Vwo6 WiskA Toepassing van differentiaalrekenen Extra opgaven

Het brandstofverbruik B van een schip dat op een rivier tegen de stroom invaart is gegeven door de formule Hierin is v de snelheid in km per uur van het schip ten opzichte van het water, a de afstand in km die wordt afgelegd en v w de snelheid in km per uur van het water. 5p aNeem a = 20 en v w = 8 en toon met de afgeleide aan dat het brandstofverbruik minimaal is voor v = 12. 4p bLicht met de afgeleide toe dat bij v w = 8 de snelheid v waarvoor het brandstofverbruik minimaal is, onafhankelijk is van a. 4p cLicht toe dat voor elke waarde van v (met v > v w ) geldt: het minimale brandstofverbruik treedt op als.

Gegeven is 4paToon aan dat 3pbStel algebraïsch de formule op van de raaklijn k in het snijpunt A van de grafiek van y met de y-as. 5pcBereken algebraïsch het minimum van y.

Iris verkoopt op de markt allerlei kleine sieraden. Voor de opbrengst van een sieraad hanteert zij de formule Hierin is R(q) de opbrengst in euro's per week van dit sieraad bij een verkoop van q sieraden en a de factor die bij dit sieraad hoort met 5paBij een sieraad hoort a = 0,01. Bereken algebraïsch de maximale weekopbrengst van dit sieraad en licht toe dat hierbij een prijs van € 2,50 hoort. 7pbVan een ander sieraad is de weekopbrengst 720 euro bij een verkoop van 400 exemplaren. Bereken a en bereken algebraïsch de maximale weekopbrengst van dit sieraad. 4pcVan een sieraad is de weekopbrengst 300 euro bij een prijs van 2 euro. Bereken welke a bij dit sieraad hoort. 5pdVan een sieraad is de maximale opbrengst bij een weekverkoop van 200 exemplaren. Bereken deze maximale weekopbrengst en de prijs die hierbij hoort. 8peBij elke waarde van a kan de maximale weekopbrengst worden berekend. Teken de grafiek van R max als functie van a. Vergeet de toelichting en de tabel niet.

opgave 67 De oppervlakte is x · y = 75 dus y = De kosten van de afrastering zijn K = 10x + 20(x + 2y) = 30x + 40y K = 30x + 40 · = 30x + = [30x x -1 ]’ = 30 – 3000x -2 = 30 – = 0 geeft 30 = 30x 2 = 3000 x 2 = 100 x = 10 v x = -10 De kosten zijn minimaal bij de afmetingen 10 m en 7½ m. 75 x 3000 x dKdxdKdx dKdxdKdx 3000 x 2 dKdxdKdx €10 €20 x y x y 10

Gegeven is de functie 2paBereken de gemiddelde snelheid waarmee x toeneemt op het interval [1, 3]. 4pbBereken met behulp van differentiëren de snelheid waarmee f(x) toeneemt voor x = 4. 4pcStel met behulp van de afgeleide de formule op van de raaklijn l in het punt A met 4pdBereken algebraïsch voor welke waarden van x de snelheid waarmee f(x) toeneemt gelijk is aan 0,44.

In de figuur hieronder zie je een schets van de grafiek van de functie De grafiek snijdt de x-as in de punten O en A. De lijn k raakt de grafiek in A. 6p aToon aan dat en stel langs algebra ï sche weg een vergelijking op van k. 4p bBereken met behulp van de afgeleide de helling van de grafiek in de punten met x = 3 en x = 4. Rond zo nodig af op twee decimalen. Hoe volgt hieruit dat de top van de grafiek van f tussen x = 3 en x = 4 zit? 3p cOnderzoek met behulp van de afgeleide of de top van de grafiek bij zit.

aEen hoeveelheid N neemt lineair af. Op t = 6 is N = 1500 en op t = 9 is N = Stel de formule op van N. bEen hoeveelheid M neemt exponentieel toe. Op t = 6 is M = 1500 en op t = 9 is M = Stel de formule op van M.

Een zwemmer is in nood voor de kust van Bergen. De tekening geeft een beeld van de situatie. De zwemmer in nood bevindt zich bij punt B in zee. Een lid van de reddingsbrigade ziet de zwemmer in nood en wil in actie komen. Zij bevindt zich in punt A. Ze wil natuurlijk via de snelste weg naar de drenkeling toe. Maar wat is de snelste weg? Een deel van de weg moet ze rennend afleggen en een deel zwemmend. Ze rent met een gemiddelde snelheid van 6 m/s en ze zwemt met een gemiddelde snelheid van 1,5 m/s. Hoe kan ze het snelst hulp bieden? Noem het punt waar ze in het water stapt K. Punt K kan overal langs de aangegeven 100 m-lijn liggen. De tijd die ze nodig heeft om in B te komen moet natuurlijk zo klein mogelijk zijn. Noem de totale tijd t, de gemiddelde snelheid over het strand vs en de gemiddelde snelheid in zee vz. a.Druk t uit in AK, KB, vs en vz. b.Formuleer een verband tussen t en x. c.Bepaal met behulp van differenti ë ren de minimale tijd die ze nodig heeft om de zwemmer te bereiken. d.Bepaal de kortste weg.