (A,p,r) verdeelde stuk van array (vanaf p t/m r) in 3 stukken: Alles kleiner dan (of evt gelijk aan) x x (stukje van lengte 1) Returnwaarde: positie van x na afloop Alles groter dan x x was het laatste element (A[r]) uit ‘t stuk voordat partition werdt uitgevoerd: pivot of spil-element
17
17 Randomized-Partition Randomized-Partition(A,p,r) Kies uniform een random getal i uit de verzameling {p, p+1, …, r} Verwissel A[r] en A[i] Partition(A,p,r) Elk element in A heeft dezelfde kans om als pivot-element gebruikt te worden
18
18 Allemaal Allemaal q r r p p
19
19 Quicksort Quicksort(A, p, r) {Sorteert het deel van de array A[p…r]} if p < r then q = Partition(A, p, r) Quicksort(A, p, q-1) Quicksort(A, q+1, r)
20
20 Randomized-Quicksort pseudocode Randomized-Quicksort(A, p, r) {Sorteert het deel van de array A[p…r]} if p < r then q = Randomized-Partition(A,p,r) Randomized-Quicksort(A, p, q-1) Randomized-Quicksort(A, q+1, r)
21
21 Hoeveel tijd kost Quicksort? In het slechtste geval gaat het erg langzaam… Bekijk een gesorteerde rij: We splitsen in stukken van grootte n – 1; 1; 0 En de volgende keer in stukken van grootte n-2; 1; 0 Etc. Dus: cn+ c(n-1)+ c(n-2)+ c(n-3) + … +3c+2c+c = c n(n+1)/2 stappen Op een gesorteerde rij: (n 2 ) stappen
22
22 Analyse met recurrente betrekkingen Schrijf: T(n) is aantal stappen van Quicksort op gesorteerd array met n elementen T(n) = T(n-1)+T(0) + (n) = T(n-1)+ (n) = (n 2 ) Andere constantes Met inductie naar n
23
23 Quicksort voor aartsoptimisten Als we echt geluk hebben, splitst Quicksort altijd precies middendoor en gaan we in recursie op twee stukken van hooguit n/2 elementen Zelfde analyse dan als bij Mergesort geeft (n lg n) tijd
24
24 log n niveau’s
25
25 Beste geval analyse van Quicksort met recurrente betrekkingen Stel T(n) is het beste geval van de looptijd van Quicksort op een array met n elementen T(n) 2*T(n /2) + (n) (*) T(n) = O(n lg n) Volgt uit (*) met inductie Zo kan je ook Mergesort analyseren
26
26 Quicksort voor optimisten (niet noodzakelijk aartsoptimisten) Stel nu dat we altijd verdelingen hebben die de array splitsen in twee stukken die verhouding 9 – 1 hebben T(n) = T(9n / 10)+ T(n / 10) + (n) Recursieboom heeft log 10/9 n = (lg n) lagen Per laag (n) dus in zo’n geval eveneens (n lg n) Maar … hoe vaak gebeurt dat?
27
27 Hoe vaak doen we een goede splitsing? In 80% van de gevallen splitsen we 9-1 of beter… Ingewikkelde analyse geeft (n lg n) tijd gemiddeld over alle mogelijke permutaties van input als alle getallen verschillend zijn (doen we niet)
28
28 Analyse Randomized Quicksort Verschillende manieren om de verwachtte tijd uit te rekenen Netjes: stel recurrente betrekking op, en los die op (zie o.a. sheets) Vandaag: telargument waarbij we kijken naar “hoe vaak doet een element mee in een partition”?
29
29 Tijd is O(som partition-lengtes) Kijk naar recursieboom Totale tijd is O(som van alle lengtes van alle deelstukken waar we een partitie op doen) = O(som over alle elementen van aantal keren dat het element in een partitie mee doet)
30
30 Verwachtte tijd Totale verwachtte tijd is O(verwachte som van alle lengtes van alle deelstukken waar we een partitie op doen) = O(som over alle elementen van verwachtte aantal keren dat het element in een partitie mee doet) = n* O(verwachtte aantal keren dat een element in een partitie meedoet)
31
31 Afschatten van verwachtte aantal keren dat een element in een partitie meedoet Is O(log n) Hoe laten we dit zien? Kijk element x, en kijk naar het formaat van het stuk waar x in zit. Begint met formaat n Iedere keer een beetje kleiner Als formaat 1 is zijn we klaar Hoe vaak is het verwachtte aantal keren dat het kleiner wordt? We laten zien: O(log n)
32
32 Kans is ½ dat stuk hooguit ¾ van oude lengte heeft Als we een stuk hebben met r elementen zijn er r/2 keuzes voor de pivot die zorgen dat de volgende keer het grootste stuk hooguit ¾ * r lang is
33
33 Tellerij klaar Hoe vaak kan je n met ¾ vermenigvuldigen totdat je onder de 1 bent? log 4/3 n keer = O(log n) Wat is het verwachtte aantal keren dat je een experiment met kans ½ moet doen totdat je s keer succes hebt? 2s Dus verwachtte aantal keren dat element in partitie meedoet is hooguit 2 log 4/3 n = O(log n) keer Dus: verwachtte tijd Quicksort O(n log n) Andere analyse (wel in sheets, niet vandaag): 2n ln n
34
34 Analyse Randomized-Partition Slechtste geval: weer (n 2 ) T(n) = max 0 q n-1 T(q)+T(n-q-1)+(n) Verwachtte tijd: analyse doen we hier aannemend dat alle elementen verschillend zijn (anders klopt ‘t ook, overigens) We doen de analyse hier met behulp van de sommatiefactormethode Eerst: vergelijking looptijd en aantal vergelijkingen Deze sheet slaan we over
35
35 Looptijd vs aantal vergelijkingen Stel Quicksort doet X vergelijkingen. Dan gebruikt het O(n+X) tijd Partition doet altijd minstens 1 vergelijking Want we roepen Partition alleen aan op stukken met minstens 2 elementen Partition doet O(aantal vergelijkingen in partition) werk … We gaan nu het verwachtte aantal vergelijkingen tellen dat Quicksort doet op een array met n verschillende elementen. Noem dit getal C(n) Deze sheet slaan we over
36
36 Technisch detail We volgen de analyse uit Concrete Mathematics. Die gebruikt twee vergelijkingen per recursieve aanroep extra. Deze waardes noemen we D(n). D(0)=C(0)=0; als n>0 dan is D(n)>C(n) Als we dus voor D(n) een bovengrens hebben, geeft dat ook een bovengrens voor C(n) Uiteindelijke waarde is dus iets beter (scheelt niet veel) Deze sheet slaan we over
37
37 Aantal vergelijkingen (Randomized)- Partition Partition(A,p,r) pivot = A[r]; i = p – 1; for j = p to r – 1 do {*} if A[j] pivot then i ++; Verwissel A[i] en A[j] Verwissel A[i+1] en A[r]; return i+1; n-1 vergelijkingen op een array met n elementen Concrete Mathematics neemt hier n+1 vergelijkingen Deze sheet slaan we over
38
38 Analyse D(n) (1) D(0) = 0 D(1) = 2 D(n) = n+1 + ???? Elk van de splitsingen heeft dezelfde kans: 0,1,n-1 1,1,n-2 2,1,n-3 … n-2, 1, 1 n-1, 1, 0 Deze sheet slaan we over
39
39 Analyse D(n) (2) D(0)= 0 D(1)= 2 D(n) = n+1 + 1/n* k=0 n-1 D(k) + 1/n* k=0 n-1 D(n-k- 1) Elk van de splitsingen heeft dezelfde kans: 0,1,n-1 1,1,n-2 2,1,n-3 … n-2, 1, 1 n-1, 1, 0 Of: D(n) = n+1 + (2/n)* k=0 n-1 D(k) voor n>0 Deze sheet slaan we over
40
40 - Deze hadden we Maal n nemen Zelfde vergl. voor n-1 Vergelijkingen aftrekken Na vereenvoudigen Deze sheet slaan we over
41
41 Stelsel vergelijkingen D(0)=0 nD(n) = (n+1)D(n-1)+ 2n Dit stelsel kunnen we met sommatiefactormethode oplossen Idee is: vermenigvuldig formule met sommatiefactor s n waarbij s n = (a n-1 a n-2 …a 1 )/(b n b n-1 …b 2 ) als a n D(n)=b n D(n-1)+c n Want dan is s n b n =s n-1 a n-1 En dan krijg je voor E(n)=s n a n D(n) de formule E(n)=E(n-1)+s n c n Wat een somformule voor E en daarna voor D geeft… Deze sheet slaan we over
42
42 D(0)=0 nD(n) = (n+1)D(n-1)+ 2n a n = n b n = n+1 c n = 2n : dit hadden we Definitie toepassen: Alles maal s n : Def.: (*) en (**) geven: (*) (**) Deze sheet slaan we over
43
43 dus We hadden dus Want E(0)=0 Deze sheet slaan we over
44
44 Aantal vergelijkingen randomized quicksort Randomized-Quicksort doet verwacht ongeveer 2(n+1)ln n vergelijkingen Deze sheet slaan we over
45
45 Resultaat en discussie Het verwachtte aantal vergelijkingen van Randomized-Quicksort is minder dan 2(n+1)ln n Verwachtte looptijd is (n lg n) De in de O / verstopte constante is erg klein, dus heel snel in de praktijk Sommige hele snelle sorteermethoden switchen naar een ander algoritme wanneer n klein is (bijvoorbeeld onder de 30)
46
46 Recap Quicksort Snel sorteer algoritme Gebruikt gemiddeld weinig tijd: (n lg n) met in de praktijk een kleine constante Maakt gebruik van belangrijke subroutine: Partition Quicksort is langzaam in het slechtste geval, maar snel op random inputs Randomized-Quicksort om slechte gevallen ‘meestal’ te vermijden Wiskundige analyse van gemiddelde tijd Randomized-Quicksort
47
47 Sorteeralgoritmen overzicht Slechtste en gemiddeld geval (n 2 ): bubble sort, insertion sort Slechtste en gemiddeld geval (n lg n): merge sort, heapsort (zometeen) Slechtste geval (n 2 ) en gemiddeld geval (n lg n): quicksort Voordeel van Quicksort vooral in de “” verstopt Geen extra geheugen: bubble sort, insertion sort, heapsort, quicksort Wel extra geheugen: merge sort
Verwante presentaties
© 2024 SlidePlayer.nl Inc.
All rights reserved.