Differentieer regels De afgeleide van een functie f is volgens de limietdefinitie: Meestal bepaal je de afgeleide niet met deze limietdefinitie, maar.

Presentatie over: "Differentieer regels De afgeleide van een functie f is volgens de limietdefinitie: Meestal bepaal je de afgeleide niet met deze limietdefinitie, maar."— Transcript van de presentatie:

1 Differentieer regels De afgeleide van een functie f is volgens de limietdefinitie: Meestal bepaal je de afgeleide niet met deze limietdefinitie, maar door te differentiëren. Je kent al een aantal differentieerregels: Differentieerregel 1 (machtsregel): Als f(x) = cxn dan is f'(x) = ncxn – 1 voor elke c en voor gehele positieve n. Differentieerregel 2 (constante-regel): Als f(x) = c dan is f'(x) = 0. Differentieerregel 3 (somregel): Als f(x) = u(x) ± v(x) dan is f'(x) = u'(x) ± v'(x).

2 Voorkennis f(x) = ax3 f’(x) = 3ax² g(x) = ax4 g’(x) = 4ax3 h(x) = ax5
oude exponent ervoor zetten f(x) = ax3 f’(x) = 3ax² g(x) = ax4 g’(x) = 4ax3 h(x) = ax5 h’(x) = 5ax4 algemeen geldt : k(x) = axn k’(x) = n · axn-1 nieuwe exponent 1 minder (4-1=3) 12.1

3 Voorkennis werkschema: het algebraïsch berekenen van extreme waarden
1 bereken f’(x). 2 los algebraïsch op f’(x) = 0. 3 voer de formule van f in op de GR plot en schets de grafiek kijk in de grafiek of je met max. en/of min. te maken hebt. 4 bereken de y-coördinaten van de toppen en noteer het antwoord in de vorm max. is f(…) = … en min. is f(…) = … raaklijn in een top is horizontaal  afgeleide is 0 12.1

4 De afgeleide functie Bij een functie hoort een hellingfunctie.
I.p.v. hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt. notatie : f’ (f-accent) regels voor de afgeleide : f(x) = a geeft f’(x) = 0 f(x) = ax geeft f’(x) = a f(x) = ax² geeft f’(x) = 2ax 7.1

5 voorbeeld f(x) = (2x – 7)(8 + x) f(x) = 16x + 2x² - 56 – 7x
eerst haakjes wegwerken voorbeeld f(x) = (2x – 7)(8 + x) f(x) = 16x + 2x² - 56 – 7x f(x) = 2x² + 9x – 56 f’(x) = 2 · 2x + 9 f’(x) = 4x + 9 dezelfde termen optellen somregel van differentiëren

6 Andere regels ?!? De productfunctie van f en g is dan: p(x) = f(x) · g(x) = x3 · x2. Je zou kunnen vermoeden dat de afgeleide van p gewoon het product is van f' en g': p'(x) = f'(x) ·g'(x) = 3x2 · 2x. Maar dat is fout! Immers p(x) = x5 en dus moet p'(x) = 5x4 zijn. Op dezelfde wijze kun je nagaan dat ook de quotiëntfunctie q(x) =  f(x) / g(x)  niet eenvoudig kan worden gedifferentieerd door de afgeleide van de teller f te delen door die van de noemer g.

7 De productregel De quotiëntregel 7.1

8 De productregel: Als p(x) = f(x) · g(x) dan is p'(x) = f'(x) · g(x) + f(x) · g'(x). Bewijs : Volgens de limietdefinitie van de afgeleide is:

9 v.b. productregel

10 f (x) = (4x2 – 1)(3x + 2) f’ (x) = 8x · (3x + 2) + (4x2 – 1) · 3
opgave 5a f (x) = (4x2 – 1)(3x + 2) f’ (x) = 8x · (3x + 2) + (4x2 – 1) · 3 Stel k : y = ax + b a = f’ (-1) = 17 k : y = 17x + b yA = f (-1) = -3 dus A(-1, -3). Dus k : y = 17x + 14. y = 17x + b -3 = 17 · -1 + b 14 = b

11 Opgave 7

12 Opgave 8

13 O(∆ABC) = ½ · AC · AB AC = OC – OA = 4 – p
opgave 9a O(∆ABC) = ½ · AC · AB AC = OC – OA = 4 – p AB = yB = f (p) = p2 – 2p + 3 Dus O = ½(4 – p)(p2 – 2p + 3) O = (2 - ½p)(p2 – 2p + 3)

14 opgave 9b In de schets van de grafiek van O als functie van p is te zien dat O maximaal is voor p =

15 De ABC-formule ax2 + bx + c = 0 De discriminant D = b2 – 4ac
D < 0 geeft geen oplossingen. D = 0 geeft 1 oplossing. D > 0 geeft 2 oplossingen. 12.2

16 Opgave 17

17 opgave 19 a Stel k : y = ax + b dus Dus 12.2

18 opgave 19 b rcraaklijn = -3, dus f’ (x) = -3 x2 = 1 x = -1 v x = 1 f(-1) = -5 en f(1) = 5 De raakpunten zijn (-1, -5) en (1, 5)

19 opgave 19 c f’ (x) = 0 geeft x2 = 4 x = -2 v x = 2 max. is f(-2) = -4 en min. is f(2) = 4

20 opgave 19 d f’ (x) = 2 geeft x2 = -4 Omdat een kwadraat niet negatief kan zijn, heeft de vergelijking x2 = -4 geen oplossingen. Dus er is geen raaklijn met rc = 2.

21 Opgave 23

22 opgave 24 a geeft f’ (x) = 0 geeft x = 4 f (4) = 4 · √4 – 3 · 4 = -4 Min. is f(4) = -4. b rcraaklijn = f’ (0) = 1½ · √0 – 3 = -3 Raaklijn y = -3x c rcraaklijn = 3 dus f’ (x) = 3 1½√x – 3 = 3 1½√x = 6 √x = 4  x = 16 f (16) = 16 dus A(16, 16) raaklijn l : y = 3x + b 16 = 3 · 16 + b -32 = b l : y = 3x - 32

23 De kettingregel: Als s(x) = f (g(x)) dan is s‘ (x) = f‘ (g(x)) · g‘ (x). Bewijs : Volgens de limietdefinitie van de afgeleide: Verder is g(x + h) ≈ g(x) + h · g'(x) (lineaire benadering van functie g). En dus: Als h naar 0 nadert, dan nadert ook h · g'(x) naar 0 (als g'(x) bestaat.) En daarom vind je: s'(x)=f'(g(x))⋅g'(x) .

24 v.b. kettingregel

25 De kettingregel Kettingregel:
De afgeleide van een kettingfunctie is het product van de afgeleiden van de schakels De kettingregel Kettingregel: Ga bij het berekenen van de afgeleide van een kettingfunctie y = f (x) als volgt te werk. Schrijf f als een ketting van twee functies. Bereken van ieder van de twee functies de afgeleide. Druk het product van de afgeleide functies uit in x. 12.3

26 Opgave 29

27

28 y opgave 31 a f (x) = (½x2 - 2x)3 b Stel y = (½x2 – 2x)3 = u3 met u = ½x2 – 2x en f’ (x) = 3u2 · (x – 2) = 3(½x2 – 2x)2 · (x – 2) f’ (x) = 0 geeft 3(½x2 – 2x)2 · (x – 2) = 0 ½x2 – 2x = 0 v x – 2 = 0 x(½x – 2) = 0 v x = 2 x = 0 v x = 4 v x = 2 c Stel l : y = ax + b a = f’ (6) = 3(½ · 62 – 2 · 6)2(6 – 2) = 432 dus l : y = 432x + b yA = f(6) = (½ · 62 – 2 · 6)3 = 216 dus A(6, 216) f x O 216 = 432 · 6 + b 216 = b -2376 = b l : y = 432x

29 Opgave 35

30 Opgave 32

31 Opgave 38

32 Sinus, cosinus en tangens
y sos cas toa P (xP,yP) PQ OP yP 1 1 1 sin α = = = yP cos α = = = xP tan α = = yP α OQ OP xP 1 x ∟ O xP Q A (1,0) yp xp PQ OQ 12.4

33 De exacte-waarden-cirkel
12.4

34 ∙ ∙ ∙ ∙ opgave 43 Los op f (x) = 0 met domein [0, 2π].
sin2(x) + sin(x) = 0 sin(x)(sin(x) + 1) = 0 sin(x) = 0 v sin(x) = -1 x = k · π v x = 1½π + k · 2π Op domein [0, 2π] geeft dat de nulpunten x = 0 v x = π v x = 2π v x = 1½π f (x) ≤ 0 geeft x = 0 v π ≤ x ≤ 2π. y f ∙ ∙ ∙ ∙ x O ½π π 1½π 2π

35 opgave 46a 2 sin (½x) = 1 sin (½x) = ½ ½x = π + k · 2π v ½x = π + k · 2π x = π + k · 4π v x = π + k · 4π y 1 π π sinα = yP α x -1 O 1 -1

36 De afgeleide van y = sin(x) en y = cos(x)
f (x) = sin(x) geeft f’ (x) = cos(x) g (x) = cos(x) geeft g’ (x) = -sin(x) opgave 52a f (x) = cos(2x) Stel f (x) = cos(2x) = cos(u) met u = 2x f’ (x) = f’ (x) = -sin(u) · 2 f’ (x) = -sin(2x) · 2 = -2 sin(2x) 12.5

37 opgave 52b g (x) = x cos(x) g’ (x) = [x · cos(x)]’ g’ (x) = [x]’ · cos(x) + x · [cos(x)]’ g’ (x) = 1 · cos(x) + x · - sin(x) g’ (x) = cos(x) – x sin(x) g’

38 opgave 55b g (x) = x2 sin(3x) g’ (x) = [x2 · sin(3x)]’ g’ (x) = [x2]’ · sin(3x) + x2 · [sin(3x)]’ g’ (x) = 2x · sin(3x) + x2 · 3 cos(3x) g’ (x) = 2x sin(3x) + 3x2 cos(3x) g’

39 j’ opgave 57d j (x) = x + 3 sin2(x) j’ (x) = [x + 3 (sin(x))2]’
j’ (x) = · 2 sin(x) · cos(x) j’ (x) = sin(x) · cos(x) j’ 12.5

40 In de praktijk gaat het bij problemen vaak om het vinden van een maximum of minimum.
Voorbeelden van optimaliseringsproblemen zijn: Bij welke afmetingen is de oppervlakte bij een gegeven omtrek het grootst ? Wat zijn de afmetingen van de doos met de grootste inhoud die je uit een gegeven rechthoekig stuk karton kunt maken ? Bij welke route horen de laagste kosten ? 12.6

41 opgave 65a 72 dm3 Stel de hoogte is h dm. K = kosten bodem + kosten zijkanten

42 opgave 65b geeft geeft geeft Dus K is minimaal bij de afmetingen 6 bij 3 bij 4 dm. De minimale kosten zijn = 21,6 euro

43 opgave 67 €10 De oppervlakte is x · y = 75 dus y = De kosten van de afrastering zijn K = 10x + 20(x + 2y) = 30x + 40y K = 30x + 40 · = 30x + = [30x x-1]’ = 30 – 3000x-2 = 30 – = 0 geeft 30 = 30x2 = 3000 x2 = 100 x = 10 v x = -10 De kosten zijn minimaal bij de afmetingen 10 m en 7½ m. x €20 €20 y €20 x x x dK dx y x2 dK dx dK dx x2 x 10

44 opgave 68a K = kosten langs het bos + kosten in het weiland K = y · 60 + (x + y) · 15 K = 60y + 15x + 15y K = 15x + 75y O = xy O =1200

45 opgave 68b geeft geeft geeft Dus kosten zijn minimaal bij de afmetingen 77,5 bij 15,5 m. De minimale kosten zijn ≈ 2324 euro

46 opgave 68c geeft Voer in De optie intersect geeft x ≈ 52,60 en x ≈ 114,1 geeft geeft Aangezien Wunderink de rechthoek minder lang en smal wil zal hij kiezen voor de afmetingen 52,6 bij 22,8 m.

47 K r opgave 70 a De inhoud is I = πr2h , dus 500 = πr2h. dus h =
De materiaalkosten zijn K = πr2 · πr2 · πr · 1 · πrh · 1 = 3πr2 + 4πr + 2πrh . K = 3πr2 + 4πr + 2πr = 3πr2 + 4πr + Voer in y1 = 3πx2 + 4πx + De optie minimum geeft x ≈ 3,5. De materiaalkosten zijn minimaal bij de afmetingen r ≈ 3,5 cm en h ≈ 12,6 cm. πr2 onderkant bovenkant rand van deksel mantel πr2 r K b x 445,1 r 3,5

48 г l l opgave 72 a AC + BC = 12 – x Omdat AC = BC is AC = = 6 - ½x
b Pythagoras in ∆ADC : CD 2 + AD 2 = AC 2 CD 2 = AC 2 – AD 2 CD 2 = (6 - ½x)2 – (½x)2 CD 2 = 36 – 6x + ¼x2 - ¼x2 = 36 – 6x CD = √(36 – 6x) c O = ½ · AB · CD O = ½x √(36 – 6x) 12 - x 2 г l l D x

49 Opgave 73 200-x

50 Opgave 75a&b

51 Opgave 75c&d

52 Opgave 75c&d

53 Opgave 76

54 Opgave 77

55 Opgave 79