Het discrete frequentiedomein

Presentatie over: "Het discrete frequentiedomein"— Transcript van de presentatie:

1 Het discrete frequentiedomein
De Fourierreeks

2 t n w q s z kw1 kq1 tijdcontinu tijddiscreet tijddomein
bemonstering t n tijddomein F.R. reconstructie FFT discreet frequentie-domein kw1 kq1 T→∞ N→∞ F.T. continu frequentie-domein w q x et z = ejq L.T. Z.T. complex frequentie-domein s esTs = z z

3 Benadering van V1 volgens V2

4 Beste benadering = loodrechte projectie
V1 Ve V1 Ve V2 c12 V2 V2 c12 V2 V1 Ve De foutvector Ve is het kleinst bij loodrechte projectie. V2 c12 V2

5 Optimale c12 Ve = V1 – c12 V2 c12 is een scalair getal
Optimale c12 is die waarde waarvoor de foutvector Ve minimaal is c12 V2 Indien V1 loodrecht staat op V2 dan is de optimale c12 gelijk aan nul ! 5

6 Loodrechte vectoren minimale Ve = V1
c12 V2 Voor elke waarde c12 ≠ 0 is Ve groter dan V1 . Dus de optimale waarde voor c12 is gelijk aan nul !

7 Benadering van x1 volgens x2
t1 t2 Binnen een tijdsinterval [ t1 , t2 ] kan het signaal x1 worden benaderd door het signaal x2 x1 = c12 x2 + xe

8 Kwadratisch gemiddelde fout
xe kan positief of negatief zijn : we nemen het kwadraat van xe zodat de bijdrage steeds positief is we nemen het gemiddelde over het interval [ t1 , t2 ] we bekomen dan de volgende formule voor de kwadratisch gemiddelde fout e : of

9 Optimale c12 Optimale c12 is die waarde waarvoor de kwadratisch gemiddelde fout e minimaal is De waarde van c12 kan worden berekend uit of

10 Berekening van c12 De volgorde van afleiden en integreren mag worden omgewisseld, bijgevolg zodat

11 Orthogonale signalen Twee signalen x1 en x2 zijn orthogonaal (loodrecht) binnen het interval [ t1 , t2 ] als c12 = 0 De voorwaarde voor orthogonaliteit wordt dus : c12 driehoek.xls

12 Benadering met meer orthogonale signalen
Binnen een tijdsinterval [ t1 , t2 ] kan het signaal x1 worden benaderd door de signalen x2 en x3 x1 = c12 x2 + c13 x3 + xe we bekomen nu de volgende formule voor de kwadratisch gemiddelde fout e :

13 Berekening van c12 (x2 en x3 zijn orthogonaal) omdat
bekomen we dezelfde c12 :

14 Berekening van c13 voor c13 geldt :
Hoe meer signalen er worden gebruikt, hoe beter de benadering ! c12 puls.xls

15 Periodieke signalen x(t) t T x(t ± T) = x(t)

16 Verzameling orthogonale signalen
Binnen het interval [ t , t + T ] zijn de volgende signalen orthogonaal : 1 ; cos w1t ; cos 2w1t ; cos 3w1t ; cos 4w1t ; … cos kw1t sin w1t ; sin 2w1t ; sin 3w1t ; sin 4w1t ; … sin kw1t 2 p met w1 = T We kunnen dus elk periodiek signaal benaderen door deze verzameling orthogonale signalen.

17 Fourierreeks A0 is de DC-komponent (de gemiddelde waarde) van het signaal x(t)

18 Berekening van Ak en Bk

19 Integratiegrenzen Integreren van 0 naar T komt uiteraard op hetzelfde neer als integreren van –T/2 naar T/2.

20 Oneven signaal x(t) t x(t) = -x(-t) In dit geval zijn alle Ak = 0 !

21 Even signaal x(t) t x(t) = x(-t) In dit geval zijn alle Bk = 0 !

22 Halve golfsymmetrie x(t) x(t) = -x(t+T/2) -T/2 T/2 t -T T
T x(t) = -x(t+T/2) In dit geval zijn alle A2k = 0 en alle B2k = 0 !

23 Voorbeeld: een puls met D = 50%
x(t) 1 -T/2 T/2 t -T T -1 x(t) = -x(t+T/2) én x(t) = -x(-t) In dit geval zijn alle Ak = 0 en alle B2k = 0 !

24 Berekenen van B1 x(t) 1,273 1 -T/2 T/2 t -T T

25 Berekenen van B3 x(t) 1 0,424 -T/2 T/2 t -T T

26 Alternatieve vorm van Fourierreeks
cos kw1t Mk Ak qk -180° < qk < 180° sin kw1t Bk Ak cos kw1t + Bk sin kw1t = Mk sin (kw1t + qk)

27 Alternatieve vorm van Fourierreeks
cos kw1t Mk Ak jk -180° < jk < 180° sin kw1t Bk Ak cos kw1t + Bk sin kw1t = Mk cos (kw1t - jk)

28 Besluit Elk periodiek signaal x(t) kan geschreven worden als een som van enkel sinussen of cosinussen We noemen w1 de eerste harmonische, 2w1 de tweede harmonische, 3w1 de derde harmonische frequentie enz. Bij elke frequentie hoort een amplitude Mk en een fase qk (of jk )

29 Frequentiespectrum amplitude kw1 fase kw1 q3 q2 q8 q1 q5 q7 q4 q6 M6
w w w w w w w w1 fase q3 q2 q8 q1 q5 q7 kw1 w w w w w w1 q4 q6

30 Voorbeeld: een puls met D = 50%
x(t) 1 -T/2 T/2 t -T T -1 Alle Ak = 0 → alle qk = 0 ; eveneens Mk = Bk Mk = 0 voor k even ; Mk = 4/kp voor k oneven

31 Frequentiespectrum qk Mk kw1 kw1 1,273 0,424 0,255 0,182
w w w w w w w w1 qk kw1 w w w w w w w w1

32 Algemene formules voor een puls
x(t) 1 aT (a+D)T T t aT -1 Fourieranalyse.xls en Fouriersynthese.xls 32

33 Fourieranalyse Met Micro-Cap worden Mk en qk berekend
T = 1 ms → f1 = 1 kHz

34 Amplitude- en fasespektrum
1,9 1,372 Mk 1,197 0,32 0,27 0,243 0,12 0,059 0,086 0,015 qk 90 -24 -30 -47 -32 -133 -150 -147 -156

35 Fouriersynthese Deze Mk en qk worden dan gebruikt om het originele signaal te benaderen met een som van sinussen DC +1 kHz 2 kHz 3 kHz 4 kHz 5 kHz 6 kHz 7 kHz 8 kHz 9 kHz

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46 Het lukt niet altijd even goed …
Bij een discontinuïteit (een plotse overgang) bekomt een steeds een doorschot van ongeveer 9% (ongeacht het aantal benaderingen) Men noemt dit het verschijnsel van Gibbs Voorbeeld: puls

47

48

49

50

51

52 Ander voorbeeld zaagtand

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62 Vermogenspectrum vermogen kw1 M62/2 M42/2 M72/2 M12/2 M32/2 M02 M82/2
w w w w w w w w1 62

63 Voorbeeld: een puls met D = 50%
Mk 1,273 0,424 0,255 0,182 kw1 w w w w w w w w1 Mk2/2 0,811 81% v.h. vermogen in 1e harmonische 0,090 0,032 0,017 kw1 w w w w w w w w1 63

64 Besluit Door de formules van de fourierreeks kan van een periodiek signaal een discreet frequentiespectrum worden berekend