Van Planck tot Dirac: de wonderlijke historie van de kwantummechanica

Presentatie over: "Van Planck tot Dirac: de wonderlijke historie van de kwantummechanica"— Transcript van de presentatie:

1 Van Planck tot Dirac: de wonderlijke historie van de kwantummechanica
Aan de hand van originele artikelen Erik Lagendijk HOVO TU Delft najaar 2008

2 Van Planck tot Dirac in vijf lessen
Een wanhoopsdaad Zeer revolutionair Tot wanhoop gedreven Iedere golf zijn golfvergelijking Spin en antideeltjes

3 To be OR not to be That’s NOT the question.
The question is: how to be AND not to be?

4 De artikelen en hun schrijvers
Max Planck Über das Gesetz der Energieverteilung im Normalspektrum, Annalen der Physik 4 (1901) (Eng. vertaling ) Albert Einstein Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffende heuristischen Gesichtspunkt , Annalen der Physik 17 (1905) (Ned. vertaling Eng. vertaling ) Niels Bohr On the Constitution of Atoms and Molecules, Philosophical Magazine 26 (1913) Louis de Broglie Ondes et quanta, C. R. Acad. Sci. 177 (1923) (ook en ) (Eng. vertaling Dit is een samenvatting van resultaten uit zijn proefschrift: Recherches sur la théorie des quanta. Thèse de doctorat soutenue à Paris le 25 novembre 1924 Ann. Phys. Sér. 10e III, 22 (Eng. vertaling Werner Heisenberg Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen, Zs. Phys. 33 (1925) (Eng. vert. B. L. van der Waerden, "Sources of Quantum Mechanics," Dover, 1968, ISBN ) Erwin Schrödinger Quantisering als Eigenwertproblem (erste Mitteilung), Ann. d. Phys. 79 (1926) (Eng. vertaling E. Schrodinger, Collected Papers on Wave Mechanics, Chelsea Pub. Co., 1982) Paul Dirac The Quantum Theory of the Electron, Proc. Roy. Soc. A 117 (1928)

5 Van Planck tot Dirac in vijf lessen
Eerste les Een wanhoopsdaad

6 Planck: “Een wanhoopsdaad”
In zijn historisch artikel over zwarte straling van december 1900 maakt Max Planck voor het eerst gebruik van statistische redeneringen. Dit was een moeilijke stap, “Een wanhoopsdaad” zoals hij het later zou noemen. Maar hij zette de stap weloverwogen en betreurde hem nooit. Zoals hij aan von Laue schreef in 1934: “Mijn leidraad is altijd: overweeg iedere stap zorgvuldig vooraf, maar als je er dan de verantwoordelijkheid voor durft te nemen, laat je dan door niets weerhouden.”

7 “Een wanhoopsdaad” Planck levensloop
1858 Geboren in Kiel, Duitsland, waar zijn vader hoogleraar in de rechten is. 1874 Studie natuurkunde aan de Münich Universität (keuze voor natuurkunde in plaats van muziek ondanks “In de natuurkunde valt niets meer te ontdekken, die wetenschap is af”). 1879 Promotie “Über den zweiten Hauptsatz der mechanischen Wärmetheorie” (aandacht: “gleich null”). 1880 Habilitation, privatdozent in München. 1885 Lector in Kiel. 1887 Trouwt met Marie Merk.4 kinderen: Karl, de tweeling Grete en Emma en Erwin. 1909 Marie Merk sterft (tbc?). 1911 Hertrouwt met Marga von Hösslin. 1 zoon: Hermann. 1914 Zoon Karl sneuvelt bij Verdun. 1914 Zoon Erwin krijgsgevangene. 1917 Tweelingdochter Grete sterft bij bevalling. 1919 Tweelingdochter Emma sterft bij bevalling. 1945 Zoon Erwin geëxecuteerd door de Nazi's wegens deelname aan de aanslag op Hitler van juli 1944.

8 1889 Hoogleraar in Berlijn aangesteld bij de “Physikalisch-Technischen Reichsanstalt” als huistheoreticus. Pakt het probleem van de “zwarte straling” op. 1900 Gebruikt de Boltzmann statistiek als wanhoopsdaad en introduceert en passant het kwant bij de theoretische afleiding van zijn eerder gepubliceerde empirisch gevonden stralingswet. 1907 Publiceert als een van de eersten over de speciale relativiteitstheorie van Einstein. 1914 Haalt Einstein naar Berlijn. Tekent het “Manifest van de 93 intellectuelen”. 1918 Nobelprijs. 1926 Met emeritaat. Erwin Schrödinger is zijn opvolger. 1934 Neemt niet openlijk afstand van het gedwongen ontslag van joodse collega’s. Heeft wel een persoonlijke ontmoeting met Hitler over het geval Haber. Wordt door de Nazi’s gewantrouwd (“witte jood”) omdat hij de theorieën van Einstein e.a. blijft doceren en joodse wetenschappers aan een baan probeert te helpen. 1938 Pruisische academie overgenomen door de Nazi’s, neemt ontslag als voorzitter. 1944 Huis in Berlijn verwoest door bommen, persoonlijk archief gaat verloren. 1947 Sterft in Göttingen.

9 “Een wanhoopsdaad” Drijfveer
„Dabei ist von wesentlicher Bedeutung, daß die Außenwelt etwas von uns Unabhängiges, Absolutes darstellt, dem wir gegenüberstehen, und das Suchen nach den Gesetzten, die für dieses Absolute gelten, erschien mir als die schönste wissenschaftliche Lebensaufgabe.“ Max Planck, Wissenschaftliche Selbstbiographie, 1948

10 “Een wanhoopsdaad” Etwas Abolutes: de tweede hoofdwet van de thermodynamica
Waarneming (Mayer, Joule): warmte is een vorm van energie, maar.. niet alle processen die voldoen aan energiebehoud (eerste hoofdwet dU=dQ-dW) treden op! Veel processen verlopen onomkeerbaar (irreversibel): een afgekoeld kop koffie wordt niet meer (spontaan) warm, een gevallen steen komt niet meer (spontaan) omhoog. U wordt alleen ouder, nooit jonger. Tweede hoofdwet (Clausius) Warmte kan niet spontaan overgaan van een materiaal bij een lagere temperatuur naar een materiaal bij een hogere temperatuur. T1 < T2 (Kelvin-Planck) Het is onmogelijk warmte geheel in arbeid om te zetten. (Clausius) Ieder spontaan proces in een geïsoleerd systeem doet de entropie van het systeem toenemen.

11 Warmtemachines (stoommachine, benzinemotor, …) doorlopen kringprocessen, waarbij (verbrandings)warmte wordt omgezet in (mechanische) arbeid. Het maximale rendement (verrichte arbeid W gedeeld door de toegevoerde warmte Q) wordt bereikt in een Carnot cyclus. Dit is een reversibele (omkeerbare) kringloop. en dus: voor een ideaal gas kunnen we met de gaswetten bewijzen: Rendement De conclusies: zijn onafhankelijk van de doorlopen (reversibele!) cyclus en onafhankelijk van de substantie. (geen warmtemachine heeft 100% rendement) en

12 De conclusie betekent dat de grootheid niet verandert in een reversibel kringproces. Dit kunnen we ook schrijven als . Definiëren we als het verschil in entropie van de toestanden a en b, dan is ΔS onafhankelijk van het gevolgde pad van a naar b, als het pad reversibel is. Dat betekent we aan S bij iedere toestand een eenduidig bepaalde waarde kunnen geven. De entropie S is dan een toestandsfunctie, net zoals de inwendige energie U. De waarde van S wordt verder vastgelegd door de derde hoofdwet (wet van Nernst): S=0 bij T=0. Daaruit volgt: Tweede hoodfdwet: de entropie S neemt toe bij ieder kringproces, tenzij dit reversibel is. Omdat alle processen in de praktijk irreversibel zijn (wrijving!), neemt de entropie van het heelal steeds toe. Uiteindelijk bereikt het heelal zijn maximale entropie en dan zijn geen irreversibele processen meer mogelijk. Het heelal sterft een warmtedood.

13 “Een wanhoopsdaad” Entropie volgens Boltzmann
Boltzmann gaat uit van een mechanisch-atomistisch wereldbeeld. Op microscopische (atomaire) schaal zijn de verschijnselen reversibel. Probleem: hoe kunnen zij op macroscopische schaal dan irreversibel zijn? Of: waarom kan de entropie alleen maar toenemen? Oplossing: de mechanica van zeer veel deeltjes (statistische mechanica) voorspelt dat de irreversibiliteit van bepaalde processen overweldigend meer waarschijnlijkheid heeft dan de reversibiliteit. “Der Anfangszustand wird in den meisten Fällen ein sehr unwahrscheinlicheren sein, von ihm wird das System immer wahrscheinlicheren Zuständen zueilen, bis es endlich den wahrscheinlichsten, d.h. den des Wärmegleichgewichtes, erreicht hat. Wenden wir dies auf den zweiten Hauptsatz an, so können wir diejenige Größe, welche man gewöhnlich als die Entropie zu bezeichnen pflegt, mit der Wahrscheinlichkeit des betreffenden Zustandes identifizieren.“ S=klogW De tweede hoofdwet krijgt een relatieve status, tot afschuw van velen, waaronder Planck.

14 “Een wanhoopsdaad” Zwarte Straler
Kirchhoff: een zwarte straler is een lichaam dat alle straling die erop valt absorbeert. Voorbeelden: een bol met een kleine opening, de zon, steenkool, … De stralingsenergie die een lichaam in thermodynamisch evenwicht uitzendt tussen de golflengtes λ en λ+dλ kunnen we schrijven als udλ, waarin u de stralingsdichtheid is. Vergelijk: massa is ρdV. Kirchhoff toont met behulp van de thermodynamica aan dat u voor een zwarte straler afhangt van de golflengte λ en van de (absolute) temperatuur T, maar niet van de aard van het lichaam. (“…etwas von uns Unabhängiges, Absolutes …“) Daarmee kunnen we de temperatuur van een zwart lichaam, bijvoorbeeld de zon, bepalen door de straling te meten. Ook technisch is u van belang: hoe haal ik zoveel mogelijk energie uit mijn lamp. De Physikalisch-Technischen Reichsanstalt in Berlijn, waar Planck is aangesteld als “huistheoreticus” doet veel onderzoek op dit terrein, niet alleen theoretisch maar ook experimenteel.

15 Stefan (experimenteel) en Boltzmann (thermodynamisch) leiden een formule af voor de totale stralingsenergie bij een gegeven temperatuur T: E(T)=∫uρ(λ,T)dλ=σT4. Wien toont aan (verplaatsingswet): u(λ,T) =λ-5 f(λT) of u(f,T)=f3F(f/T). f is de frequentie, in de oudere literatuur meestal als ν (Griekse nu) geschreven. Uit de verplaatsingswet volgt dat de golflengte λmax waarbij u maximaal is omgekeerd evenredig is met T. Wien leidt ook een formule voor de stralingsdichtheid af: u(λ,T) =aλ-5 exp(-b/(λT)). Deze stralingswet blijkt tot ca 1900 redelijk met het experiment in overeenstemming.

16 Planck is niet tevreden met de afleiding van Wien en maakt een nieuwe.
Maar dan tonen experimenten in de Reichsanstalt aan dat de wet van Wien niet opgaat bij grote golflengtes! In plaats van een exponentiële afhankelijkheid van T wordt – in benadering – een lineaire afhankelijkheid waargenomen bij grote golflengtes. Apparaat van Lummer en Kurlbaum, 1898 Planck gaat onmiddellijk aan de slag en na een korte periode (“De meest enerverende van mijn leven”) komt hij met een nieuwe stralingswet.

17 “Een wanhoopsdaad” Planck’s interpolatieoplossing
Planck gaat uit van de thermodynamische relatie dS=dρ/T dus als de entropie S bekend is kunnen we de stralingsdichtheid ρ bepalen. Omgekeerd als ρ bekend is kunnen we S bepalen. Hij heeft eerst een S bepaald die de stralingswet van Wien geeft. Die S is dus niet goed. Nu bepaalt hij de S die behoort bij een ρ die lineair afhankelijk is van T en hij interpoleert vervolgens tussen beide. Uit de S die hij dan krijgt leidt hij de volgende stralingswet af: u(f,T) :: f 3/(ehf/kT-1) Deze wet past naadloos bij de experimentele gegevens. u is van de gedaante f 3F(f/T) dus u voldoet aan Wien’s verplaatsingswet. Bij grote f (kleine λ) valt -1 weg en we krijgen Wien’s stralingswet. Bij kleine f (grote λ) kunnen we ex vervangen door 1+x en dan is u evenredig met f2T, dus lineair afhankelijk van T. Integreren over f : E(T) :: T4 dus u voldoet aan de wet van Stefan-Boltzmann. Dat is mooi, maar de afleiding is krakkemikkig. Dus gaat Planck op zoek naar een nieuwe afleiding. In die zoektocht wordt het kwant geboren.

18 “Aber selbst wenn man ihre absolut genaue Gültigkeit voraussetzt, würde die Strahlungformel lediglig in der Bedeutung eines glücklich erraten Gesetzes doch nur eine formale Bedeutung besitzen. Darum war ich von dem Tage ihrer Aufstellung an mit der Aufgabe beschäftigt, ihr einen wirklichen physikalischen Sinn zu verleihen, und diese frage führte mich von selbst auf die Betrachtung des Zusammenhangs zwischen Entropie und Wahrscheinlichkeit, also auf Boltzmannsche Gedankengange. Da die Entropie S eine additive, die Wahrscheinlichkeit W aber ein multiplikative Größe ist, so setze ich einfach SN=k log W… [Deze formule verschijnt dan voor het eerst in de literatuur!] (Max Planck, Wissentschaftliche Selbstbiographie, 1948, posthuum) In wanhoop bekeert Planck zich tot Boltzmann. Maar om Boltzmann’s statistische mechanica te kunnen toepassen moet hij kunnen tellen. Daarom kwantiseert hij de wisselwerking tussen straling en materie. “Ik moest een resultaat bereiken, tot iedere prijs.”

19 “Een wanhoopsdaad” Intermezzo: equipartitie
Boltzmann had thermodynamisch bewezen: voor iedere vrijheidsgraad van een deeltje is ½kT thermische energie beschikbaar (equipartitie) Rayleigh past in 1900 equipartitie toe op straling en vindt (met een correctie door Jeans) als stralingswet: Dit is dus de grote golflengte limiet van de wet van Planck. De wet voorspelt dat u naar oneindig gaat als de frequentie naar oneindig (golflengte naar nul) gaat. Pas omstreeks 1906 dringt door dat deze wet onverbiddelijk volgt uit de klassieke theorie. Ehrenfest 1911: “ultraviolet catastrofe” “Gelukkig” gelooft Planck in 1900 niet in de toepassing van de equipartitiewet op straling.

20 “Een wanhoopsdaad” Intermezzo: het atoombegrip
Waarom is het kwant ontdekt bij de verklaring van de zwarte straling en niet bij de verklaring van de lijnspectra van atomen, zoals de Balmerreeks van waterstof? Het atoombegrip is in 1900 nog omstreden. “Energetici” als Ostwald en Mach ontkennen het bestaan van atomen. Planck neemt als vele anderen een afwachtende houding aan. De lijnspectra wijzen er wel op dat “something rattles in the atom” (Maxwell). De chemici (Dalton, Gay Lussac, Mendeleev, …) vinden het atoom een nuttige hypothese. De eerste natuurkundige theorieën die het atoombegrip gebruiken zijn kinetische theorieën (Clausius, Boltzmann, Maxwell,…). Thomson veronderstelt in 1899 dat het door hem ontdekte elektron onderdeel is van het atoom. Voor de net ontdekte X- (Röntgen) en α-, β- en γ (Becquerel) straling bestaat nog geen atomistische verklaring. Kortom: over het bestaan en de structuur van het atoom is in 1900 nog (te) veel onduidelijk.

21 “Een wanhoopsdaad” Planck’s theoretische aanpak: de geboorte van het kwant
Annalen der Physik 4 (1901) Über das Gesetz der Energieverteilung im Normalspektrum, von Max Planck Einleitung De wet van Wien klopt niet, zie metingen van Lummer, Pringsheim, Rubens, Kurlbaum en Beckmann. Ik moet de theorie van Wien en van mij daarom aanpassen. Mijn thermodynamische aanpak van de elektromagnetische straling is correct. “Somit reduziert sich das ganze Problem auf die Aufgabe, S als Funktion van U zu bestimmen, ..” (zodanig dat de - al bekende (!) - u(f,T) volgt) De voorwaarde: “de toename van de entropie hangt alleen af van de totale energie en niet van de energie van een individuele resonator” leidt tot de wet van Wien en moet dus vervallen.

22 „Im folgenden wird nun ein Weg beschrieben, auf dem sich ein einfacher Ausdruck der Entropie und damit auch eine neue Strahlungsformel ergiebt, welche mit keiner der bisher festgestellten Thatsachen in Widerspruch zu stehen scheint.” I. Berechnung der Entropie eines Resonators als Function seiner Energie. De totale energie UN van N resonatoren is N keer de gemiddelde energie U van 1 resonator (hier had Planck equipartitie kunnen toepassen en dan had hij het klassieke Rayleigh-Jeans resultaat gekregen!). Idem entropie. …“Wir setzen nun die Entropie SN des Systems, bis auf eine willkürlich bleibende additive Constante, proportional dem Logarithmus der Wahrscheinlichkeit W dafür, dass die N resonatoren insgesamt die Energie UN besitzen, also (3) SN = k log W + const“… (k is de constante van Boltzmann) Planck’s wanhoopsdaad!

23 …“Es kommt nun darauf an, die Wahrscheinlichkeit W dafür zu finden, dass die N Resonatoren insgesamt die Schwingungsenergie UN besitzen. Hierzu ist es notwendig, [om te kunnen tellen volgens Boltzmann!] UN nicht als einer stetige, unbeschränkt teilbare, sondern als einen discrete, aus einer ganze Zahl van endlichen gleichen Teilen zusammengesetzte Größe aufzufassen. Nennen wir einen solchen Teil ein Energieelement, ε so ist mithin zu setzen: (4) UN=Pε wobei P eine ganze, im allgemeinen große Zahl bedeutet, während wir den Wert von ε noch dahingestellt sein lassen.”… Het kwant is – geruisloos – geboren! Planck’s hoop dat hij ε naar nul kan laten gaan wordt teniet gedaan. Dan volgt de wet van Rayleigh-Jeans.

24 Op hoeveel wijzen kunnen we de P energie-elementen over de N oscillatoren verdelen?
Combinatorisch probleem waarbij Planck veronderstelt (niet als Boltzmann!) dat de energie-elementen ononderscheidbaar zijn. En passant introduceert hij hier kwantumstatistiek (Bose - Einstein). Er volgt: (6) II. Einführung des Wien’schen Verschiebungsgesetzes. De verplaatsingswet van Wien geeft: (7) Een vroeger resultaat over irreversiblele stralingsverschijselen van mij is: (8)

25 Combineren we deze dan volgt:
( is de absolute temperatuur T) Als we nu de uitdrukking voor de entropie gebruiken: (9) dan geldt dus Geïntegreerd: (Dit is een andere f!) (10) “Dies ist die einfachste mir bekannte Fassung des Wien’schen Verschiebungsgesetzes.”

26 Als we nu (6) met (10) combineren, dan volgt dat het energie-element ε evenredig is met de frequentie ν, dus: (Introductie van de constante van Planck!) En dus: Substitueer dit in (9): Dus: (11) Met (8) volgt dan voor de gezochte energieverdelingswet: (12) (De stralingswet van Planck)

27 III. Zahlenwerte. “Die Werte der beiden Naturconstanten h und k lassen sich miet Hülfe der vorliegender Messungen ziemlich genau berechnen” Er volgt: (15) h=6, erg.sec (huidige waarde : 6, (40)) (16) k=1, erg/grad (huidige waarde: 1,380658(12) ) Ironie: Constante van Boltzmann k is als zodanig nooit door Boltzmann gebruikt of berekend. De formule S=klogW, die op B’s grafsteen staat gebeiteld, is nooit door hem gebruikt, maar door Planck voor het eerst in deze vorm gebracht.

28 “Een wanhoopsdaad” Het vervolg
Planck’s resultaat wordt tot 1905 voor kennisgeving aangenomen. In 1905 geeft Einstein het energie-element (“Lichtquant”) een zelfstandige status en leidt daarmee een wet af voor het foto-elektrisch effect. Dit idee vindt nauwelijks gehoor tot de ontdekking van het Compton effect in 1922. In 1906 publiceren Rayleigh-Jeans hun “klassieke” stralingswet op basis van equipartitie. Het besef breekt door dat er iets bijzonders aan de hand is. Planck probeert het “Wirkungsquantum” h een plaats te geven in de klassieke fysica, maar slaagt daar niet in. In 1907 toont Einstein aan dat het niet klassieke gedrag van de soortelijke warmte verklaard kan worden met de wet van Planck. Dit maakt indruk. Het bestaan van een gekwantiseerde interactie tussen straling en materie wordt aannemelijk geacht. In 1909 zinspeelt Einstein op het bestaan van een golf-deeltje dualiteit. In 1913 gebruikt Bohr het lichtkwant idee bij zijn atoommodel. Dit leidt een periode van grote activiteit in: “oude” kwantummechanica.

29 Planck haalt in 1913 (met anderen) Einstein naar Berlijn
Planck haalt in 1913 (met anderen) Einstein naar Berlijn. In de aanbevelingsbrief staat: “Dass er in seinen Spekulationen gelegentlich auch einmal über das Ziel hinausgeschossen haben mag, wie z.B. in seiner Hypothese der Lichtquanten, wird man ihm nicht allzuschwer anrechnen dürfen; denn ohne einmal ein Risiko zu wagen, lässt sich auch in der exakten Naturwissenschaft keine wirkliche Neuerung einführen. Het is deze “Hypothese der Lichtquanten“ die Einstein in 1921 de Nobelprijs bezorgt! In 1916 geeft Einstein een nieuwe afleiding van de stralingswet gebaseerd op de gekwantiseerde emissie en absorptie van straling. In 1918 krijgt Planck de Nobelprijs voor zijn stralingswet. In 1923 komt De Broglie met het idee van golf-deeltje dualiteit voor zowel straling (foton) als deeltje (elektron, proton, …). In 1924 komt Bose met een nieuwe afleiding van de Planckse stralingswet, die door Einstein wordt gepropageerd: Bose-Einstein statistiek. In 1925 ontwikkelen Heisenberg, Jordan en Born de matrixmechanica In 1926 komt Schrödinger met de golfmechanica en bewijst dat deze equivalent is met de matrixmechanica. De nieuwe kwantummechanica is geboren.