Telecommunicatie en Informatieverwerking UNIVERSITEIT GENT Didactisch materiaal bij de cursus Academiejaar 2011-2012

Presentatie over: "Telecommunicatie en Informatieverwerking UNIVERSITEIT GENT Didactisch materiaal bij de cursus Academiejaar 2011-2012"— Transcript van de presentatie:

1 Telecommunicatie en Informatieverwerking UNIVERSITEIT GENT Didactisch materiaal bij de cursus Academiejaar 2011-2012 philips@telin.UGent.be http://telin.UGent.be/~philips/optimalisatie/ Tel: 09/264.33.85 Fax: 09/264.42.95 Prof. dr. ir. W. Philips Optimalisatietechnieken

2 © W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012versie: 28/2/2012 03b. 2 Copyright notice This powerpoint presentation was developed as an educational aid to the renewed course “Optimisation Techniques” (Optimalisatietechnieken), taught at the University of Gent, Belgium as of 1998. This presentation may be used, modified and copied free of charge for non-commercial purposes by individuals and non-for-profit organisations and distributed free of charge by individuals and non-for-profit organisations to individuals and non-for-profit organisations, either in electronic form on a physical storage medium such as a CD-rom, provided that the following conditions are observed: 1.If you use this presentation as a whole or in part either in original or modified form, you should include the copyright notice “© W. Philips, Universiteit Gent, 1998” in a font size of at least 10 point on each slide; 2.You should include this slide (with the copyright conditions) once in each document (by which is meant either a computer file or a reproduction derived from such a file); 3. If you modify the presentation, you should clearly state so in the presentation; 4.You may not charge a fee for presenting or distributing the presentation, except to cover your costs pertaining to distribution. In other words, you or your organisation should not intend to make or make a profit from the activity for which you use or distribute the presentation; 5. You may not distribute the presentations electronically through a network (e.g., an HTTP or FTP server) without express permission by the author. In case the presentation is modified these requirements apply to the modified work as a whole. If identifiable sections of that work are not derived from the presentation, and can be reasonably considered independent and separate works in themselves, then these requirements do not apply to those sections when you distribute them as separate works. But when you distribute the same sections as part of a whole which is a work based on the presentation, the distribution of the whole must be on the terms of this License, whose permissions for other licensees extend to the entire whole, and thus to each and every part regardless of who wrote it. In particular note that condition 4 also applies to the modified work (i.e., you may not charge for it). “Using and distributing the presentation” means using it for any purpose, including but not limited to viewing it, presenting it to an audience in a lecture, distributing it to students or employees for self-teaching purposes,... Use, modification, copying and distribution for commercial purposes or by commercial organisations is not covered by this licence and is not permitted without the author’s consent. A fee may be charged for such use. Disclaimer: Note that no warrantee is offered, neither for the correctness of the contents of this presentation, nor to the safety of its use. Electronic documents such as this one are inherently unsafe because they may become infected by macro viruses. The programs used to view and modify this software are also inherently unsafe and may contain bugs that might corrupt the data or the operating system on your computer. If you use this presentation, I would appreciate being notified of this by email. I would also like to be informed of any errors or omissions that you discover. Finally, if you have developed similar presentations I would be grateful if you allow me to use these in my course lectures. Prof. dr. ir. W. PhilipsE-mail: philips@telin.UGent.be Department of Telecommunications and Information ProcessingFax: 32-9-264.42.95 University of GentTel: 32-9-264.33.85 St.-Pietersnieuwstraat 41, B9000 Gent, Belgium

3 Duale lineaire programma’s

4

5 © W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012versie: 28/2/2012 03b. 5 Overzicht Duale lineaire programma´s: waarvoor en waarom Dualiteitseigenschappen zwakke dualiteit sterke dualiteit “Complementary slackness” Opstellen van duale lineaire programma’s De duale simplexmethode

6 © W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012versie: 28/2/2012 03b. 6 Opmerkingen vooraf Tenzij we het tegendeel vermelden, zullen we er steeds impliciet vanuit gaan dat in alle problemen alle variabelen niet-negatief moeten zijn dat in primale problemen er verder enkel ongelijkheden van het  -type aanwezig zijn Dit is enkel voor het gemak (geen fundamentele beperking) In het boek wordt dit als een nieuwe standaardvorm beschouwd Soms beschouwen we echter ook nog problemen in de gewoonlijke standaardvorm (enkel gelijkheden en alle variabelen niet-negatief)

7 © W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012versie: 28/2/2012 03b. 7 Een typisch productieprobleem Bij gegeven onderdelen (voorraad ruw materiaal): welke producten moeten we produceren om het meest winst te maken? beschikbare voorraden onderdelen hoeveelheden ruw materiaal nodig per eenheid afgewerkt product j maximaliseer c 1 x 1 +  + c j x j +  · + c n x n mits x 1, x 2,..., x n  0, en a 11 x 1 +  + a 1 j x j +  + a 1 n x n  b 1 a 21 x 1 +  + a 2 j x j +  + a 2 n x n  b 2... a m1 x 1 +  + a mj x j +  + a mn x n  b m opbrengst per eenheid verkocht product j

8 © W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012versie: 28/2/2012 03b. 8 Opmerkingen In de praktijk zijn er ook loonkosten en andere kosten  Deze worden verrekend door ze ook als ruw materiaal te beschouwen Het zijn zotten die werken: Soms brengt het rechtstreeks doorverkopen van ruwe materialen meer op dan het verwerken ervan tot afgewerkte producten waarde van ruw materiaal i in product j (per eenheid) verkoopwaarde van product j (per eenheid) Stel dat y i =marktprijs van ruw materiaal i Product j maken en verkopen brengt op: c j x j Product j niet maken maar de onderdelen ervan verkopen brengt meer op als: ( a 1 j x j ) y 1 +  + ( a ij x j ) y i +  + ( a mj x j ) y m  c j x j  a 1 j y 1 +  +a ij y i +  +a mj y m  c j vermits x j  0

9 © W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012versie: 28/2/2012 03b. 9 Produceren of verder verkopen?… Vanuit ons standpunt: j verkopen i.p.v. produceren  a 1 j y 1 +  +a ij y i +  +a mj y m  c j Vanuit het standpunt van een “opkoper van onze voorraden” de opkoper wil al onze voorraden onderdelen opkopen tegen de goedkoopst mogelijke prijs en a 11 y 1 +  + a i1 y i +  + a m1 y m  c 1 a 12 y 1 +  + a i2 y i +  + a m2 y m  c 2  a 1n y 1 +  + a in y i +  + a mn y m  c n hij moet ons een aanbod doen, d.w.z. bepalen welke prijs y i hij wil betalen per eenheid van elk ruw materiaal i Formulering probleem opkoper minimaliseer y 1 b 1 +  + y i b i +  + y m b m mits y 1, y 2, , y m  0, wij zijn bereid alle ruwe materialen te verkopen

10 © W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012versie: 28/2/2012 03b. 10 …Produceren of verder verkopen? Duaal probleem minimaliseer y 1 b 1 +  + y i b i +  + y m b m mits y 1, y 2, , y m  0, en a 11 y 1 +  + a i1 y i +  + a m1 y m  c 1 a 12 y 1 +  + a i2 y i +  + a m2 y m  c 2  a 1 n y 1 +  + a in y i +  + a mn y m  c m Primaal probleem maximaliseer c 1 x 1 +  + c j x j +  + c n x n mits x 1, x 2,..., x n  0, en a 11 x 1 +  + a 1 j x j +  + a 1 n x n  b 1 a 21 x 1 +  + a 2 j x j +  + a 2 n x n  b 2... a m 1 x 1 +  + a mj x j +  + a mn x n  b m minimaliseer b t y over y mits y  0 en A t y  c maximaliseer c t x over x mits x  0 en Ax  b

11 © W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012versie: 28/2/2012 03b. 11 Primaal en duaal probleem Primaal probleem (ons doel): optimaal produceren maximaliseer c t x over x mits x  0 en Ax  b met x de vector van de te produceren hoeveelheden Duaal probleem (doel van de opkoper): onze voorraden zo goedkoop mogelijk aftroggelen minimaliseer b t y over y mits y  0 en A t y  c met y de vector van de te bieden prijzen Opmerkingen het duaal probleem van het duaal probleem is het primaal probleem PrimaalDuaal ongelijkheden: A en b -A t en - c winst: c t x - b t y als we de problemen standardiseren (“maximaliseer” en “  ”) dan  maximaliseer - b t y over y mits y  0 en -A t y  - c (en vermenigvuldig de optimale winst met -1)

12 © W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012versie: 28/2/2012 03b. 12 Andere motivatie: bovengrenzen (1) Grenzen voor de optimale winst zijn nuttig om te bepalen of een mogelijke oplossing x bijna optimaal is of er hoop is dat het optimum voldoend goed is voor een gegeven toepassing, zonder het expliciet te zoeken Ondergrens voor de winst van het primaal probleem gegeven een mogelijke oplossing x van primaal probleem  c t x is een ondergrens voor de winst c t x * van de optimale oplossing x * Hoe vinden we een bovengrens? gegeven een mogelijke oplossing y van het duaal probleem  b t y is een bovengrens voor de winst c t x * van de optimale oplossing x * we zijn immers bereid al onze ruwe materialen te verkopen aan de prijzen y die voldoen aan de ongelijkheden van het duaal probleem en we verkopen enkel als dit meer oplevert dan produceren d.w.z. als b t y  c t x *

13 © W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012versie: 28/2/2012 03b. 13 Eenvoudige bovengrens voor de winst Bovengrenzen (2) Kunstgreep: we zoeken een nieuwe “winstfunctie” die voor elke mogelijke oplossing x  groter is dan de gegeven winstfunctie en waarvoor we gemakkelijker een bovengrens vinden Maximaliseer c 1 x 1 +  + c j x j +  + c n x n mits x 1, x 2,..., x n  0, en a 11 x 1 +  + a 1 j x j +  + a 1 n x n  b 1 a 21 x 1 +  + a 2 j x j +  + a 2 n x n  b 2  a m 1 x 1 +  + a mj x j +  + a mn x n  b m  y1 y2  ym y1 y2  ym indien alle y i  0 maar voor de rest willekeurig indien voor alle j : omdat alle x j  0

14 © W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012versie: 28/2/2012 03b. 14 Besluit eenvoudige bovengrens vinden  zoek y i  0 met …Bovengrenzen en de bovengrens is dan: Hoe kiezen we de y i ? kleinst mogelijke (scherpste) bovengrens: minimaliseer naar y mits alle y i  0 en Dus door het oplossen van het duaal probleem minimaliseer b t y over y mits y  0 en A t y  c

15 © W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012versie: 28/2/2012 03b. 15  c t x  b t y : x willekeurige mogelijke oplossing van primaal probleem y willekeurige mogelijke oplossing van duaal probleem Dualiteitsstellingen mogelijke kosten (duaal) mogelijke winsten (primaal) primaal optimum c t x * duaal optimum b t y * Zwakke dualiteitsstelling: (volgt uit het voorgaande) Sterke dualiteitsstelling: (nog te beredeneren) Als primaal probleem een optimum x * heeft  duaal probleem heeft ook een optimum y * en de optimale waarden zijn gelijk: c t x * = b t y * mogelijke winsten (primaal)mogelijke kosten (duaal) primaal optimum = duaal optimum de kost van elke mogelijke oplossing van het duaal probleem is een bovengrens voor de winst van elke mogelijke oplossing van het primaal probleem

16 © W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012versie: 28/2/2012 03b. 16 Overzicht Duale lineaire programma´s: waarvoor en waarom Dualiteitseigenschappen zwakke dualiteit sterke dualiteit “Complementary slackness” Opstellen van duale lineaire programma’s De duale simplexmethode

17 © W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012versie: 28/2/2012 03b. 17 Primaal optimum winst=+  winst eindig winst=-  (kan niet; waarom?) geen mogelijke oplossingen Opmerkingen Mogelijke gevallen Argumenteer waarom de implicatiepijlen er mogen staan en waarom er geen bijkomende implicatiepijlen mogelijk zijn Duaal optimum  geen mogelijke oplossingen  kost eindig en gelijk kost=+  (kan niet; waarom?)  kost=-  geen mogelijke oplossingengeen mogelijke oplossingen

18 © W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012versie: 28/2/2012 03b. 18 zwakke dualiteit toegepast op x ’ en y  ct x’  bt y  ct x’  bt y en c t x = b t y Toepassing: controle optimaliteit Stel dat we een willekeurige mogelijke oplossing x van het primaal probleem en een willekeurige mogelijke oplossing y van het duaal probleem kennen  ct x’  ct x ct x’  ct x Besluit: x is beter dan elke mogelijke oplossing x ’ en is dus optimaal En dat we vaststellen dat c t x = b t y Dan weten we dat x en y optimale oplossingen zijn van respectievelijk het primaal en het duaal probleem Bewijs: beschouw een willekeurige mogelijke oplossing x ’ van primaal probleem Opmerking als c t x < b t y dan hebben we toch al grenzen voor de winst/kost van de optima x * en y *: c t x  c t x *  b t y *  b t y

19 © W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012versie: 28/2/2012 03b. 19 Problemen in standaardvorm Wat verandert er aan onze redenering als we in standaardvorm werken (gelijkheden i.p.v. ongelijkheden)? Maximaliseer c 1 x 1 +  + c j x j +  + c n x n mits x 1, x 2,..., x n  0, en a 11 x 1 +  + a 1j x j +  + a 1n x n  b 1 a 21 x 1 +  + a 2j x j +  + a 2n x n  b 2  a m1 x 1 +  + a mj x j +  + a mn x n  b m  y1 y2  ym y1 y2  ym Eenvoudige bovengrens voor de winst = = = indien alle y i  0 maar voor de rest willekeurig niet nodig! Antwoord: niets behalve dat de voorwaarden y i  0 vervallen indien voor alle j : omdat alle x j  0

20 © W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012versie: 28/2/2012 03b. 20 Gemengde problemen Wat verandert er aan onze redenering als er een mengeling van gelijkheden en ongelijkheden voorkomt? a 11 x 1 +  + a 1 j x j +  + a 1 n x n  b 1 a 21 x 1 +  + a 2 j x j +  + a 2 n x n = b 2  a m 1 x 1 +  + a mj x j +  + a mn x n  b m y 1 (a 11 x 1 +  + a 1 j x j +  + a 1 n x n )  y 1 b 1 als y i  0 y 2 (a 21 x 1 +  + a 2 j x j +  + a 2 n x n ) = y 2 b 2  y m (a m1 x 1 +  + a mj x j +  + a mn x n )  y m b m als y i  0  indien voor alle j : omdat alle x j  0

21 © W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012versie: 28/2/2012 03b. 21 indien voor alle j waarvoor x j  0: en voor alle j waarvoor x j  0: Besluit Primaal probleemDuaal probleem = -voorwaardevrije variabele y i  -voorwaardevariabele y i  0  -voorwaardevariabele y i  0 variabele x j  0 variabele x j  0 vrije variabele x j en voor alle j waarvoor x j vrij is: = -voorwaarde  -voorwaarde  -voorwaarde

22 © W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012versie: 28/2/2012 03b. 22 Sterke dualiteit Sterke dualiteitsstelling: Als primaal probleem een optimum x * heeft  duaal probleem heeft ook een optimum y * en de optimale waarden zijn gelijk: c t x * = b t y * mogelijke winsten (primaal)mogelijke kosten (duaal) primaal optimum = duaal optimum Overzicht bewijs (argumentering) in het boek: Stel dat we een optimum x * van het primaal probleem gevonden hebben we construeren een y * en tonen aan dat y * optimaal is in duaal probleem we vergelijken vervolgens de primale winst en duale kost en zien dat c t x * = b t y *

23 © W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012versie: 28/2/2012 03b. 23 in de herschreven winstfunctie enkel NB-variabelen voorkomen vermits we in het optimum zitten: zijn alle x j en w i die in de winst voorkomen 0, omdat zijn alle c j * en d i * die in de winst voorkomen  0, omdat Sterke dualiteit: bewijs… Primaal probleem in standaardvorm: maximaliseer c t x over x mits x  0 en Ax + w = b en w  0 (reserve-variabelen) met c j * en d i * gelijk aan 0 als de corresponderende variabelen niet voorkomen we in de finale faze van simplex zitten We definiëren nu: y i *=- d i * en tonen aan dat y i * de optimale oplossing is in het duaal probleem de finale winstfunctie bevat zowel sommige originele variabelen x j als sommige reserve-variabelen w i en is van de vorm Stel dat we dit probleem hebben opgelost met simplex dit komt erop neer dat we de gelijkheden hebben herschreven, en ook de winstfuntie

24 © W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012versie: 28/2/2012 03b. 24 Nieuw simplextableau: Voorbeeld: optimaal trofeeprobleem Interpretatie: in duaal optimum y 1 =0: opkoper betaalt niets voor voetballen y 2 =0: opkoper betaalt niets voor tennisballen y 3 =6: opkoper betaalt 6$ gedenkplaat y 4 =1.5: opkoper betaalt 1.5$ per dm 2 hout Nieuwe winstfunctie: 12 x 1 + 9 x 2 = 17700 - 6 x 5 - 1.5 x 6 op teken na: optimale originele veranderlijken y i in duaal probleem

25 © W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012versie: 28/2/2012 03b. 25 ….Bewijs Zie boek, zelfstudie (niet kunnen reproduceren, wel kunnen verklaren) 1.volgt door de herschreven winstfunctie in verband te brengen met de originele winstfunctie c t x 2.volgt ook daaruit 3.volgt uit 2. en uit de slide “controle van de optimaliteit” Belangrijk gevolg (ivm. sensitiviteitsanalyse): interpretatie duaal optimum de duaal optimale variabelen y i * zijn gelijk aan het tegengestelde van de winstcoëfficiënten van de reserve-variabelen in de finale winstfunctie van het primaal probleem: y i *=- d i * Het bewijs verloopt als volgt 1. y * is mogelijk in het duaal probleem 2.de kost van y * is gelijk aan de optimale winst in het primaal probleem 3. y * is optimaal in het duaal probleem reserve-variabelen die niet voorkomen in de winstfunctie van het finaal simplextableau hebben coëfficiënt 0 en de corresponderende y i *=0

26 © W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012versie: 28/2/2012 03b. 26 Dualiteit en standaardvorm Gegeven een primaal probleem niet in standaardvorm: maximaliseer c t x over x mits x  0 en Ax  b Besluit: duaal(standaard)=duaal  standaard(duaal) Wat is de standaardvorm van het duaal probleem? duaal probleem: minimaliseer b t y over y mits y  0 en A t y  c standaardvorm: minimaliseer b t y over y mits y, z  0 en A t y-z = c Wat is het duaal probleem van de standaardvorm van het primaal probleem? standaardvorm: maximaliseer c t x over x mits x, w  0 en Ax + w = b duaal: minimaliseer b t y over y mits c t x + 0 t w  (Ax + w) t y voor alle x, w  0 y willekeurig, want (Ax + w) t y = b t y voor alle y  A t y  c y  0 y willekeurig

27 © W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012versie: 28/2/2012 03b. 27 Complementary slackness Primaal probleem in standaardvorm maximaliseer c t x over x en w mits x  0, w  0 en Ax + w = b met originele veranderlijken x en reserveveranderlijken w Duaal probleem in standaardvorm minimaliseer b t y over y en z mits y  0, z  0 en A t y - z = c met originele veranderlijken y en reserveveranderlijken z Interpretatie: als originele veranderlijke x j  0 in het primaal optimum, dan is de corresponderende reserve-veranderlijke z j = 0 in het duaal optimum Interpretatie? (zelf!) “Complementary slackness”: x en y zijn optimaal in resp. primaal en duaal probleem x j z j =0 voor j =1… n y i w i =0 voor i =1… m 

28 © W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012versie: 28/2/2012 03b. 28 Bewijs “complementary slackness” Sterke dualiteit: c t x = b t y In bovenstaande sommen is elk van de termen niet-negatief Als één van de termen strikt positief zou zijn in het linkerlid, dan is het linkerlid strikt negatief, maar dat kan niet want het rechterlid is niet-negatief Besluit: elke term in het linkerlid is gelijk aan 0 en analoog: elke term in het rechterlid is gelijk aan 0 Wegens standaardvormen: c = A t y - z en b = Ax + w  x t A t y - x t z = x t A t y + w t y  x t c = b t y

29 © W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012versie: 28/2/2012 03b. 29 Overzicht Duale lineaire programma´s: waarvoor en waarom Dualiteitseigenschappen zwakke dualiteit sterke dualiteit “Complementary slackness” Opstellen van duale lineaire programma’s De duale simplexmethode

30 © W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012versie: 28/2/2012 03b. 30 Toepassing: duaal optimum Hoe vinden we het duaal optimum als we het primaal optimum kennen? Stel in primaal probleem: n onbekenden x j en m ongelijkheden  in standaardvorm: m vergelijkingen en n+m onbekenden Besluit: we hebben een stelsel van n+m vergelijkingen waarmee we de optimale waarden van alle n+m duale veranderlijken kunnen berekenen In het primaal optimum hebben we n+m-m = n NB-variabelen die allemaal 0 zijn de m B-variabelen zullen meestal > 0 zijn, maar sommigen kunnen =0 zijn als het optimaal extreem punt gedegenereerd is In geval van geen gedegeneerdheid zijn echter alle B-variabelen >0; er zijn dan dus m van de x j en w i -variabelen >0 (n.l. de B-veranderlijken) In het duaal optimum (in standaardvorm) zijn dan m van de z j en y i -variabelen =0 (complementary slackness) zijn er bovendien n vergelijkingen voldaan en dus in duaal probleem: m onbekenden y i en n ongelijkheden  in standaardvorm: n vergelijkingen en m+n onbekenden

31 © W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012versie: 28/2/2012 03b. 31 De duale simplexmethode Principe: duaal probleem D oplossen i.p.v. primaal probleem P en dan uit optimaal duaal simplextableau primaal optimum afleiden D 1 = D  D 2  …  D p  equivalente problemen verkregen via simplex-stap Legende P 1 = P P 2 … P p duale problemen Duale simplexmethode tijdens het oplossen van het duaal probleem D herschrijven we de kostfunctie en het stelsel vergelijkingen Het resulterend probleem D p is op zicht optimaal, maar is verder volledig equivalent met het origineel duaal probleem (zelfde mogelijke oplossingen en zelfde optimum) Minder triviaal: het duale probleem P p van D p is dan equivalent met P en is op zicht oplosbaar  equivalente problemen niet verkregen via simplex-stap     

32 © W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012versie: 28/2/2012 03b. 32 Voorbeeld … We zien hier dat y i =0, z 1 = z 2 =1 een initieel extreem punt is voor D 1 We gaan D 1 oplossen met simplex en in elke stap P k herschrijven zodat het duaal is aan D k en bovendien equivalent met P 1 Duaal (met alle y i ≥ 0): Primaal (met alle x j ≥0) Standaardvorm P1P1 3212 3211 321 341 221 784 yyyz yyyz yyy    max Standaardvorm D1D1

33 © W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012versie: 28/2/2012 03b. 33 Belangrijke oefening Opmerking vooraf: In het voorbeeld op de voorgaande slide is D 1 bij constructie de standaardvorm van de duale van het opgegeven primaal probleem bovenaan rechts Belang van de oefening: correct toepassen van de definitie van “duaal probleem” is niet eenvoudig Gevraagd: bereken het duaal probleem D ’ 1 van P 1 in D 1 alle y i ≥ 0 moeten zijn (definitie standaardvorm) terwijl in het duaal probleem van P 1 alle ingevoerde y i -veranderlijken in principe onbegrensd zijn (wegens enkel optreden van gelijkheden in P 1 )  hoe kunnen beide problemen dan equivalent zijn? controleer dat D ’ 1 en D 1 in essentie hetzelfde probleem beschrijven Dit illustreert dat de duale van een probleem in essentie onafhankelijk is van hoe het probleem wordt neergeschreven (in standaardvorm, met ongelijkheden, …)

34 © W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012versie: 28/2/2012 03b. 34 Opmerkingen In standaardvorm is de dualiteit zichtbaar onder de vorm van “negatieve transponering” P1P1 3212 3211 321 341 221 7840 yyyz yyyz yyy   +  max D1D1 Rijen van P 1 corresponderen met kolommen van D 1 en omgekeerd Definitie: duale variabelen: x 1  z 1 x 2  z 2 w 1  y 1 w 2  y 2 w 3  y 3 cfr. correspondentie rijen en kolommen cfr. ook “complementary slackness”

35 © W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012versie: 28/2/2012 03b. 35 …Voorbeeld… D 2 : resultaat van 1 simplexstap op D 1 P 2 : resultaat van x 1 naar B- en w 2 naar NB-variabele te converteren in P 1 Duaal: Primaal: 3212 3211 321 341 221 784 yyyz yyyz yyy    max P1P1 D1D1 P 2  P 1 (zelfde mogelijke oplossingen en herschreven kostfunctie) P 2  is duaal aan D 2 (controleer!) omdat we in de transformatie x 1 en w 2 gebruikten (de duale variabelen van z 1 en y 2 ) D2D2 simplex P2P2 herschrijven stelsel

36 © W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012versie: 28/2/2012 03b. 36 …Voorbeeld… D 3 : resultaat van 1 simplexstap op D 2 P 3 : resultaat van w 2 naar B- en w 3 naar NB-variabele te converteren in P 1 Duaal: Primaal: P3P3 P2P2 D2D2 D3D3 P 3  P 2 (zelfde mogelijke oplossingen en herschreven kostfunctie) P 3  is duaal aan D 3 (controleer!) omdat we in de transformatie w 2 en w 3 gebruikten (de duale variabelen van y 2 en y 3 )

37 © W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012versie: 28/2/2012 03b. 37 …Voorbeeld Situatie na de laatste simplexstap P 3 en D 3 zijn elkaars duale en ze zijn equivalent met de originele problemen D 3 is het eindresultaat van simplex op het probleem D 1 : er is geen winstverbetering meer mogelijk (want alle winstcoëfficiënten <0) Oplossing van D 3 en dus ook D 1 : y 1 = z 1 = y 2 =0 y 3 =1 z 2 =4 Duaal: Primaal: P3P3 D3D3 Opmerking: P 3 is hier op zicht oplosbaar initieel extreem punt: w 3 = x 2 =0 w 1 =18  0 x 1 =7  0 w 2 =6  0 geen verbetering mogelijk (want alle winstcoëfficiënten <0) Geen verbetering en dus optimaal!

38 © W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012versie: 28/2/2012 03b. 38 Voorbeeld Oplossing van P 3 en dus ook van P 1 : altijd op het zicht! initieel extreem punt: w 3 = x 2 =0 w 1 =18  0 x 1 =7  0 w 2 =6  0 geen verbetering mogelijk (want alle winstcoëfficiënten <0) Duaal: Primaal: P3P3 D3D3 Deze triviale situatie zal altijd optreden wegens “negatieve transponering”: constante elementen in P 3 zijn positief omdat coëfficiënten in winstfunctie van D 3 negatief zijn  nul stellen NB-variabelen geeft zeker extreem punt coëfficiënten in winstfunctie van P 3 zijn negatief omdat constante elementen in D 3 zijn positief zijn (omdat simplex extreme punten bezoekt)  zeker geen winstverbetering mogelijk Conclusie: het finale duale simplextableau geeft onmiddellijk het finale primale simplextableau via negatieve transponering

39 © W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012versie: 28/2/2012 03b. 39 Grafische evolutie De duale simplexmethode bezoekt basisoplossingen in het primaal probleem, die geen extreme punten zijn De basisoplossingen worden gaandeweg “minder onmogelijk” 24680 0 2 12 x1x1 x2x2 -2 -4 P1P1 P2P2 P3P3 3

40 © W. Philips, Universiteit Gent, 1998-2012versie: 28/2/2012 03b. 40 Samenvatting Duale simplexmethode voer simplex uit op het duaal probleem eens het duaal optimum bereikt, kunnen we in het simplextableau van het duaal probleem het primaal optimum afleiden geheugensteun: vorm door “negatieve transponering” het simplextableau van een probleem P n, dat equivalent is met het origineel primaal probleem dit simplextableau is gegarandeerd optimaal en je kan er het optimum uit aflezen Interpretatie als je op een intermediair simplextableau van het duaal probleem negatieve transponering toepast, dan krijg je een ongeldig tableau voor het primaal probleem ongeldig want het nul-stellen van de NB-veranderlijken leidt tot negatieve B-veranderlijken  hiermee correspondeert dus geen extreem punt door nulstellen van de NB-veranderlijken vind je wel een basisoplossing; de methode bezoekt dus niet extreme basisoplossingen