Download de presentatie
De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub
GepubliceerdRudolf Abbink Laatst gewijzigd meer dan 10 jaar geleden
1
1 Datastructuren Sorteren: alleen of niet alleen vergelijkingen (II) College 6
2
2 Vergelijkingsgebaseerde algoritmen Enige operaties op objecten zijn: A[i] A[j]; A[i] A[j]; A[i] A[j]; A[i]==A[j] Verplaatsingen Voorbeelden: Quicksort, Randomized Quicksort, Heapsort, Bubblesort, Insertionsort, … Allemaal gebruiken ze (n log n) tijd: (n log n) worst case: Heapsort (…) (n 2 ) worst case, (n log n) gemiddeld: Randomized Quicksort (n 2 ) worst case en gemiddeld: Bubble sort
3
3 Vorige keer Een aantal algoritmen die NIET vergelijkingsgebaseerd zijn: Counting sort Radix sort Bucket sort Deze gebruiken eigenschappen van de waardes: kijken binnenin de waardes Zijn dan – als die eigenschappen gelden – sneller: O(n) tijd (worst case, verwacht, …) Werken dus alleen zo snel als die eigenschappen gelden!!!
4
4 Vandaag Ondergrens voor vergelijkings-gebaseerd sorteren (comparison sorts) Vandaag Datastructuren
5
5 De vraag Vraag: zouden er sorteeralgoritmen die minder dan (n lg n) tijd gebruiken? O(n), O(n lg lg n), O(n (lg n)) ? Het antwoord is JA en NEE JA – als we extra aannamen kunnen maken over de input en die gebruiken NEE – als we dat niet kunnen Datastructuren
6
6 ONDERGRENZEN VOOR SORTEREN Vijf Datastructuren
7
7 Vergelijkingsgebaseerd sorteeralgoritme (herhaling) In een vergelijkingsgebaseerd sorteeralgoritme (comparison sort) zijn de enige operaties die op de data worden uitgevoerd: Vergelijkingen: A[i] A[j]; A[i] A[j]; A[i] A[j]; A[i]==A[j] Verplaatsingen De data worden verder niet bekeken om extra informatie er uit te halen waar we de loop van het programma mee beïnvloeden Datastructuren
8
8 Allemaal verschillende elementen We bewijzen: vergelijkingsgebaseerde algoritmen moeten op sommige inputs lg(n!) = (n lg n) vergelijkingen doen We nemen in het bewijs aan dat alle elementen in de array (van lengte n) verschillend zijn Algoritme moet immers dan ook correct werken Datastructuren
9
9 De stelling Stelling Voor ELK vergelijkingsgebaseerd algoritme A: er is een constante c, zodat voor elke n er een input met n elementen is waar A cn lg n vergelijkingen uitvoert (en dus kost A n lg n) tijd)
10
10 Model van algoritme: Beslissingsboom Binaire boom, met Elke knoop heeft twee of nul kinderen Elke interne knoop is gelabeld met een vergelijkingstest: welke twee (verschillende) elementen (uit oorspronkelijk array) worden met elkaar vergeleken? Links: als 1 e element het kleinste is Rechts: als 2 e element het kleinste is Bij een blad... Tja … wat doen we daar? Datastructuren
11
11 Beslissingsboom voor Insertion Sort op 3 elementen Datastructuren INSERTION-SORT(A) for j = 2 to lengte(A) do key = A[j] i = j – 1; while i > 0 and A[i] > key do A[i+1] = A[i] i = i – 1; A[i+1] = key 1:2 2:3 1:3 2:3 456 465564 546 645654 In de bladeren staan voorbeelden van inputs die daar terecht komen
12
12 Bladeren gemarkeerd met een permutatie Datastructuren 1:2 2:3 1:3 2:3 {1,2,3} {1,3,2}{2,3,1} {2,1,3} {3,1,2} {3,2,1}
13
13 Over beslissingsbomen Als twee inputs dezelfde ordening hebben, komen ze in hetzelfde blad Bijvoorbeeld: (4,6,5) of (10, 30, 20) of (2, 47, 42) Er kunnen testen zich herhalen (bijvoorbeeld in bubble sort) Er kunnen bladeren zijn waar je nooit terecht kan komen (komt ook in bubble sort voor) Niet zo belangrijk hoe je precies test (i<j of j<i) etc. Markeer bladeren met de permutaties die daar terecht komen
14
14 Hooguit één permutatie in een blad Als twee inputs in hetzelfde blad terecht komen, worden dezelfde data-bewegingen uitgevoerd De inputs worden op dezelfde manier gepermuteerd! Prima, als we dezelfde sortering op de inputs hebben (als {4,6,5}, {1,3,2} of {12, 49, 25}) Niet prima, als de inputs anders gesorteerd zijn: want dan is minstens één antwoord fout In elk blad van de boom staat hooguit één permutatie van {1,2,3,…,n} Datastructuren
15
15 Diepte van beslisbomen versus vergelijksgebaseerd sorteren Elke permutatie moet voorkomen in een blad van de beslisboom Elk blad van de beslisboom heeft hooguit 1 permutatie Als er een permutatie in een blad met diepte r zit moeten voor die permutatie r vergelijkingen worden uitgevoerd Er zijn n! permutaties Diepte van een boom met n! bladeren is ondergrens voor vergelijkingsgebaseerd sorteren
16
16 Diepte van beslisboom Als een binaire boom diepte r heeft, heeft de boom maximaal 2 r bladeren Bewijs met inductie naar r. Triviaal als r=0; als r>0, dan wortel heeft twee kinderen met bomen met diepte r-1, dus 2 r-1 + 2 r-1 bladeren Een beslisboom voor sorteren van n elementen heeft minstens n! bladeren, dus heeft diepte minstens lg(n!) = (n lg n) lg(n!) < lg(n n ) = n lg n lg(n!) > lg((n/2) n/2 ) = n/2 * (log n/2) = n/2 * (log n – 1) = (n lg n) Want n! > n/2 * (n/2+1) * … * (n-1) * n > (n/2) n/2 Datastructuren
17
17 Stelling Stelling: Elk vergelijksgebaseerd algoritme gebruikt voor sommige inputs van lengte n (n lg n) vergelijkingen en dus (n lg n) tijd. Gevolg: heapsort en merge sort zijn “asympthotisch optimaal”. Datastructuren
18
18 CONCLUSIES Vijf Datastructuren
19
19 Sorteren Zonder gebruik te maken van speciale eigenschappen van input: (n lg n) Ondergrensbewijs: aantal vergelijkingen Met gebruik van speciale eigenschappen: Sneller, vaak O(n) Counting Sort Radix Sort Bucket Sort Maar natuurlijk alleen voor inputs die zulke eigenschappen hebben
20
20 Conclusies In de praktijk worden soms hybride methodes gebruikt Uiterst slimme methoden om heel weinig elementen zo snel mogelijk te sorteren Overstappen van ene sorteermethode naar andere ergens gedurende algoritme Voor implementatie van sommige van deze algoritmen (en voor heel veel andere toepassingen) hebben we lijsten nodig Later kijken we naar implementaties van lijsten en speciale versies: queues en stacks
Verwante presentaties
© 2024 SlidePlayer.nl Inc.
All rights reserved.