Speciale Relativiteitstheorie en Minkowski-meetkunde

Presentatie over: "Speciale Relativiteitstheorie en Minkowski-meetkunde"— Transcript van de presentatie:

1 Speciale Relativiteitstheorie en Minkowski-meetkunde
Jeroen Spandaw 2 februari 2018

2 Klein effect, grote gevolgen

3 Warm aanbevolen

4 Technisch niet moeilijk: Psychologisch wel lastig:
kleine variatie op Pythagoras-afstandformule Psychologisch wel lastig: Onze intuïtie gebaseerd op 𝑣≪𝑐 geldt niet meer

5 Raketprobleem van John Stewart Bell
laat zien dat zelfs theoretische fysici in CERN nog conceptuele problemen met Speciale Relativiteitstheorie hebben…

6 Speciale Relativiteit & Minkowski
Technisch niet moeilijk: Kleine variatie op Pythagoras-afstandformule Psychologisch wel lastig (vooral in 90 minuten!): Onze intuïtie gebaseerd op 𝑣≪𝑐 geldt niet meer

7 Organisatie 3 delen van ongeveer 30 minuten
Lichtsnelheid & Gedachtenexperiment + Opgave Tijdrek Tijdrekparadox, Minkowski-vlak, Gelijktijdigheid + Opgaven Minkowskivlak Bespreking opgaven + Opgave Tijdrekparadox + Afsluiting Huiswerk: Lengtekrimpparadox

8 Relatieve snelheid treinen: optellen

9 Maar lichtsnelheid altijd c = 299 792 458 m/s

10 Michelson & Morley: Sterrenlicht
Niet  30 km/s, maar km/s

11 Theorie & Experiment: c steeds 299 792 458 m/s
Maxwell Michelson & Morley

12 Einstein: Gevolgen van c constant?

13 Gedachtenexperiment

14 Stuiterend licht: Waarnemer A in trein

15 Stuiterend licht: Waarnemer B op perron

16 Gedachtenexperiment

17 Gedachtenexperiment

18 Tijdrek: ‘Moving clocks run slow’ Niet zo…
in trein buiten trein relatieve snelheid tijd afstand lichtsnelheid

19 Tijdrek: ‘Moving clocks run slow’ Niet zo…
in trein buiten trein relatieve snelheid v tijd afstand lichtsnelheid

20 Tijdrek: ‘Moving clocks run slow’ Niet zo…
in trein buiten trein relatieve snelheid v tijd t afstand lichtsnelheid

21 Tijdrek: ‘Moving clocks run slow’ Niet zo…
in trein buiten trein relatieve snelheid v tijd t afstand d d’ > d lichtsnelheid d’ d

22 Tijdrek: ‘Moving clocks run slow’ Niet zo…
in trein buiten trein relatieve snelheid v tijd t afstand d d’ > d lichtsnelheid c = d/t c’ = d’/t > c d’ d

23 Tijdrek: ‘Moving clocks run slow’ ...maar zo!
in trein op perron relatieve snelheid lichtsnelheid afstand tijd

24 Tijdrek: ‘Moving clocks run slow’ ...maar zo!
in trein op perron relatieve snelheid v lichtsnelheid afstand tijd

25 Tijdrek: ‘Moving clocks run slow’ ...maar zo!
in trein op perron relatieve snelheid v lichtsnelheid c afstand tijd

26 Tijdrek: ‘Moving clocks run slow’ ...maar zo!
in trein op perron relatieve snelheid v lichtsnelheid c afstand d d’ > d tijd d’ d

27 Tijdrek: ‘Moving clocks run slow’ ...maar zo!
in trein op perron relatieve snelheid v lichtsnelheid c afstand d d’ > d tijd t = d/c t’ = d’/c > t d’ d

28 Tijdrek: ‘Moving clocks run slow’ Wat is het verband tussen t en t’?
in trein op perron relatieve snelheid v lichtsnelheid c afstand d d’ > d tijd t = d/c t’ = d’/c > t d’ d

29 Tijdrekformule: t  t’ We gaan inzien dat 𝑐 2 − 𝑣 𝑡 ′ 2 = 𝑐 2 𝑡 2

30 Tijdrekformule: t  t’ We gaan inzien dat 𝑐 2 − 𝑣 2 𝑡 ′ 2 = 𝑐 2 𝑡 2
𝑐 2 − 𝑣 𝑡 ′ 2 = 𝑐 2 𝑡 2 dus dat 𝑐𝑡 𝑣 𝑡 ′ 2 = 𝑐 𝑡 ′ 2 Waaraan doet u dat denken? Aan Pythagoras! Bijbehorende recht-hoekige driehoek?

31 Opgave 1 Waarom geldt: 𝑐𝑡 𝑣 𝑡 ′ 2 = 𝑐 𝑡 ′ 2

32 Waarom 𝑐𝑡 𝑣 𝑡 ′ 2 = 𝑐 𝑡 ′ 2 ?

33 Daarom 𝑐𝑡 𝑣 𝑡 ′ 2 = 𝑐 𝑡 ′ 2 !

34 c is absoluut, maar tijd is relatief!
Niet zo… Klassiek: t absoluut, c relatief … maar zo! Einstein: t relatief, c absoluut

35 Lorentz & FitzGerald 𝑡′=𝛾⋅𝑡 met 𝛾= − 𝑣 2 / 𝑐 2 >1

36 Lorentz & FitzGerald 𝑡′=𝛾⋅𝑡 met 𝛾= 1 1 − 𝑣 2 / 𝑐 2 >1
𝛾= − 𝑣 2 / 𝑐 2 >1 𝑣= 4 5 𝑐  𝛾= 5 3 𝑣↑𝑐  𝛾→∞

37 Tijd en Afstand zijn relatief
Tijdrek Tijd 𝑡 voor treinreiziger versus tijd 𝑡 ′ op perron: 𝑡 ′ =𝛾⋅𝑡 met 𝛾= 1 √(1 − 𝑣 2 𝑐 2 ) >1

38 Tijd en Afstand zijn relatief
Tijdrek Lengtekrimp in rijrichting Tijd 𝑡 voor treinreiziger versus tijd 𝑡 ′ op perron: 𝑡 ′ =𝛾⋅𝑡 met 𝛾= 1 √(1 − 𝑣 2 𝑐 2 ) >1 Lengte ℓ voor treinreiziger versus lengte ℓ ′ op perron: ℓ=𝛾⋅ ℓ ′ Loodrecht op rijrichting geen lengteverandering

39 Tussenstand 3 delen van ongeveer 30 minuten
Lichtsnelheid & Gedachtenexperiment + Opgave Tijdrek Tijdrekparadox, Minkowski-vlak, Gelijktijdigheid + Opgaven Minkowskivlak Bespreking opgaven + Opgave Tijdrekparadox + Afsluiting Huiswerk: Lengtekrimpparadox

40 Paradox

41 Beiden hebben gelijk! Paradox A = treinreiziger, B op perron
B tegen A: ‘Uw klok langzamer dan de mijne!’ A tegen B: ‘Uw klok langzamer dan de mijne!’ Beiden hebben gelijk!

42 Pas op! Niet alleen de klokken van waarnemers A en B lopen verschillend, maar alle processen (hartslag, veroudering, …) De tijd is verschillend voor A en B! Hoedt u voor (Franse) postmodernistische filosofen!

43 Naar een oplossing van de paradox
Relativiteit van gelijktijdigheid à la Einstein Ruimte-tijd-plaatjes à la Minkowski (met 1 ruimtedimensie)

44 (x,t)-vlak Conventie: t verticaal!

45 licht: c = 1  hoek ±45

46 Relatieve snelheid van blauwe waarnemers A en B?

47 Relatieve snelheid is c/3.

48 Terminologie De blauwe lijnen heten tijdlijnen, tijdpaden of wereldlijnen van de waarnemers A resp. B Een punt (x, t), dus een punt in ruimte & tijd, heet een gebeurtenis

49 They do it with mirrors…

50 Gelijktijdigheid à la Einstein
Waarnemer & spiegel snelheid 0 t.o.v. elkaar Bijv. waarnemer op x = 0 en spiegel op x = 3 Gebeurtenis P = (0, 0): waarnemer stuurt licht naar spiegel. R = (3, 3): reflectie licht Q = (0, 6): detectie licht

51 Gelijktijdigheid à la Einstein
Einstein: de gebeurtenis M halverwege P en Q is volgens waarnemer gelijktijdig met R. De verzameling gebeurtenissen gelijktijdig met M?

52 De gebeurtenissen gelijktijdig met M en R volgens waarnemer A

53 Gelijktijdigheid volgens B

54 Gelijktijdigheid volgens B

55 Gelijktijdigheid volgens B

56 Gelijktijdig met M en R volgens B

57 Opgaven 2 en 3 Het product van de richtingscoëfficiënten van PQ en MR is +1. Herontdek de tijdrek-formule 𝑡 ′ =𝛾𝑡 met 𝛾= 1 √(1 − 𝑣 2 / 𝑐 2 ) in het Minkowski-vlak

58 Tussenstand 3 delen van ongeveer 30 minuten
Lichtsnelheid & Gedachtenexperiment + Opgave Tijdrek Tijdrekparadox, Minkowski-vlak, Gelijktijdigheid + Opgaven Minkowskivlak Bespreking opgaven + Opgave Tijdrekparadox + Afsluiting Huiswerk: Lengtekrimpparadox

59 Bespreking Opgave 2 Berekening in coörd. of synthetisch argument: rc(PQ)  rc(MR) = +1 In “Minkowski-meetkunde” geldt: 𝑃𝑄⊥𝑀𝑅 Vergelijk: In Euclidische meetkunde geldt: rc  rc = -1 bij ⊥

60 Bespreking Opgave 3 PQ wereldlijn van waarnemer 1
W1: Q & R gelijktijdig PR wereldlijn van waarnemer 2 W2: R & S gelijktijdig Hun relatieve snelheid 𝑣=𝛽𝑐 Dus PQ = t en QR = 𝛽𝑡

61 Bespreking Opgave 3 W1: Q & R gelijktijdig PQ = t & PR = t’  t = 𝛾𝑡′
W2: R & S gelijktijdig

62 Bespreking Opgave 3 W1: Q & R gelijktijdig PQ = t & PR = t’  t = 𝛾𝑡′
W2: R & S gelijktijdig PR = t’ & PS = 𝑡 ∗  𝑡′ = 𝛾 𝑡 ∗ Samen: 𝑡= 𝛾 2 𝑡 ∗ Gelijkvormigheidsarg.: 𝛾 2 = 𝑃𝑄 𝑃𝑆 = 1 1− 𝛽 2

63 Vreemd afstandsbegrip…

64 Vreemd afstandsbegrip…
t = 𝛾 𝑡 ′ met 𝛾>1, dus 𝑡>𝑡′ ! Afstandsbegrip in Minkowski-vlak is blijkbaar anders dan in Euclidische vlak…

65 Tussenstand 3 delen van ongeveer 30 minuten
Lichtsnelheid & Gedachtenexperiment + Opgave Tijdrek Tijdrekparadox, Minkowski-vlak, Gelijktijdigheid + Opgaven Minkowskivlak Bespreking opgaven + Opgave Tijdrekparadox + Afsluiting Huiswerk: Lengtekrimpparadox

66 Opgave 4 A tegen B: ‘Uw klok loopt te langzaam!’
B tegen A: ‘Uw klok loopt te langzaam!’ Beiden hebben gelijk! Los deze paradox op met Minkowski-diagram

67 Oplossing 4: Gelijktijdig volgens A
A en B zetten klok op 0 bij O. B tegen A: “Als mijn klok op 3 sec, dan uw klok op 2.8 sec.” “Uw klok loopt te langzaam!”

68 Oplossing 4: Gelijktijdig volgens B
A en B zetten klok op 0 bij O. B tegen A: “Als uw klok op 3 sec, dan mijn klok op 3.2 sec.” “Uw klok loopt te langzaam!”

69 Gelijktijdigheid is relatief!
Gelijktijdig volgens A Gelijktijdig volgens B

70 Universaliteit van lichtsnelheid
is evident in het Minkowski-vlak

71 Lichtsnelheid volgens A
Als A in A, dan licht in L. Licht heeft 4 lichtseconde afgelegd in 4 seconden. Dus A vindt lichtsnelheid = 4 𝑙𝑠 4 𝑠 = c.

72 Lichtsnelheid volgens B? Het klassieke, foute beeld
Stel B met 𝑣 = 𝑐 Als B in B, dan licht in L Licht heeft 2 lichtseconde afgelegd in 3 seconden Dus B vindt lichtsnelheid = 2 𝑙𝑠 3 𝑠 < 2 3 𝑐. Conclusie: Normale optelling van snelheden is fout!

73 Lichtsnelheid volgens B in Minkowski-meetkunde
Niet zo: 2 𝑙𝑠 3𝑠 = 2 3 𝑐

74 Lichtsnelheid volgens B in Minkowski-meetkunde
Niet zo: 2 𝑙𝑠 3𝑠 = 2 3 𝑐 Maar zo: 2,8 𝑙𝑠 2,8 𝑠 =𝑐

75 Lichtsnelheid volgens B in Minkowski-meetkunde
Maar zo: 2,8 𝑙𝑠 2,8 𝑠 =𝑐 Gebeurtenissen B en L zijn gelijktijdig volgens B: Als B in B, dan licht in L. Gelijkbenige OBL, dus BL (ls) = OB (s) dus lichtsnelheid = c.

76 Afstanden en hoeken in Minkowski-meetkunde
BL loodrecht op OB dus ⊥ als product rico’s = +1 Afstand: (OB in s)2 = Δ𝑡 2 − Δ𝑥 2 (BL in ls)2 = Δ𝑥 2 − Δ𝑡 2

77 Samenvatting Ruimte-tijd-plaatjes verhelderen Speciale Relativiteitstheorie De meetkunde in SRT is plat (niet gekromd), maar toch niet euclidisch. Afstand tussen (x, t) en (x’, t’) is namelijk niet √( Δ𝑡 Δ𝑥 2 ), maar √| Δ𝑡 2 − Δ𝑥 2 |. (Beter: ct in plaats van t.) Richtingen in Minkowski-vlak niet ‘gelijkwaardig’

78 Hoe nu verder?

79 Hoe nu verder? Zie De sublieme eenvoud van relativiteit door Sander Bais voor: Lengtekrimp Snelheden optellen Energie en impuls 𝐸=𝑚 𝑐 2

80 En daarna? Algemene Relativiteit
Zwaartekracht is kromming Inzoomen  Minkowski-meetkunde Wiskunde: differentiaal-meetkunde

81 Opgave 5: Trein-Tunnel-Paradox
Trein met 𝑣= 4 5 𝑐 door een tunnel. Rust: tunnel = 400 m en trein = 500 m. Factor 1− = 3 5 , dus trein = 300 m. Past de trein wel of niet in de tunnel?

82 Oplossing 5: Trein & Tunnel
A en B uiteinden tunnel C en D uiteinden trein Trein CD beweegt naar rechts door tunnel AB A & B: “Trein PQ is korter dan de tunnel.” C & D: “Trein RS is langer dan de tunnel.” Geen tegenspraak!

83 Oplossing 5: Trein & Tunnel
Plaatje niet helemaal correct: Neem lijnen door P en Q parallel aan C en D. Op die lijnen liggen ook de correcte uiteinden R en S

84