Interval a-8 ≤ x < 3 [ -8, 3 › b4 < x ≤ 4½ ‹ 4, 4½ ] c5,1 ≤ x ≤ 7,3 [ 5,1 ; 7,3 ] d3 < x ≤ π ‹ 3, π ] -83 l l ○● 44½4½ l l ○● 5,17,3 l l ● 3π l l ○● ≤

Presentatie over: "Interval a-8 ≤ x < 3 [ -8, 3 › b4 < x ≤ 4½ ‹ 4, 4½ ] c5,1 ≤ x ≤ 7,3 [ 5,1 ; 7,3 ] d3 < x ≤ π ‹ 3, π ] -83 l l ○● 44½4½ l l ○● 5,17,3 l l ● 3π l l ○● ≤"— Transcript van de presentatie:

1 Interval a-8 ≤ x < 3 [ -8, 3 › b4 < x ≤ 4½ ‹ 4, 4½ ] c5,1 ≤ x ≤ 7,3 [ 5,1 ; 7,3 ] d3 < x ≤ π ‹ 3, π ] -83 l l ○● 44½4½ l l ○● 5,17,3 l l ● 3π l l ○● ≤  [  ● <  ‹  ○ ● opgave 5 4.1

2 4½4½ l ○ ● ax ≤ 4½ ‹ , 4½ ] bx > -8 ‹ -8,  › -8 l Intervallen met oneindig 4.1

3 Stijgen en dalen constante stijgingtoenemende stijgingafnemende stijging constante dalingtoenemende dalingafnemende daling 4.1

4 opgave 7 -6-4-2 1 3 5 afnemend dalend op toenemend stijgend op afnemend stijgend op toenemend dalend op toenemend stijgend op afnemend dalend op

5 opgave 9 0 t C avoer in y 1 = x³ - 16x² + 64x neem bijvoorbeeld Xmin = 0, Xmax = 8, Ymin = -10, Ymax = 100 boptie maximum x ≈ 2,67 dus na 2 minuten en 40 seconden cvoer in y 2 = 20 optie intersect x ≈ 0,3 en x ≈ 6,2 dus in het tijdsinterval dOngeveer bij t = 5 gaat de grafiek over van toenemend dalend naar afnemend dalend. Dus na 5 uur neemt de daling af. 2,670,36,2 20 0,67 × 60 = 40 seconden 5

6 Toenamendiagram De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in een toenamendiagram 1. kies een stapgrootte 2. bereken voor elke stap de toename of afname 3. teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname 4. teken het staafje bij de rechtergrens (bv toename van 3  4 teken je het staafje bij 4 ) 4.2

7 opgave 11a 2-0,50,524 ∆y∆y [3,4][2,3][1,2][0,1][-1,0]∆x = 1 01234 1 2 3 4 x y..... Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval. 4.2

8 opgave 15a 0 x y........ Er zijn meerdere grafieken mogelijk.

9 opgave 19 a Op [0,24] is ∆T = -2 -2,5 +1 +3 +2,5 -0,5 -1,5 -2 = -2 Mieke heeft gelijk. bOp [12,21] is ∆T = 2,5 -0,5 -1,5 = 0,5 dus om 21.00 uur is T = 20 + 0,5 T = 20,5°C. Op [0,12] is ∆T = -2 -2,5 +1 +3 = -0,5°C. dus om 0.00 uur is T = 20 + 0,5 T = 20,5°C. -2 -2,5 +1 +3 +2,5 -0,5 -1,5 -2 om 12 uur is het 20°C. van 0.00-12.00 uur is het 0,5°C. gedaald

10 opgave 19c 0 3691215182124 t 16 17 18 19 20 21 22 23 T om 0.00 uur is het 20,5°C.......... -2 -2,5 +1 +3 +2,5 -0,5 -1,5 -2

11 opgave 21 -7-115 -5-44 -313 42 151 340 1 ∆yyx y = -x² + 2x + 4 012345 x ∆y∆y 3 2 1 -2 -3 -4 -5..... -7 m.b.v. GR kun je voor elke stapgrootte een tabel met x, y en ∆y opstellen om een toenamendiagram te tekenen.

12 Gemiddelde verandering per tijdseenheid De gemiddelde verandering van N per tijdseenheid is ∆N : ∆t Bij een tijd-afstand grafiek is ∆s : ∆t de gemiddelde snelheid. 4.3

13 opgave 25 248220 246418 242716 235614 222312 199310 16468 12146 7914 4622 2500 Nt a∆N op het interval [10,14] ∆N = 2356 – 1993 = 363 ∆t = 14 – 10 = 4 ∆N : ∆t = 363 : 4 = 90,75 bgemiddelde toename op [2,8] ∆N = 1646 – 462 = 1184 ∆t = 8 – 2 = 6 ∆N : ∆t = 1184 : 6 ≈ 197 cOp het interval [2,8] is de grafiek steiler dan op het interval [10,14]. dOp het interval [4,8] het grootst daar is de grafiek het steilst. Op het interval [10,20] het kleinst daar is de grafiek het minst steil. 101993 142356 2462 81646 197 90,75

14 herhaling Hoofdstuk 1 yByB y A 0 y · · x ∆x∆x ∆y∆y ∆y∆yomhoog ∆x∆xrechts dus r.c. = ∆y : ∆x xAxA xBxB A B y B – y A = ∆y x B – x A = ∆x 4.3

15 xAxA a xBxB b Het differentiequotiënt van y op het interval [x A,x B ] is x y A B ∆x ∆y ∆x ∆y y B – y A f(b) – f(a) ∆x x B – x A b - a differentiequotiënt = ∆y : ∆x = gemiddelde verandering van y op [x A,x B ] = r.c. = hellingsgetal van de lijn AB ==.. yAyA yByB f(b) f(a) 4.3

16 opgave 28 aGemiddelde snelheid op [-6,-4] is ∆K = 4 – 12 = -8 ∆P = -4 - -6 = 2 ∆K : ∆P = -8 : 2 = -4 Gemiddelde snelheid op [-2,2] is ∆K = 6 – 6 = 0 ∆P = 2 - -2 = 4 ∆K : ∆P = 0 : 4 = 0 bDifferentiequotiënt op [-5,0] is ∆K = 0 – 4 = -4 ∆P = 0 - -5 = 5 ∆K : ∆P = -4/5 differentiequotiënt op [-5,2] is ∆K = 6 – 4 = 2 ∆P = 2 - -5 = 7 ∆K : ∆P = 2/7 -6-4 12 4 -2 2 6 6 -5 0 0 2 6 4 ∆K K(b) – K(a) ∆P P(b) – P(a) =

17 opgave 33 x y 0 f aVoer in y 1 = x³ - 3x + 5 bGemiddelde toename op [1,3] ∆y = f(3) – f(1) ∆y = 23 – 3 = 20 ∆x = 3 – 1 = 2 ∆y : ∆x = 20 : 2 = 10 cDifferentieqoutiënt op [-2,4] ∆y = f(4) – f(-2) ∆y = 57 – 3 = 54 ∆x = 4 - -2 = 6 ∆y : ∆x = 54 : 6 = 9 dHellingsgetal op [-3,1] ∆y = f(1) – f(-3) ∆y = 3 - -13 = 16 ∆x = 1 - -3 = 4 ∆y : ∆x = 16 : 4 = 4

18 Snelheid bij een tijd-afstand grafiek Bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend is, benader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotiënt te berekenen op een klein interval. [a, a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0,001 4.3

19 s = 0,4t² s is de afgelegde weg in meters na t seconden t = 5 op [5 ; 5,01] ∆s 0,4 · 5,01² - 0,4 · 5² ∆t 0,01 de benadering van de snelheid op t = 5 is 4,00 m/s = = 4,004 opgave 35 s = 0,4t² s is de afgelegde weg in meters na t seconden t = 3 op [3 ; 3,01] ∆s 0,4 · 3,01² - 0,4 · 3² ∆t 0,01 de benadering van de snelheid op t = 3 is 2,40 m/s = = 2,404

20 opgave 38 012345 5 10 15 20 25 t s tijd-afstand grafiek s = -t² + 10t aDe gemiddelde snelheid op [2,5] ∆s 25 – 16 ∆t 5 – 2 ∆s 24 – 16 ∆t 4 – 2 ∆s 21 – 16 ∆t 3 – 2 ∆s 18,75 – 16 ∆t 2,5 – 2 bDe lijn AB 4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt. == 3 m/s == 4 m/s = 5 m/s = 5,5 m/s = = A B1B1 B2B2 B3B3 B4B4..... Hoe dichter B n bij A komt te liggen,hoe meer de lijn AB n op de lijn lijkt die de grafiek raakt. De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A. k Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt. 4.4

21 dy/dx voor x is x A Voor de rc. van de raaklijn in het punt A is er de notatie : [ ] dy dx x = x A y O x k A xAxA rc. van de raaklijn van de grafiek in A helling van de grafiek in A snelheid waarmee y verandert voor x = x A de GR bezit een optie om dydx te berekenen 4.4

22 opgave 41 at = 6 De raaklijn valt samen met de grafiek op het interval [2,10]. De raaklijn gaat door de punten (2, 80) en (10, 120). groeisnelheid is ∆l 120 – 80 ∆t 10 – 2 bDe raaklijn gaat door de punten (12, 140) en (16, 190). groeisnelheid is ∆l 190 – 140 ∆t 16 - 12 = 5 cm/jaar = = 12,5 cm/jaar = 80 120 140 190

23 opgave 41 cGemiddelde groeisnelheid van 0-18 jaar = (180-50) : 18 ≈ 7,2 cm/jaar dTeken de lijn door de punten (0, 50) en (18, 180). Deze lijn hoort bij de gemiddelde groeisnelheid van 0 tot 18 jaar. Verschuif deze lijn evenwijdig je vindt 3 raaklijnen die evenwijdig met k zijn : t ≈ 1,5 t ≈ 15 t ≈ 11 Dus bij de leeftijden van 1,5, 11 en 15 jaar is de groeisnelheid van Lotte gelijk aan 12,5 cm/jaar... 1,51511

24 [ ] opgave 43 Voer in y 1 = x² + x – 2 stel k : y = ax + b met a = = -1 dus k : y = -x + b f(-1) = -2 dus A(-1, -2) -2 = - -1 + b -2 = 1 + b -3 = b k : y = -x - 3 dy dx x = -1

25 . opgave 48 aVoer in y 1 = optie maximum top (1,5; 150) De inspanning duurde 1,5 minuut en de max.hartslagfrequentie is 150 slagen per minuut. bVoer in y 2 = 120 optie intersect x ≈ 3,67 Het duurt 3,67 – 1,5 = 2,17 minuten ≈ 130 seconden ≈ -13,6 De hartslag neemt af met 14 slagen per minuut. 200x² + 1200x + 450 4x² + 9 [ ] dF dt x = 3,67 0,17 x 60 ≈ 10 seconden F O t (1,5; 150) 120 3,67 1,5 150