Coördinaten Transformaties

Presentatie over: "Coördinaten Transformaties"— Transcript van de presentatie:

1 Coördinaten Transformaties
‘

2 Matrices Een matrix is een rechthoekige set getallen
We stellen de matrix voor met een hoofdletter A in dit geval Het element op de i-de rij en j-de kolom geven we aan met aij. Merk op dat de index in dit geval begint bij 1 (dat is gebruikelijk voor de indices i, j en k. Voor a en b gaat de index over 0, 1, 2 en 3.

3 Matrices – Optellen Gegeven twee matrices A en B als we B optellen bij A (dat is de vorm A+B) dan als A is (nm), moet B ook (nm), anders is A+B is niet gedefinieerd De optelling produceert het resultaat , C = A+B, met elementen:

4 Matrices – Vermenigvuldigen
Gegeven twee matrices A en B als we B vermenigvuldigen met A (dat is de vorm AB) dan als A (nm) is, moet B (mp) zijn, d.w.z. het aantal kolommen van A moet gelijk zijn aan het aantal rijen van B. Anders is AB niet gedefinieerd. De vermenigvuldiging produceert het resultaat C = AB, met elementen: (In feite vermenigvuldigen we de eerste rij van A met de eerste kolom van B en stoppen het resultaat in element c11 van C. Enzovoort...).

5 Matrices – Vermenigvuldigen (voorbeelden)
26+ 63+ 72=44 In indexnotatie Undefined! 2x2 x 3x2 2!=3 2x2 x 2x4 x 4x4 is toegestaan. Resultaat is een 2x4 matrix

6 Matrices – Opmerkingen
Er geldt AB ≠ BA Matrix vermenigvuldiging is additief: A(B+C) = AB + AC Eenheidsmatrix voor vermenigvuldiging is I. De getransponeerde van een matrix A wordt aangegeven met AT en wordt verkrijgen door omwisselen van rijen en kolommen van A:

7 2D Geometrische Transformaties
Translatie Rotatie Schalen Shear

8 Translatie van vectoren
Stel we hebben vector en willen een translatie uitvoeren met vector . De nieuwe vector wordt gevonden uit de som In matrixvorm:

9 Schalen van een vector We kunnen een vector schalen met sx langs de x as en met sy langs de y met matrixvermenigvuldiging Hierbij kunnen we “schaalfactoren” gebruiken Om de grootte van de vector te verdubbelen hebben we schaalfactor 2, om te halveren gebruiken we schaalfactor 0,5 y sy y sx x x Definieer , dan krijgen we

10 Rotatie van vectoren We draaien een vector over een hoek  : P’(x’,y’)
l y’   O x’ x Componenten transformeren Als we van stelsel O naar O’ transformeren, is dit ook hoe de eenheidsvectoren transformeren

11 Voorbeeld coördinatentransformatie:
We roteren het coördinatenstelsel over een hoek  : vectorcomponenten transformeren basisvectoren transformeren Vector is onafhankelijk van coördinatenstelsel

12 Poolcoördinaten We hadden ook

13 Poolcoördinaten Vector is onafhankelijk van coördinatenstelsel
We hadden ook Vector is onafhankelijk van coördinatenstelsel