Trillingen en golven DEMO: massa’s aan veer Introductie.

Presentatie over: "Trillingen en golven DEMO: massa’s aan veer Introductie."— Transcript van de presentatie:

1 Trillingen en golven DEMO: massa’s aan veer Introductie

2 Trillingen, Golven en Optica (TGO)
TGO in dagelijks leven: geluid, licht en mechanische trillingen. TGO in de natuurkunde: belangrijke basiskennis om verschijnselen uit de Quantum Mechanica en Electromagnetisme te beschrijven en te begrijpen. Wat gaan we tegenkomen? Simpele slingers en golven (lopend en staand) Selectie van frequentiecomponenten (Fourier) Typische “trillingen en golven fenomenen”: interferentie, zwevingen, resonantie, dispersie en diffractie                   Prof. dr. Ben van Linden van den Heuvell WZI Dr Tom Hijmans WZI Dr. Marcel Vreeswijk Nikhef A B C

3 Werkcollege-assistenten
B Msc. Rens Limpens PhD student (WZI) Msc. Hartger Weits PhD student Nikhef Msc. Erwin Visser PhD student (Nikhef) C B A Elinore de Jong PhD student WZI Joost de Wit (student) Sebastiaan van Eyk (student)

4 Opbouw StudioClassroom=mix Hoorcollege+Werkcollege (2x4uur/week).
Sessies duren ongeveer 3uur + 1 uur vrijblijvend ‘na-werken’. Tutoraat/Praktikum (1x/week)  verplicht (Praktikum telt 20% mee van het Totaal), minstens een 5.50 anders geen voldoende voor Totaal. Praktikum-Verslag (PV1) moet ook minstens een 5.50 Electronische inleveropgaven, mastering physics (1x/week)  telt mee voor 20%Theorie 1 papieren huiswerkopgave, telt mee voor 10% van Theorie Tentamen (1x :)  telt mee voor 70% van Theorie, Tentamen minstens een 5.00 anders sowieso geen voldoende. Theorie minstens een 5.50 anders geen voldoende voor Totaal. Indien cijfer Tentamen hoger dan combinatie met huiswerk, telt Tentamencijfer voor de hele Theorie. Digitale opgaves: meld je aan met Giancoli-Mastering Physics op cursus: ID=TGOVREESWIJK2013 , titel=TGO_2013 Deze slides zijn bepalend voor de inhoud van het tentamen en regelgeving. Eventuele updates worden op BB aangekondigden en ter college of per .

5 Tentamenstof Syllabus: Trillingen en Golven, op BB
De syllabus (tentamennivo) gaat af en toe dieper dan Giancoli. Boek: Giancoli (basis), Physics for scientists and engineers. H1-H11: Klassieke mechanica (basiskennis, wordt verder niet behandeld) H14: Oscillations H15: Wave Motion H16: Sound H26: DC circuits (basiskennis; wordt verder niet behandeld) H30: AC circuits, 30-4 t/m 30-9 (basiskennis; wordt deels behandeld) H32: Light H33: Lenses and Optical Instruments H34: Interference H35: Diffraction and Polarization De stof behandeld in deze slides en met name alle afleidingen, BB. Tip: De slides houden de volgorde aan die optimaal samenvalt met de praktikumonderwerpen. Per sessie is vermeld welk deel van de syllabus (en eventueel Giancoli) besproken wordt. Lees dit vooraf door. Zie ook de studiewijzer op BB.

6 Praktika Week 2&3: LCR Week 4: Geluid I
Week 5,6,7 minstens twee van de vier keuzes: Geluid II, Diffractiepatronen, Michelson, Polarisatie. Documentatie op BB Praktikum coordinator Paul Vlaanderen Er wordt verwacht dat je voorbereid op het praktikum komt. Personen zonder basale kennis over de stof worden gevraagd het praktikum te verlaten (=volgend jaar inhalen). Sommige praktika beginnen met een ingangstoets. (inter-) Actief meedoen met de hoorcolleges bereiden je voldoende voor.

7 Week-overzicht (planning onder voorbehoud)
Week 1 (geen praktika) Sessie 1: Blok1 t/m Blok 3: Harmonische trillingen. Fysische Slinger. Complexe getallen. Sessie 2: LC kring, LCR kring (gedempte trilling) Week 2 (praktikum LCR) Sessie 3: LCR kring, gedwongen (gedempte) trilling, resonantie. Sessie 4: Mechanisch gedwongen (gedempte) trilling, Resonanties, Inslingeren Week 3 (praktikum LCR) Sessie 5 Gekoppelde Trillingen (b9), Sessie 6 Golven (b10), Superpositie, Reflectie (b11), Staande Golven (b12). Week 4 (praktikum Geluid I + huiswerkopgave) Sessie 7 Snelheid (b13), Dispersie (b14) , Fourier (b15), Breking, Reflectie met Transmissie (b16), Sessie 8 Intermezzo: Inleiding Optica tbv Praktika (Week 5,6,7 minstens 2 uit: praktikum Geluid II, Diffractie, Polarisatie, Michelson, Fourier Synthese) Week 5 Sessie 9. Zwevingen (b17, b18), groepssnelheid, Fourier Analyse (b20), Sessie 10 Doppler effect (b21) Week 6 Sessie 11 Optica Sessie 12 Optica Week 7 Sessie 13 Optica Sessie 14 Optica Week 8: Tentamen

8 Blok I: Trillingen Simpele Harmonische Oscillator (met uitbreidingen)
Uit Giancoli H14.1; Syllabus H1, H3.2.1 Simpele Harmonische Oscillator (met uitbreidingen) NB: De colleges zijn interactief. D.w.z. dat jullie ons mogen (graag zelfs) onderbreken voor vragen. Andersom zullen wij (discussie)vragen stellen en ook samen met jullie enkele voorbeelden uitwerken.

9 Trillingen Wij beginnen met een simpele harmonische oscillator (SHO).

10 Simpele Harmonische Oscillator
Veerconstante k (ideale veer=lineair) EXPERIMENT: (Lineair  SHO) Newtown F=ma Differentiaalvergelijking (ESSENTIEEL!) De Amplitude A en de fase f hangen van de begincondities af. w0 en dus ook f niet! met Met natuurlijke frequentie Merk op: belang diff vgl. Belang Lineraiteit. Unverseel: E=A^2 Energie ~ Amplitude2 Animations: Dr. Dan Russell, Kettering University Algemene animaties:

11 Discussievraag

12 Simpele Harmonische Oscillator in goede benadering
Newton: De (resulterende) kracht versnelt massa hou de uitwijking klein (Taylor): SHO: lineaire relatie kracht en uitwijking Voor kleine ampitudes: de kracht heeft alleen een x component. met De amplitude A en de fase f hangen van de begincondities af. w0 hangt niet van de massa af (ook niet van beginconditie: ligt vast door fysica) Wat als we nu eens geen kleine uitwijking nemen? Taylor-ontwikkel de sin(x) maar eens. De eerste term is lineair=SHO. De hogere ordes zijn niet linear, dus geen SHO meer. Nog een speciaal effect: Foucaults pendulum spankracht Anders dan bij de veer hangt F van massa af en daardoor f NIET. Er is een heel mooi benaderd antwoord op de laatste vraag: sin(th) = th - th^3 /6 = th( 1 - th^2 /6) Die th^2 wordt normaal nul genomen. Maar je kan natuurlijk een betere gok doen. Bijvoorbeeld de helft van de maximale th. Deom bestaat (Ben heeft die), maar ik weet niet waar? sin(th) = th (1-thmax^2 /12). Nu zit je weer op het oude pad. Maar in het resultaat heb een een omega die een functie is van thmax. Mooi he? resulterende kracht zwaartekracht

13 Opgaves Werkboek 3.1, 3.2, 3.3, 3.5 Nog niet Giancoli 14.11

14 Blok 2 Fysische slinger en traagheidsmoment.
Uit Giancoli H14; Syllabus H3.2 (nog niet LC) en 3.3 (ook Taylorreeks in H2.1) Trillingen en golven DEMO: massa’s aan veer Blok 2 Fysische slinger en traagheidsmoment.

15 Een fysische slinger Torsiekracht in CG CG
Een ijzeren staaf met flens Torsiekracht in CG CG I , het traagheids(Inertia)-moment komt uit de klassieke mechanica, Giancoli 10-5  intermezzo CG=Centre of Gravity Hoe bepaal je dat punt experimenteel?

16 Intermezzo: Traagheidsmoment (G10.5)
Laat een cilinder (straal R, lengte L) van hellend vlak rollen. Geldt (afgezien van de wrijvingverliezen) de volgende relatie? m v h Nee, want er zit ook energie in het ronddraaien van de cilinder. Hoe dan wel? Bekijk versnelling van een stukje cilinder dm cilinder =I Let op: omega is afgeleide theta bij cilinder. Niet bij slinger. Invullen en oplossen

17 Een fysische slinger Torsiekracht in CG Kleine uitwijking: met CG
Een ijzeren staaf met flens met Kleine uitwijking: ‘Uitwijking’ evenredig met ‘kracht’ = zelfde structuur als SHO=SHO Experimentele truuk: voorwerp met onbekende I? Bepaal massa, CG en laat maar slingeren. CG CG=Centre of Gravity Hoe bepaal je dat punt experimenteel?

18 Discussievraag

19 Opgaves H14 Werkboek 3.7

20 Blok 3 Complexe getallen: Euler notatie Phasoren
Syllabus H1.4, (ook Complexe getallen in H2 met name H2.2) Trillingen en golven DEMO: massa’s aan veer Blok 3 Complexe getallen: Euler notatie Phasoren

21 Harmonische oscillatie is projectie van cirkels draaien
Als een deeltje in een cirkel draait en we kijken naar de projectie op de x-as, dan zien we precies het gedrag van SHO. Voor ons: zie tafel als complexe vlak. Dan wordt de oplossing complex: of De beweging van de trilling is het reële deel. In (bijna) gewoon Nederlands: een 1-dimensionale trilling kun je beschrijven met een cirkelbeweging in het complexe vlak.

22 Complexe getallen Zie calculus Phasor Imaginaire as Reele as
Complex maakt rekenwerk Makkelijk (met name bij signalen met faseverschillen) Grafische weergave dmv ‘Phasor-diagram’. Lijkt op vector-rekening, maar is anders. Bijv. Vermenigvuldigen en Delen zijn gedefinieerd Phasor (Euler notatie; gewone rekenregels voor e). Imaginaire as (complex geconjugeerde) Norm quadraat Omdraaien diff/integ. Mag als variable reeel: Reele as Leidt uit bovenstaande af: Vaak voorkomende truuk: Dus eerst complex uitwerken, daarna reële (Re) deel nemen: Nooit meer gonio onthouden, bijv.: Alvast een teaser voor het volgende college: gonio afleiden

23 Opgaves (Wiskundige) Opgaves 2.1 t/m 2.6

24 Opgaven

25 Wat heb ik tot nu toe geleerd?
Ik kan de differentiaalvergelijking opstellen en oplossen voor een SHO. Ik begrijp het verschil tussen een SHO (uitwijking en kracht hebben een lineaire relatie) en een fysische slinger. Ik ken de complexe notatie en kan goniometrische relaties afleiden.

26 Uit Giancoli 30.5-30-9; Syllabus H3.2 de LC kring
TGO Sweep generator on LCR Blok 4 LC circuit

27 Complexe getallen op herhaling
Replay Complex maakt rekenwerk Makkelijk (met name bij signalen met faseverschillen) Grafische weergave dmv ‘Phasor-diagram’. Lijkt op vector-rekening, maar is anders. Bijv. Vermeningvuldigen en Delen zijn gedefinieerd Phasor (Euler notatie; gewone rekenregels voor e). Imaginaire as (complex geconjugeerde) Norm quadraat Omdraaien diff/integ. Mag als variable reeel: Reele as Leidt uit bovenstaande af: Alvast een teaser voor het volgende college: gonio afleiden Dus eerst complex uitwerken, daarna Reele deel nemen Vaak voorkomende truuk: Nooit meer gonio onthouden, bijv.:

28 Electrische trillingen

29 Electrisch circuit: de componenten
+ De bron is een drijvende kracht: Vbron Weerstand met spanningsval (in richting van stroom): R C + Condensator, houdt lading vast met spanningsval: Spoel werkt opbouw van stroom tegen met inductiespanning en spanningsval in richting van stroom: L Op het bord: Ga terug naar de reele delen. Geloof je de Ansatz niet  doe het praktikum! Algemeen, in een serieschakeling:

30 We beginnen ‘simpel’: LC circuit
Wat we tot nu toe geleerd hebben kunnen we ook toepassen op een elektrisch circuit. Zonder bewijs: de spanning over een elektrische component is equivalent aan een spanning (kracht) op een object.  de lading is de ‘uitwijking’. Condensator (C): V=q(t)/C Spoel (L): V=LdI/dt Vanaf nu kun je van ieder lineair circuit de DV opstellen! Stelling: alles wat beschreven wordt door de DV van een SHO is een SHO! LC circuit: gebruik dat I(t)=dq/dt : (herken je de structuur?! wat is m en k?) De spoel levert de kracht, de lading op de condensator is de uitwijking. Opdracht: bepaal/controleer de complexe oplossing

31 LC circuit: eigenschappen
Neem op t=0 de maximale stroom: I(0)=I0 en q(0)=0 C Stroom: Spanning: L De spanning op C (en L) is dus 900 uit fase met de stroom. V (Volt) I (A) De spanning VL is in tegenfase met VC: reeele as (meetbare spanning) Complexe as Op t=0 is er geen meetbare spanning Wat meet je over C op w0t=1/2p ? Phasor diagram: Let op: teken van de stroom is vaag: . Waar moet je nou op letten in dit diagram? Niet: naar de x en y waarde langs de assen zoals je waarschijnlijk gewend bent, maar: 1) direct meetbaar is de reele as, 2) de lengte van de phasoren, 3) de faseverschillen tussen de phasoren. Ik zelf kijk nooit naar de (projectie op de) complexe as an-sich.

32 Discussievraag Beschouw een stroomkring met een spoel L en een weerstand R. Kan dit systeem gaan oscilleren? L R Stel diff vgl op

33 LC circuit op herhaling
Oplossing weten we al: LC circuit: ‘Professionals’ werken met complexe notatie: Met de impedantie De fysische waarde is dan het reële deel, bijv.: Essentieel: de stroom in serieschakelingen is in fase over alle componenten Wat is ? (Dat kunnen we in principe afleiden uit simpele schakelingen; blijkt straks correct) Raad: Dit wordt ingewikkeld…..maak weer een brug naar mechanische trillingen. ‘educated guess’ We moeten oplossen:

34 LC circuit, analyse met complexe getallen
Oplossing: LC circuit: Let op: de impedanties in serie tellen op, dus: Controle met diff vgl (DV): Invullen in DV klopt Dit wordt ingewikkeld….. De diff. vgl is dus overbodig Dit is al equivalent met onze originele oplossing Uitwerking hangt verder van randvoorwaarden af

35 Discussievraag Kijk nog eens naar de slide m.b.t. de ‘projectie op de tafel’. Bespreek met je buurman/vrouw wat dat te maken heeft met onze aanpak om elektrische schakelingen door te rekenen.

36 Opgaves Opgave 3.4

37 Wat heb ik tot nu toe geleerd?
Uitleggen wat een electrische schakeling met een slinger te maken heeft. Ik kan een LC circuit doorrekenen en kan een phasor-diagram uitleggen. Ik ken de complexe notatie en kan goniometrische relaties afleiden.

38 Blok 5 LCR – de gedempte trilling
Uit Giancoli ; Syllabus H3.4 (zie DISCLAIMER) Trillingen en golven DISCLAIMER: meestal begint men met mechanische gedempte en gedwongen trillingen. Omwille van het Praktikum beginnen wij met het electrische equivalent DEMO: massa’s aan veer Blok 5 LCR – de gedempte trilling

39 LCR circuit: gedempte trilling
De oplossing ‘was’ in trilling en nu wordt de LCR kring plotseling niet meer aangedreven: R L Gevolg: I=dQ/dt Demo beschikbaar: gedempte trilling (I en Q zijn de functies die we willen weten) (Q is een functie van tijd. L,R en C zijn contantes)

40 Discussievraag Wat is x? V, I, Q, L, C,R
Ondertussen hebben we elektrische en mechanische trillingen besproken. We hebben al gezien dat: Electrisch: Mechanisch SHO (het is evident dat er nog een term ontbreekt t.o.v. elektrische geval L  m (Zelfinductie, massa) C  1/k (Capaciteit, veerconstante) R  wrijving …..  x ( uitwijking) Wat is x? V, I, Q, L, C,R Hoe denk je dat de mechanische wrijvingsterm er uit zal zien in termen van x?

41 LCR circuit: gedempte trilling
We weten al: R L We kunnen afleiden: We kunnen alleen raden naar een oplossing: een periodieke functie (van de LC kring met ) keer een dempende e-macht (van de R), dus Met A en s te bepalen constantes. Zwak gedempt als: A: oplossing ‘underdamped’ (OPDRACHT: controleer dit zelf!): A B C B: kritisch gedempt C: overgedempt Q Mathematica demo: BB Equivalent mechanish: de spoel levert kracht. De lading op C is de uitwijking. De weerstand is een wrijvingskracht, equivalent aan de wrijving door snelheid v=dx/dt=dq/dt=I.

42 Opgave Werkboek 3.11 , 3.8

43 Blok 6 Gedwongen trilling in een LCR circuit
Uit Giancoli ; Syllabus H4 (zie DISCLAIMER), H4.3 specifiek TGO DISCLAIMER: meestal begint men met mechanische gedempte en gedwongen trillingen. Omwille van het Praktikum beginnen wij met het electrische equivalent Sweep generator on LCR Blok 6 Gedwongen trilling in een LCR circuit

44 Electrisch circuit: de componenten
+ De bron is een drijvende kracht: Vbron Weerstand met spanningsval (in richting van stroom): R C + Condensator, houdt lading vast met spanningsval: Spoel werkt opbouw van stroom tegen met inductiespanning en spanningsval in richting van stroom: L Op het bord: Ga terug naar de reele delen. Geloof je de Ansatz niet  doe het praktikum! Algemeen, in een serieschakeling:

45 LCR circuit: gedwongen trilling
+/- teken: Giancoli definitie: I=-dQ/dt LCR circuit: gedwongen trilling C We schrijven direct: ofwel: V R L We kunnen afleiden: Met de opgelegde bronspanning: We kunnen wel raden dat de oplossing ook een periodieke functie is. Maar moeten we nu de diff. vgl. oplossen? Nee! We doen het ‘complex’, want dat is juist gemakkelijk. Equivalent mechanish: de spoel levert kracht. De lading op C is de uitwijking. De weerstand is een wrijvingskracht, equivalent aan de wrijving door snelheid v=dx/dt=dq/dt=I.

46 LCR circuit: gedwongen trilling
Er geldt: gedwongen V R L We gebruiken verder de complexe notatie (dus diff. vgl is niet nodig): Ansatz: (Praktikum) Op het bord: Ga terug naar de reele delen. Geloof je de Ansatz niet  doe het praktikum! Geheel gekraakt!

47 Controle diff. vgl. C We hadden, zonder diff. vgl.: V R L
gedwongen V R L Onze vergelijking: (zie vorige slide) Identiek! Voegt de diff. vgl. nog iets toe? Of: Vervang Q en V door de complexe variant De complexe Qo en Vo betekent dat er nog vrijheid is om een fase in te voeren. Die zetten we vaak stilzwijgend op nul in onze voorbeelden. Dit impliceert dat de techniek werkt:

48 Opgaven (nog niet specifiek over gedwongen trilling)
Controleer het gevonden resultaat door directe invulling. Werkboek 4.5 (deels): (Ga uit van een gedempte trilling)

49 Blok 7 LCR kring (Gedwongen) De professionele aanpak Resonanties
Syllabus H4.3 Trillingen en golven DEMO: massa’s aan veer Blok 7 LCR kring (Gedwongen) De professionele aanpak Resonanties

50 LCR circuit: praktische aanpak
Phasor (Giancoli 800) Stel op t=0 is de (reele) spanning op R maximaal C L R V t=0 Complexe as Tel de phasoren op als vectoren. Conclusie o.a: er is een faseverschil tussen. Praktisch zouden we V als ingang zien en VR als uitgang van deze schakeling. Wat is de verhouding tussen deze spannigen? Maak een mooi verhaal van de fase-verschillen!!!! Overdrachtsfunctie:

51 Resonantie in LCR kring
We hebben afgeleid voor de spanning over R: Q groot Q is de qualiteitsfactor Het blijkt dat het gedrag van electronische schakelingen analoog is aan vele andere natuurverschijnselen. (o.a mechanische trillingen, die komen we het volgende college tegen) Q klein Demo bestaat: gedwongen trilling. Merk op Q is evenredig met energie/energieverlies per cycle Voor de spanning over C ziet de overdrachtsfunctie er anders uit (leidt zelf af) (Mathematica) demo

52 Opgave Werkboek Opgave 4.5 Opgave 4.6 Opgave 4.7

53 Wat heb ik tot nu toe geleerd?
Ik ken de complexe notatie en kan deze gebruiken in een LCR circuit. Ik kan gedwongen en gedempte trillingen in een LCR circuit (wiskundig) analyseren. Ik kan uitleggen wat een phasor is.

54 Blok 8a: Mechanisch Gedempte Trillingen
Uit Giancoli 14.7, 14.8; Syllabus 3.4, H4 (mechanische gedeelte, niet LCR)) TGO DEMO: de waterdemper Blok 8a: Mechanisch Gedempte Trillingen

55 Gedempte trillingen Voor alleen de (ideale) veer met uitwijking x geldt: Bijvoorbeeld: Geluid Schokbreker De dempende kracht: Dus voor F=ma geldt: Komt bekend voor! Analogie LCR circuit! L  m (Zelfinductie, massa) C  1/k (Capaciteit, veerconstante) R  b (weerstand, wrijving) Lading q  x (Lading, Plaats) I  v (Stroom, snelheid) 1/2q2/C=1/2kx2 1/2LI2=1/2mv2 Maak link naar LCR kring op bord. Zonder dempende kracht is b=0. Dan zie ik een SHO vergelijking en dan wordt die motor een soort tril-apparaat: je stuitert over de weg! m Buis met zuiger in bv. olie die alle beweging tegenwerkt

56 Gedempte trillingen  mechanische eigenschappen
Oplossing ondergedempt: A underdamped: (ongedempt) Voor de motor wil je snelle demping = kritisch gedempt: A B C Hoe rijdt de motor zonder dempende kracht? DampedSHM.html DrivenSHM.html

57 Gedempte trillingen: oplossingen differentiaal vergelijking.
Oplossing ondergedempt: (deze hadden we al) C Oplossing overgedempt: (afleiding zoals “ondergedempt” door w’ complex te maken.) B Oplossing kritisch gedempt: (bijvoorbeeld met Mathematica. Merk op dat er nu een component is waarbij de variable t voor de e-macht staat. Kortom, dezelfde diff. Vgl, maar in drie verschillende regimes totaal andere oplossingen!)

58 Opgave Werkboek 3.8, 3.9, 3.10

59 Blok 8b: Trillingen, Resonanties, Inslingeren
Uit Giancoli 14.7, 14.8; Syllabus H4, specifiek 4.2.2, 4.2.3 TGO DEMO: de waterdemper Blok 8b: Trillingen, Resonanties, Inslingeren

60 Gedwongen Trillingen (nu mechanisch en completer)
oscillerende externe kracht die de trilling aandrijft. de Amplitude van de resulterende trilling is groot bij de natuurlijke frequentie = Resonantie met wrijving extern Complete differentiaal vergelijking: Resonantie Q factor geeft de Scherpte van de piek Tip: als je een gebouw ontwerpt, zorg ervoor dat de Q waarde laag is Tacoma (equation of motion) Let op: x(0) ligt nu helemaal vast. Niet op nul =incompleet Zie transient state. Eventueel atoomspectra in deze contect bespreken.

61 Gedwongen Trillingen  fase verschil
Resonantie phase hoek Total phase verschil F en x Uitleggen wat er bedoelt wordt met trilling loopt voor/achter. tekenen op bord. Totale Phase bijdrage van sin  cos angle pi/2 ontkom je niet aan. Als we de snelheid zouden plotten ipv x zou die weer verdwijnen. De echte relevante phase angle is is die in de sinus  phi

62 Opgave Werkboek 3.12, Werkboek 4.4

63 Transient en Steady-State trillingen
Vergelijk nu eens gedempte en gedwongen trillingen. 1) 2) “2” is de gedwongen trilling. Onze eerdere oplossing (zie terug) had geen vrije parameters meer. Hierdoor lag x(0) op onfysische wijze vast “1” is de homogene vergelijking. De oplossing van “1” kan je optellen bij “2”. Immers, effectief tel je er dan nul bij op. Gevolg: de eerder gevonden gedwongen oplossing was involledig. We moeten er altijd de vrije bij optellen: Deze dempt uit: transient) Steady-State Door de combinatie (de som) van twee periodieke functies kunnen er zogenaamde inslingerverschijnselen ontstaan.  extra vrijheid: Iedere begintoestand instelbaar We kunnen eventueel de energie of beter Power van dit systeem berekenen

64 Discussievraag

65 Opgave Werkboek Opgave 4.1 – 4.11

66 EXERCISE Please note that the real part of the complex solution is the solution of the original equation.

67 EXERCISE – question of a student:
“why/how do you transform to a complex differential equation”

68 EXERCISE – Toward the solution: it is not all mathematics

69 EXERCISE - solution

70 Blok 9: Gekoppelde Trillingen
Syllabus H5 TGO DEMO: de waterdemper Blok 9: Gekoppelde Trillingen

71 Gekoppelde Trillingen
We kunnen natuurlijk vele elementen tegelijk (eenmalig) in beweging zetten. Hoe pak je dat aan? m k Om het simpel te houden: geen wrijving, identieke veren en massa’s Plan van aanpak: stel de differentiaal vergelijkingen op ‘per massa’ en Empirisch: of de blokken trillen in fase of in tegenfase, dus parametriseer: Deze vorm invullen in diff. vglen. levert: en Of Oplossingen voor de ‘Normaaltrillingen’, +- tekens: Kracht is positief in positieve richting x_a. Merk Totaal-oplossing is de superpositie van deze ‘Normaaltrillingen’ Let op: deze ‘analyse’ is versimpeld door uit te gaan van ‘nette’ periodieke functies

72 Gekoppelde Trillingen – verdere analyse
Hoe zien de oplossingen er uit? m k Oplossingen voor de ‘Normaaltrillingen’, Of Totaal-oplossing is de superpositie van deze ‘Normaaltrillingen’ +- tekens: Kracht is positief in positieve richting x_a. Uit beginvoorw. In het bijzonder interessant als de hoekfrequentie’s bijna gelijk zijn: zwevingen (komen we op terug)

73 Gekoppelde Trillingen  met eigenvectoren
Om het simpel te houden: geen wrijving, identieke veren. m k We hadden: ofwel Het recept: (eigenwaardes) eigenfrequenties Maar wat zijn de trillingsmodes  en Gelijk aan onze eerdere resultaat! Simpel uitbreidbaar!  dat zijn de eigenvectoren van onze M

74 Gekoppelde Trillingen transversaal (zonder afl.)
We kunnen ook gekoppelde trillingen maken met massa’s die op en neer (transversaal) bewegen. Onze ‘ketting’ is opgebouw uit massa’s en massaloze veren (die niet verder uitrekken). De ketting is strak gespannen met een constante kracht FS. m Deze vergelijking krijgt dus dezelfde structuur als met de veren, met k=FS/d Voor de volledigheid: de algemene oplossing voor de ketting of veren met n massa’s is: met De relatie tussen w en k wordt de dispersie relatie genoemd. Opdracht: al noo en d0, hoe zit de gezamenlijke beweging er dan uit?

75 Opgaven Maak een resonantie
Analyseer de volgende opstelling (wat zijn de normaaloplossingen?): k k k k m m m Inspiratie: Werkboek 5.1, 5.2, 5.3, 5.4 Nog even uitstellen tot we ‘zwevinge’ hebben gehad

76 Extra Opgaven

77 Extra Opgaven

78 Antwoord Analyseer de volgende opstelling (wat zijn de normaaloplossingen?): k k k k m m m Inspiratie:

79 Wat heb ik geleerd? Ik kan de differentiaal vergelijkingen opstelling van mechanische gedempte, gedwongen en gekoppelde trillingen. Ik kan uitleggen dat er een analogie tussen mechanische en electrische trillingen. Ik ken de oplossingen van deze vergelijkingen en kan deze interpreteren.

80 Blok 10 Golven Bewegingsvergelijking energie
Uit Giancoli ; Syllabus H6.1 , H6.2 (nog niet staande golven), H7.5 Trillingen en golven DEMO: de lange veer, touw?, Blok 10 Golven Bewegingsvergelijking energie 80

81 Hoe beweegt een golf eigenlijk?
transversaal longitudinaal trommel luchtdruk Wordt er netto water getransporteerd? Zit er energie in een golf? Hoe bewegen de ‘deeltjes’ van het medium eigenlijk?

82 Soorten Golven Longitudinaal vs transversaal: P, S waves and more
P, S waves and more

83 Bewegingsvergelijking
Een golf legt altijd l af in omloopstijd T: Kunnen we een bewegingsvergelijking opstellen? Dus we trekken in de x richting met kracht FS en maken ook een golf door beweging in y-richting. Lengtedichtheid koord: Maak roosterpunten: Er geldt: Waarschuw dat dit het simpletste geval is. F(x) is constant. Y is een functio van x en t. Uit figuur:  Golfvergelijking Opdracht: kijk eens terug naar de gekoppelde trilling van vele massa’s en vergelijk dat eens hiermee.

84 Golfvergelijking (harmonische golven)
Een golf legt altijd l af in omloopstijd T: Hoe zit een (lopende) golf er nu in formulevorm uit? Neem iemand die meeloopt met snelheid v, die ziet “gewoon”: Er geldt:  Differentieer y nu eens twee keer naar de tijd t. Differentier y nu eens twee keer naar de plaats x. En passant: (zie vorige slide) Consistent met Golfvergelijking: Snelheid hangt niet van f af

85 Energie in transversale golf
Kinetische energie: Bekijk een stukje massa dm. Alleen snelheid in de y richting: Universeel: Amplitude^2 ½ mu 4pi/l2 F/mu l /2= pi F/l V=Lam/T Potentiele energie (afleiding voor liefhebbers) is Toeval?! We weten nu de snelheid en energie in Transversale golven. Hoe zit dat met longitudinale golven?

86 Opgaven Giancoli H15 Zee, golven en energie.
Stel je hebt een drijver van een meter breed, loodrecht op de bewegingsrichting van de golven liggen. Hoeveel energie kun je hiermee per dag opwekken voor de kust van NL, met A=0.5m, f=1Hz, v=10m/s ? (bron: dit zijn grof geschatte waarden) Giancoli H15 Werkboek 6.1

87 Opgaven

88 Blok 11 Superpositie, Reflectie.
Uit Giancoli ; 16.6 Trillingen en golven DEMO: Lint? Gekoppelde torsiebalans, Dwarse stokken Blok 11 Superpositie, Reflectie. 88

89 Interferentie - Superpositie
In feite een ‘simpel’ superpositie verschijnsel van golven met gelijke golflengte Twee golven uit fase Mix Twee golven in fase Constructive interferente Destructive interferente Ook bij licht, geluid, enz. Phasor:

90 (Ruimtelijke) Interferentie met geluid
Te koop voor $20: anti-geluid koptelefoon. Lekker slapen in de trein of vliegtuig zonder omgevingsgeluid! Kan dat echt? Ja, dat kan echt. ‘herrie’ ontvanger luidspreker + = snelle electronica

91 Superpositie & Reflectie (transversaal)
Vast einde, experiment: Nadenken: begin met een golf: Op x=0 moet de uitwijking altijd nul zijn  effectief komt er een omgekeerde golf van rechts: X=0 superpositie: x=0 Wat gebeurt er bij ‘open’ einde?

92 Reflectie Open einde x=0
Bij open einde beweegt het uiteinde vrij op en neer. X=0 superpositie:

93 Discussievraag

94 Opgaven

95 TGO Blok 12 Staande Golven Uit Giancoli 15.9, Syllabus H6.2.1, ook H7
DEMO: snaar met motor, dwarse stokken, trilplaat met zand

96 Staande golven-normaaltrillingen
Staande golven lijken niet ‘vlnr’ te bewegen. Experiment: Oorzaak: reflectie en interferentie Gevolg: Staande golven op de ‘resonante frequenties’ of ‘eigenfrequenties’ bij de ‘normaaltrillingen’ Analyse: Staande Golven bestaan uit veelvouden (n) van l/2: Ook volgt: Voorbeelden snaarinstrument: de normaaltrillingen worden aangeslagen stringtheorie: iedere resonantie is een fundamenteel deeltje/kracht. knoop buik (boventonen of ‘hogere harmonische)

97 Open-Open is Vast-Vast
Staande golven bestaan ook in media met een open einde. Bijvoorbeeld, een longitudinale golf in een buis. De geometrie is “open”, maar relatie lengte-buis en golflengte is als “vast”. De druk is altijd 90o in fase achter op de displacement. Hoe ziet het diagram er dan uit?  zie golf in snaar!

98 Open-open versus Open-Vast
Zelfde Lengte, maar andere Golflente!

99 Staande Golven - Wiskundig
Stel: de wiskundige aanpak D+ D- Er is geen Transmissie (+ geen wrijving): Basic goniometrie Plaats en tijd ‘gescheiden’ Totale Golf: Gonio check: 2cos(….) Definitie: R=“neem het reëele gedeelte”, dus R[A+iB]=A

100 Fourier – een eerste kennismaking
Iedere (periodieke) functie is schrijfbaar als de ‘som van cosinussen en sinussen’. (ontdekker: Fourier , wiskundige & militair ingenieur) Algemeen: Bijvoorbeeld een blokpuls: Let op: L=repetitie lengte. Superpositie van slechts enkele termen Merk op: in een on-even functie , f(x)=-f(-x), doen geen cosinus termen mee. in een even-functie f(x)=f(-x) doen geen sinus termen mee. Wat kunnen we hier verder mee?

101 Frequentie spectra begrijpen
Een klarinet heeft een vast+open einde. We gaan de Fourier functie samenstellen Tune de eerste harmonische: we nemen L=4l Op x=0 begint een sinus; bij x=l is er een ¼ l  1/2p ‘verstreken’. (geldt voor n oneven!) Let op de relatie lengte buis en golflengte: Open-Vast/ Experiment: In begin van spectrum zitten inderdaad oneven termen. Uiteindelijk ook even termen: een klarinet is dan ook geen ideale buis, maar een muziekinstrument.

102 Opgaven Maak staande golven
Werkboek 6.1

103 Opgaven

104 Opgave

105 Antwoord

106 Blok 13 Snelheid van golven
Uit Giancoli Trillingen en golven DEMO: de lange veer, touw?, Blok 13 Snelheid van golven 106

107 Snelheid van Longitudinale golven (in veer)
Veerconstante: F=kDL Of beter: F=KDL/L0 t=0 Duw kort met kracht F tegen veer. Gevolg DL Massa per lengte-eenheid: m v’ v t=Dt DL Lgolf Observatie: golfpakket beweegt veel sneller dan de ‘duw’: Lgolf >> DL Let op subtiele (maar groot!) verschil tussen: Snelheid van lussen in veer: v’ Snelheid van golffront: v

108 Snelheid van Longitudinale golven
Samenhang segmenten Eerst even terug naar transversale golven: massa van segment Longitudinale golf door veer: Met veerconstante: Zonder bewijs, maar met intuïtie: Met Bulk modulus: Longitudinale golf door vloeistof of gas: Longitudinale golf door lange balk of staaf: Met E de elastische modulus

109 Energy Transport Longitudinale golf
Longitudinale Golf door buis met doorsnede S Vloeistof met dichtheid r “Ver-idealiseer” golf ‘Fundamentele’ resultaat SHO: Rood/Blauw=hoge/lage dichtheid Bij maximale uitwijking met Amplitude A: S Power (vermogen): Hoeveel massa kan het golffront in tijd t laten bewegen? Intensiteit: Vermogen per ‘loodrechte’ oppervlak: Merk op: Intensiteit is evenredig met Amplitude^2. De Amplitude van deze longitudinale golf: Displacement of Pressure (=dichtheid). Let op: deze keuze geeft een andere fase (1/2pi) in x. Hoe zit het met de f^2 klassiek versus f QM? Afgelegde weg: I ~ Amplitude2 Hoe zwakt (de intensiteit van) een aardbeving af met de afstand?

110 Opgave Bespreek met je buurman/vrouw:
Als je een steen in een vijver gooit ontstaan er een cirkelvormige golven. Waarom wordt de amplitude steeds kleiner met groter wordende straal?

111 Opgave

112 Blok 14 Snelheid, Superpositie en Dispersie
Uit Giancoli , Syllabus H7.5, 7.6 Trillingen en golven DEMO: de lange veer, touw?, Blok 14 Snelheid, Superpositie en Dispersie 112

113 Superpositie superpositie principe  het totale effect is gelijk aan som der elementen. Gelukkig! Vele ‘elegante’ grootheden uit de natuurkunde voldoen hieraan: Energie, Elektrische veld, Kracht, snelheid (klassiek), massa (klassiek). Uit experimenten blijkt: golven van verschillende Amplitude en/of golflengte tellen rekenkundig op tot de totale golf.

114 Superpositie & snelheid  Dispersie
We hebben gezien dat de voorplantings-snelheid niet van de frequentie afhangt. De superpositie van enkele geschikt gekozen golven, leidt tot een (bijna) blokgolf. In de praktijk: v is niet constant. Waarom niet? Bijvoorbeeld omdat een koord zich niet zomaar laat ombuigen; dat effect is duidelijk golflengte afhankelijk. Op t=0 beginnen we met een (bijna) blokgolf Gevolg: er treedt dispersie op (de snelheid is afhankelijk van de golflengte): v=functie(k) Een samengestelde golf is niet meer vormvast. Na een tijdje is blokgolf ‘uitgesmeerd’ (groene curve) Demo: Dispersiegolf.nb

115 Opgaven Zelf afleiden met complexe getallen!!! Werkboek 7.8, 7.10

116 Trillingen en golven Blok 15 Fourier Uit Syllabus H7.1 – 7.4
DEMO: de lange veer, touw?, Blok 15 Fourier 116

117 Fourier - concepts Iedere (periodieke) functie is schrijfbaar als de ‘som van cosinussen en sinussen’. (ontdekker: Fourier , wiskundige & militair ingenieur) Algemeen: Bijvoorbeeld een blokpuls: Let op: L=repetitie lengte. Superpositie van slechts enkele termen Merk op: in een on-even functie , f(x)=-f(-x), doen geen cosinus termen mee. in een even-functie f(x)=f(-x) doen geen sinus termen mee. Wat kunnen we hier verder mee?

118 Fourier Analyse Welke ‘golven’ doen mee in een functie f(x)?
(het domein van f(x) ligt tussen –p en +p) Veel werk, maar van iedere functie kunnen we dus An en Bn bepalen An en Bn noemen we de Fourier coefficienten. Bijvoorbeeld analyse van een geluidsfragment: Welke tonen komen uit een piano? Na opname en digitalizatie: Fourier analyse geeft het golflengte of frequentie-spectrum

119 Frequentie spectra - Commercieel
Om de eigenschappen van (hinderlijke) trillingen te begrijpen. In het bijzonder om de qualiteit van geluid te beoordelen. Bijvoorbeeld analyse van een geluisfragment Welke tonen komen uit een viool? Na opname en digitalisatie: Fourier analyse geeft het golflengte of frequentie-spectrum “onze violen zijn net zo goed als die van Stradivarius” Nog altijd beter dan: “wij van WC-eend adviseren WC-eend” Note: geluidsgolven hebben ‘geen last’ van dispersie. Nu.nl Stradivarius klinkt niet beter dan moderne viool Laatste update: 2 januari :44 info WASHINGTON - Een oude viool, zoals een 18e-eeuwse Stradivarius of een Guarnieri, klinkt niet beter dan een modern instrument.

120 Discussievraag aan je buurman/vrouw Voor thuis:

121 Opgaven Fourier Voor thuis: Animatie mbt Fourier analyse
1)Bewijs/Beredeneer onderstaande integralen. 2) Zie onderstaande functie f(x). Hoe ziet de Fourier getransformeerde, F(k) eruit? (Schets) x f d -d Zie ook de opgaven uit het werkboek H en eventueel de volgende slides

122 Opgaven Fourier Met antwoorden

123

124 Opgaven Fourier

125 Wat heb ik geleerd? Ik ken de bewegingsvergelijking van golven. Ik kan deze zelf afleiden. Ik kan een energiebeschouwing maken. Ik kan uitleggen hoe de snelheid van een longitudinale veer is afgeleid. Ik kan het begrip superpositie wiskundig en grafisch uitleggen. Ik kan uitleggen wat dispersie is.

126 Blok 16 Breking,Reflectie met Transmissie
Uit Giancoli ; 16.6 Trillingen en golven DEMO: Lint? Gekoppelde torsiebalans, Dwarse stokken Blok 16 Breking,Reflectie met Transmissie 126

127 Reflectie De ‘regels’ voor reflectie aan vast/open einde gelden ook voor uitgebreide golven. We spreken dan van een golffront Nu kan de golf ook onder een hoek invallen. Er geldt zoals altijd: hoek van inval is de hoek van uitval.

128 Golffront Breking (refractie)
Geen vast, geen open uiteinde, maar ander medium Er is een relatie tussen de loopsnelheid in het medium en de hoek waaronder de golf zich voortplant. (Hier komen we nog op terug bij licht) Er kan ook een deel van de golf worden weerkaatst. Welk gedeeltje gaat door (Transmissie) en welk gedeelte Reflecteert  dat wordt rekenen!

129 Transmissie & Reflectie
Geen vast einde, geen open einde, maar ander medium EXPERIMENT: Dus, we hebben superpositie: Medium 1 Medium 2 start touwen zitten aan elkaar vast: later Andere (ideale) eis: geen knik in touw: X=0 Merk op: frequentie in 1 en 2 moeten gelijk zijn:

130 Discussievraag

131 Opgaven

132 Blok 17 De link met eerdere stof
Uit Giancoli 15.9, Syllabus H7 TGO Blok 17 De link met eerdere stof DEMO: snaar met motor, dwarse stokken, trilplaat met zand

133 Terug naar gekoppelde trillingen
We zijn al eerder normaaltrillingen tegengekomen: m k In het algemene geval met n nodes, schreven we: m met d/mmu Als d0 (en we smeren de massa dus uit), en nd=x en wordt y een gewone golf. Met de juiste randvoorwaarden krijgen we de staande golven. Hoe zit dat met dispersie?  Conclusie: (staande) golven zijn de continue limit van gekoppelde trillingen

134 Discussievraag the previous slide

135 Fysische snaar & dispersie zie ook syllabus H7.6
Terug naar golfvergelijking en snelheid voor een snaar l: Geen dispersie Staande Golven een echte snaar laat zich niet zomaar ombuigen. Gevolg: k slope De boventonen klinken hierdoor wat hoger. Experts noemen deze tonen “sharp”. Mathematica demo: Dispersiesnaar.nb (Dispersie maakt er een ‘rommeltje’ van) Nu een pianosnaar

136 Opgaves Werkboek 7.6, 7.7

137 Blok 18 Zwevingen groepssnelheid
Uit Giancoli ; 16.6, Syllabus H5.2.2, 7.7 Trillingen en golven DEMO: Lint? Gekoppelde torsiebalans, Dwarse stokken Blok 18 Zwevingen groepssnelheid 137

138 Zweving, interferentie in tijd
Een zweving of ‘Beat’ is waarneembaar als twee trillingen niet precies (maar wel bijna) dezelfde frequentie hebben  op dezelfde plek hoor je als functie van de tijd de amplitude variëren. Neem: Som: Uiteraard: ook mechanische trillingen vertonen zwevingen. Formules op volgende slides afleiden

139 Zweving:Fase-snelheid en Groepsnelheid
groepssnelheid Dispersie-relatie Specifiek voor een zweving kunnen we de groepssnelheid ‘zien ontstaan’. Werk de som van de twee golven uit tot product: golf met ~ ‘oude’ fasesnelheid ANIMATIE Met de volgende animatie kunnen we Dk en Dw zelf instellen: Ook als nb op BB

140 Opgaven Voor thuis: Animatie mbt Fourier analyse
1) Zie onderstaande functie die is overgenomen uit de zojuist besproken slides. Welke Fourier coefficenten zullen voorkomen? 2) Neem twee golven op t=0 in fase met gelijke amplitude. De ene golf heeft een een frequentie van 50Hz, de andere 60Hz. Tel de golven op. Wat gebeurt er? Waar is de amplitude van de omhullende minimaal en maximaal?  wat is het verschil in fase- en groepssnelheid? Opgave Werkboek 7.3

141 Extra Opgaven

142 Reflectie over reflectie.
Nav een vraag Een golf in de positieve richting: Associeer k met een impulsvektor om er gevoel bij te krijgen Wij werken (vaak) in 1 dimensie Associeer frequentie^2 met energie Let op het teken van de fase bij de verschillende notaties. Met f =Sin of f=Cos Bij vast einde: idem, maar extra ‘overall’ minteken

143 Wat heb ik geleerd? Ik kan uitleggen hoe golven reflecteren en dit ook wiskundig doorrekenen. Mbt Transmissie kan ik een wiskundige analyse maken. Ik kan uitleggen wat een zweving is en hier analytisch mee omgaan. Ik kan aan de hand van een zweving uitleggen wat fase- en groepssnelheid zijn.

144 Blok 19 Speciale Golven (als er tijd over is)
Uit Giancoli 15.9 TGO Blok 19 Speciale Golven (als er tijd over is) DEMO: snaar met motor, dwarse stokken, trilplaat met zand

145 Speciale Golven Soliton (enkele golfpiek)
Gevolg dispersie voor een Soliton Circulaire staande golven Golven door de aarde P and S waves

146 Tsunami (geen tentamenstof)
Op zee: Beweegt door het water, niet alleen bovenop (surface wave). Snelheid v2~diepte  400 km/hour! Amplitude<1meter  >100km komt voor. Energieverlies 1/  Bij de kust, ondiep water, wordt de energie gecomprimeerd: v en  nemen af. Amplitude neemt toe! Vaak wordt golfpiek vooraf gegaan door golfdal en trek de zee als het ware even terug.

147 water golven en dispersie (geen tentamenstof)
Nu we het toch over golven hebben: windgolven. (Afleidingen niet triviaal) Voor diepwater golven geldt in goede benadering: als kd>p met d de diepte Wat betekent dit voor de fasesnelheid en de groepsnelheid in termen van de golflengte? Ondiep-water golven met lange golflente hebben een lineaire dispersierelatie. (net zoals Tsunami). Ondiep-water golven met korte golflengte: De term met oppeervlaktespanning N/m is verwaarloosbaar voor golven >>cm

148 Wat heb ik geleerd? Ik kan uitleggen hoe staande golven ontstaan.
Ik kan wiskundig de vorm van deze golven bepalen. Ik kan uitleggen hoe dispersie, fasesnelheid en groepssnelheid samenhangen. Ik begrijp de concepten van de Fourier analyse. Specifiek: M.b.t. speciale en 3 dimensionale golven is voor je algemene ontwikkeling – geen tentamensof. Je hoeft geen dispersierelaties uit je hoofd te kennen; je moet ze wel kunnen interpreteren. Je hoeft de formules m.b.t. Fourier niet uit je hoofd te kennen. Je moet er wel mee kunnen werken op het nivo zoals op deze en volgende slides.

149 Opgaven Werkboek 7.11, 7.12

150 TGO Blok 20 Staande (geluids-)golven
Uit Giancoli 16, Syllabus H6.2.2, H7.4 TGO Blok 20 Staande (geluids-)golven Fourier analyse (niet uit Giancoli, zie syllabus)

151 Geluidsgolven Geluid, met name door muziekinstrumenten, wordt doorgaans veroozaakt door staande golven in: Trillende snaren, versterkt door plaat, doos. Trillende luchtkolom in buis. Snelheid v=( T/Co)m/s. Bij kamertemperatuur 343m/s. Geen dispersie. Belangrijke stemtoon A f=440 Hz. De golflengte in lucht is dan: 78cm. 1 open einde: klarinet enzo. 2 openeinde: fluit, sommige orgelpijpen.

152 Discussievraag – wie weet dit?
Ik weet niet zoveel van octaven en tonen en of stemschema’s. Het moet iets te maken hebben met het feit dat iedere octaaf (een octaaf verschilt een factor 2^n van de n-de andere). In een octaaf zitten totaal 12 tonen. De volgende toon is van de volgende octaaf. Dus met 12 intervallen moet je een factor 2 maken. Interval^12=2. Dus interval_1=~1.05. Iedere volgende toon i heeft dan een frequentie interval^i .

153 Aanslaan van trillingen in snaar
Neem eens een snaar, trek er aan en laat los op t=0 De vorm op t=0 is gegeven L Hoe trilt de snaar op op t>0? Alle mogelijke normaalmodes (staande golven) kunnen worden aangeslagen. Fysische intuitie: wat zijn de amplitudes Cn? Hoe doen we dit netjes en algemeen? Antwoord: Fourier analyse We weten f(x)=y(x,0). Die kunnen we omzetten naar de Fourier vorm: Wat zijn An en Bn?

154 Fourier analyse (wiskunde)
Dit is de algemene opzet van een Fourier analyse om de Fourier coefficienten van een gegeven functie f(x) te bepalen. Let op: x in radians en f(x) moet periodiek zijn. (Als x niet in radians: Integreer over 1 periode en normaliseer correct.) Bewijs is redelijk simpel. Schrijf f(x) als Fourier reeks en gebruik: Dit recept kunnen we toepassen op iedere vorm van de snaar. Dat is echter veel werk. Op de volgende slide een makkelijk voorbeeld.

155 Fourier at work Neem eens een snaar, trek er aan en laat los op t=0
Neem eens als vorm op t=0 een blok Hoe trilt de snaar op op t>0? L Maak f(x) periodiek: L 2L Voor nu: L= en volg het recept op vorige slide Leg de integralen uit en teken B1sin en B3sin DEMO: Dispersiesnaar.nb

156 Fourier. Wiskundig voor je toekomst.
We hadden discrete geval: Nodig: o.a. bij quantum mechanica Algemener en continue: Fourier getransformeerden: Complex:

157 Opgaven Voor thuis: Animatie mbt Fourier analyse
1) Wat is de Fourier getransformeerde van een enkele blokfunctie tussen x=-a en x=a? (maak gebruik van de complexe continue vorm)

158 Opgaven

159 Blok 21 Het Doppler effect
Uit Giancoli 16 TGO Blok 21 Het Doppler effect

160 Doppler Effect De sirene van een naderende politieauto heeft een hogere toon en lager als de auto zich van je verwijderd. Freq. f Snelheid 0 Snelheid vp Als de luisteraar met u beweegt: Beide bewegen even snel: is er nog steeds een netto effect? Belangrijke toepassingen: Roodverschuiving van objecten in heelal als afstandsmaat Radar weerkaatste licht aan auto als snelheidsmeting vleermuizen

161 Discussievraag A B

162 Het eerste Dopplereffect op aarde
Utrecht, juni 1845, C.H.D. Buijs Ballot gebruikte een Hercules locomotief (Sharp & Roberts) die maar liefst 70km/uur haalde om het het Doppler effect aan te tonen. Een proef in februari was al mislukt, want de trompetters konden door de koude hun instrumenten niet goed afstemmen. Er stond een trompetter op de trein + iemand met absoluut gehoor + coordinator. Langs de rails stonden op A,B,C ook zo’n drietal om verschillende blaas-variaties te proberen Resultaat: De eerste rit van de zes mislukte. Er werd nauwelijks iets gehoord door de herrie van de loc. Door harder te blazen is er toch nog wel wat waargenomen en “werd in het algemeen het Doppler effect bevestigd”. Buijs Ballot werd een bekende meteoroloog. In Duitsland, 1876 is met een Borsig locomotief (100km/u) met stoomfluit het Doppler effect nogmaals bevestigd. Het kostenloze gebruik van de loc had BB via verzoek aan Directuer Rhijnspoorweg en minister BZ verkregen. De stoomfluit op de train van BB had geen voldoende zuivere toon. BB heeft dat wel geprobeerd.

163 Extreme Doppler: Supersoon
De bron beweegt sneller dan het geluid > 1 Mach Een supersonisch vliegtuig maakt altijd minstens 1 shockwave Tijd over? Leidt theta af als functie van snelheid Ik vermoed dat je condensatie ziet door drukgolf, maar ben niet zeker.

164 Opgaven

165 Wat heb ik geleerd? Ik kan uitleggen hoe golven reflecteren en dit ook wiskundig doorrekenen. Mbt Transmissie kan ik een wiskundige analyse maken. Ik kan het Doppler effect afleiden. Ik kan uitleggen wat er gebeurt bij supersone snelheden.