Statistiek Deel 3. Inductieve statistiek 3.1. Studie van het toeval: kansrekenen 3.2. Stochastische variabelen 3.2.1. Kansverdeling 3.2.2. Verwachting en variantie 3.2.3. Wet van de grote aantallen

voorbeeld: Statistische beschrijving van teerling Een teerling X heeft 6 waarden (Xi): {1,2,3,4,5,6} Bij een niet getrukeerde teerling heeft elke waarde een gelijke kans om het resultaat te zijn van een worp !!!

voorbeeld: Statistische beschrijving van kaartspel !!!

3.1. Studie van het toeval: kansrekenen voorgaande: theoretische kansverdelingen vaststellen van theoretische verdelingen op experimentele wijze  toevalsexperimenten (random experiments) toevalsverschijnsel: partikuliere uitkomst relatief onzeker maar: bij vele herhalingen: regelmaat demonstratie: ‘wereldrecord’ teerlingwerpen 4.1

Kans intuitieve definitie: relatieve frequentie bij veel herhaalde pogingen theoretische definitie: theoretische (ideale) voorstelling van de relatieve frequenties (oneindig aantal pogingen) wiskundige beschrijving toevalsverschijnselen: kansrekenen 4.1

Relevantie hier ‘kans’ basis van inductie: zoeken naar achterliggende logica of regelmaat van een verschijnsel op basis van ogenschijnlijk willekeurige gevallen toevalssteekproef: waarden van steekproefgrootheden door toeval bepaald ; individuele uitkomsten per steekproef variëren, maar niet louter willekeurig kansrekenen beschrijft dan hoe steekproefgrootheden variëren bij herhaalde steekproeftrekking (als toestand populatie constant)  theoretische verdeling steekproefgrootheden bepalen (zonder dat populatiewaarde gekend) !!!

Kansmodellen verzameling van alle mogelijke uitkomsten van een toevalsverschijnsel = uitkomstenruimte S: {..., ..., ..., ..., ...,...} = sample space S Teerling S = {1,2,3,4,5,6} Kaartspel S = {AH,AR,AS,AK, ..., 2H,2R,2S,2K} Enquêtevraag naar geslacht S = {man,vrouw} 4.2

eenzelfde object of geval kan verschillende uitkomstruimtes hebben; bvb.: muntstuk aantal keer munt in 1 worp: S = {0,1} aantal keer munt in 4 worpen: S = {0,1,2,3,4} volgorde kop/munt in 4 worpen: S = {KKKK,KKKM,KKMK,KKMM,...} (16) (...) 4.2

elk element uit S heeft bepaalde theoretische kans maar theoretische kans niet altijd vast te stellen  experimentele kans: kansen gedefinieerd in termen van veelvuldig herhalen experimentele wet: naarmate het aantal herhalingen van een toevalsproces toeneemt, zullen de kansen van de elementen van S zich meer en meer stabiliseren bij groot aantal herhalingen: stabiele waarde beschouwd als kans dat element uit S zich voordoet 4.2

Gebeurtenis A Gebeurtenis is verzameling uitkomsten van een toevalsverschijnsel = deelverzameling van uitkomstenruimte S omvat meerdere deelverzamelingen A; bvb.: teerling komt op even getal teerling is 2 of 4 A bestaat dus uit: geen, één of combinatie van mogelijke waarden uit uitkomstenruimte S 4.2

elke gebeurtenis heeft kans P(A) basisregels: 0  P(A)  1 P(S) = 1 voorbeeld: opwerpen muntstuk (theoretische kans): P(M) = 0,5 P(K) = 0,5 teerling (theoretische kans): P(1) = 1/6 P(5) = 1/6 4.2

Rekenregels voor kansen totnogtoe: toekennen kansen aan afzonderlijke gebeurtenissen nu: toekennen kansen aan combinatie van gebeurtenissen rekenregels afhankelijk van soort relatie tussen gebeurtenissen 4.2

Disjuncte gebeurtenissen (OF) gebeurtenissen die geen gemeenschappelijke uitkomst hebben (ofwel A ofwel B): resultaat van een toevalsverschijnsel kan niet tegelijkertijd A en B zijn voorbeeld richting: politieke, communicatie, sociologie uitkomst één teerlingworp eenmalig trekken van kaart uit kaartspel 4.2

rekenregel: optelregel P(A of B) = P(A) + P(B) geldt voor elk aantal disjuncte gebeurtenissen S A B 4.2

voorbeeld !!!

Complement complement A = gebeurtenis dat A zich niet voordoet = AC A en AC per definitie disjunct rekenregel: complementregel: P(AC) = 1 - P(A) voorbeeld: kans op niet trekken van een heer P(niet heer) = 1-P(heer) 1- 4/52 = 48/52 = 12/13 4.2

Onafhankelijkheid (EN) gebeurtenissen A en B komen allebei samen voor in de bijzondere situatie dat de wetenschap dat A gebeurt niets verandert aan de kans dat B gebeurt; vb.: kans dat 2 opeenvolgende worpen met geldstuk munt opleveren S A B 4.2

rekenregel: productregel P(A en B) = P(A) x P(B) voorbeeld: als twee kaarten trekken (met teruglegging): kans dat in twee trekkingen klaverenaas en schoppenaas wordt getrokken = P(klaverenaas) P(schoppenaas) 1/52 * 1/52 = 1/2704 kans op trekken van rood en boer = P(rood) P(boer) 1/2 * 1/13 = 1/26 als twee kaarten trekken (zonder teruglegging): kans dat eerste kaart rood is en de tweede ook rood is = 26/52 * 25/51 4.2 / !!!

3.2. Stochastische variabelen (kansvariabelen) vaak in statistiek: uitkomstenruimte = numerieke uitkomst aantal keer 3 gooien in 5 worpen met teerling aantal keer naar bioscoop in voorbije jaar aantal keer ‘ja’ op vraag in enquête  stochastische variabelen definitie: variabele waarvan de waarde een numerieke uitkomst is van een toevalsverschijnsel ook steekproefgrootheden zijn stochastische variabelen 4.3

3.2.1. Kansverdeling notatie: kansvariabelen X, Y, Z uitkomst: xi, yi, zi toekenning van kansen aan waarden van stochastische variabele via kansverdeling 2 alternatieve manieren om kansen toe te kennen aan uitkomsten; afhankelijk van type variabele discrete kansvariabele continue kansvariabele 4.3

Discrete kansvariabelen nemen een eindig aantal waarden aan x1, x2, x3, ..., xk kansmodel X P(X=xi) = pi voor kansen geldt dat 0  pi  1 p1 + p2 + p3 + ... + pk = 1 met kansen kan gerekend worden bvb. P(X in A) = som pi‘s van xi‘s die A vormen 4.3

bijvoorbeeld: kans op trekken leerling met bepaald score op test (op 10), gegeven: P(X  8) = 0,30 + 0,15 = 0,45 kansen kunnen grafisch worden weergegeven: kanshistogram: kans weergegeven door oppervlakte 4.3

speciaal geval: discreet uniform: alle xi zelfde kans 4.3

speciaal geval: discreet gelijkmatig verdeeld bvb. Aantal keer Kruis (K) bij 4 worpen met muntstuk vergelijkbaar met ja/neen vraag in enkelvoudige aselecte steekproef (bvb. ‘man ?’ in populatie met geslachtsratio=1) 4.3

Continue kansvariabelen oneindig aantal mogelijke uitkomsten (mogelijke waarden op X-as)  voor elke exacte waarde geldt: pi = 0 Hoe dan bepalen kans dat uitkomst in bvb. interval [3,7] ? sommeren kan niet wel: oppervlakte onder kromme 4.3

continu uniform (bvb. generator toevalsgetallen) uitkomsten uniform gespreid totale hoogte en breedte = 1 kans = oppervlakte (breedte) P(0,3  xi  0,7) = 0,4 P(xi  0,5) = 0,5 P(xi  0,5 of xi  0,8) = 0,7 4.3

meer algemeen kans kan worden beschreven a.d.h.v. een kansdichtheidsfunctie f(x) dichtheidskromme beschrijft de kansverdeling van een continue kansvariabele kansmodel kent kansen toe aan intervallen van uitkomsten totale oppervlakte = 1 p(x)  0 4.3

een concreet voorbeeld: gewicht volwassen Nederlanders gearceerd: kans dat willekeurige Nederlander tussen 75 en 80,5 kg weegt 4.3

berekenen kansen: integraalrekenen gebruik van ideaal-typische (theoretische) kansdichtheidsfuncties: vooral: normaalverdeling N(,) Normaalverdeling slechts één van mogelijke theoretische kansverdeling. Daarnaast bestaan er resem andere verdelingen: uniforme, Bernouilli, binomiaal, multinomiaal, geometrisch, hypergeometrisch, Poisson, exponentieel, ... 4.3

3.2.2. Verwachting en variantie Beschrijving van een kansverdeling beschrijven van kansverdeling via: verwachting variantie 4.4

Verwachting van een kansvariabele gemiddelde van kansverdeling (zwaartepunt) maar met dit verschil: niet elke uitkomst is even waarschijnlijk (heeft zelfde kans)  gewogen gemiddelde (gewogen op kansen) eenvoudig voorbeeld: loterij: 1000 nummers; 1 aselect trekken; winnaar: 500€; 1 lot: 1€ rekenk. gemiddelde geen goede samenvatting verwachting = (500€ * 1/1000) + (0€ * 999/1000) = 0,50€ 4.4

algemeen: nog een voorbeeld: gezinsgrootte stel 1000 maal willekeurig 1 gezin trekken  gezinsgrootte is kansvariabele verwachting = gemiddelde gezinsgrootte X = 3,146 en wat met continue kansvariabelen ?  berekening evenwichtspunt complex bij niet-symmetrische verdelingen  theoretische verdelingen 4.4

Regels voor verwachtingen als X en Y stochastische variabelen zijn: X+Y = X + Y bv. aantal kinderen binnen en buiten huwelijk met constante optellen of vermenigvuldigen: a+bX = a + bX 4.4

Variantie van een kansvariabele weging met kans regels voor varianties als X en Y onafhankelijke stochastische varn. zijn: ²X+Y = ²X + ²Y ²X-Y = ²X + ²Y optellen/vermenigvuldigen met constante: ²a+bX = b²²X 4.4

3.2.3. Wet van de grote aantallen verwachting van kansverdeling = gemiddelde bij vele herhaalde trekkingen als vele malen uitkomsten waarnemen van kansvariabele (bvb. steekproeven) en telkens gemiddelde berekenen: gemiddelde benadert de verwachting toevalsschommelingen worden uitgevlakt (‘uitgemiddeld’) bij vele herhalingen (naar analogie met kansen (benaderd door relatieve frequenties)) 4.4

wet van de kleine aantallen: gokkers en zwaarvoeters actief gebruikt in inductieve statistiek maar ook voor gokspelen, verzekeringen, enz. wet van de kleine aantallen: gokkers en zwaarvoeters 4.4

Essentie vorige systematiek van het toeval: bij oneindig aantal herhalingen van toevalsverschijnsel: regelmaat  experimentele of theoretische kansverdelingen kansrekenen beschrijft die systematiek en laat toe kansen te berekenen voor combinaties van gebeurtenissen focus op stochastische variabelen: toekennen kansen via kansverdeling; gebruik van theoretische verdelingen; verwachting , variantie ² wet van de grote aantallen:  is gemiddelde op de lange duur van vele onafhankelijke waarnemingen !!!