Telecommunicatie en Informatieverwerking UNIVERSITEIT GENT Didactisch materiaal bij de cursus Academiejaar Tel: 09/ Fax: 09/ Prof. dr. ir. W. Philips Optimalisatietechnieken

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 28/2/ f. 2 Copyright notice This powerpoint presentation was developed as an educational aid to the renewed course “Optimisation Techniques” (Optimalisatietechnieken), taught at the University of Gent, Belgium as of This presentation may be used, modified and copied free of charge for non-commercial purposes by individuals and non-for-profit organisations and distributed free of charge by individuals and non-for-profit organisations to individuals and non-for-profit organisations, either in electronic form on a physical storage medium such as a CD-rom, provided that the following conditions are observed: 1.If you use this presentation as a whole or in part either in original or modified form, you should include the copyright notice “© W. Philips, Universiteit Gent, 1998” in a font size of at least 10 point on each slide; 2.You should include this slide (with the copyright conditions) once in each document (by which is meant either a computer file or a reproduction derived from such a file); 3. If you modify the presentation, you should clearly state so in the presentation; 4.You may not charge a fee for presenting or distributing the presentation, except to cover your costs pertaining to distribution. In other words, you or your organisation should not intend to make or make a profit from the activity for which you use or distribute the presentation; 5. You may not distribute the presentations electronically through a network (e.g., an HTTP or FTP server) without express permission by the author. In case the presentation is modified these requirements apply to the modified work as a whole. If identifiable sections of that work are not derived from the presentation, and can be reasonably considered independent and separate works in themselves, then these requirements do not apply to those sections when you distribute them as separate works. But when you distribute the same sections as part of a whole which is a work based on the presentation, the distribution of the whole must be on the terms of this License, whose permissions for other licensees extend to the entire whole, and thus to each and every part regardless of who wrote it. In particular note that condition 4 also applies to the modified work (i.e., you may not charge for it). “Using and distributing the presentation” means using it for any purpose, including but not limited to viewing it, presenting it to an audience in a lecture, distributing it to students or employees for self-teaching purposes,... Use, modification, copying and distribution for commercial purposes or by commercial organisations is not covered by this licence and is not permitted without the author’s consent. A fee may be charged for such use. Disclaimer: Note that no warrantee is offered, neither for the correctness of the contents of this presentation, nor to the safety of its use. Electronic documents such as this one are inherently unsafe because they may become infected by macro viruses. The programs used to view and modify this software are also inherently unsafe and may contain bugs that might corrupt the data or the operating system on your computer. If you use this presentation, I would appreciate being notified of this by . I would also like to be informed of any errors or omissions that you discover. Finally, if you have developed similar presentations I would be grateful if you allow me to use these in my course lectures. Prof. dr. ir. W. Philips Department of Telecommunications and Information ProcessingFax: University of GentTel: St.-Pietersnieuwstraat 41, B9000 Gent, Belgium

Duale lineaire programma’s

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 28/2/ f. 4 Overzicht Duale lineaire programma´s: waarvoor en waarom Dualiteitseigenschappen zwakke dualiteit sterke dualiteit “Complementary slackness” Opstellen van duale lineaire programma’s De duale simplexmethode

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 28/2/ f. 5 Opmerkingen vooraf Tenzij we het tegendeel vermelden, zullen we er steeds impliciet vanuit gaan dat in alle problemen alle variabelen niet-negatief moeten zijn dat in primale problemen er verder enkel ongelijkheden van het  -type aanwezig zijn Dit is enkel voor het gemak (geen fundamentele beperking) In het boek wordt dit als een nieuwe standaardvorm beschouwd Soms beschouwen we echter ook nog problemen in de gewoonlijke standaardvorm (enkel gelijkheden en alle variabelen niet-negatief)

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 28/2/ f. 6 Een typisch productieprobleem Bij gegeven onderdelen (voorraad ruw materiaal): welke producten moeten we produceren om het meest winst te maken? beschikbare voorraden onderdelen hoeveelheden ruw materiaal nodig per eenheid afgewerkt product j maximaliseer c 1 x 1 +  + c j x j +  · + c n x n mits x 1, x 2,..., x n  0, en a 11 x 1 +  + a 1 j x j +  + a 1 n x n  b 1 a 21 x 1 +  + a 2 j x j +  + a 2 n x n  b 2... a m1 x 1 +  + a mj x j +  + a mn x n  b m opbrengst per eenheid verkocht product j

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 28/2/ f. 7 Opmerkingen In de praktijk zijn er ook loonkosten en andere kosten  Deze worden verrekend door ze ook als ruw materiaal te beschouwen Het zijn zotten die werken: Soms brengt het rechtstreeks doorverkopen van ruwe materialen meer op dan het verwerken ervan tot afgewerkte producten waarde van ruw materiaal i in product j (per eenheid) verkoopwaarde van product j (per eenheid) Stel dat y i =marktprijs van ruw materiaal i Product j maken en verkopen brengt op: c j x j Product j niet maken maar de onderdelen ervan verkopen brengt meer op als: ( a 1 j x j ) y 1 +  + ( a ij x j ) y i +  + ( a mj x j ) y m  c j x j  a 1 j y 1 +  +a ij y i +  +a mj y m  c j vermits x j  0

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 28/2/ f. 8 Produceren of verder verkopen?… Vanuit ons standpunt: j verkopen i.p.v. produceren  a 1 j y 1 +  +a ij y i +  +a mj y m  c j Vanuit het standpunt van een “opkoper van onze voorraden” de opkoper wil al onze voorraden onderdelen opkopen tegen de goedkoopst mogelijke prijs en a 11 y 1 +  + a i1 y i +  + a m1 y m  c 1 a 12 y 1 +  + a i2 y i +  + a m2 y m  c 2  a 1n y 1 +  + a in y i +  + a mn y m  c n hij moet ons een aanbod doen, d.w.z. bepalen welke prijs y i hij wil betalen per eenheid van elk ruw materiaal i Formulering probleem opkoper minimaliseer y 1 b 1 +  + y i b i +  + y m b m mits y 1, y 2, , y m  0, wij zijn bereid alle ruwe materialen te verkopen

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 28/2/ f. 9 …Produceren of verder verkopen? Duaal probleem minimaliseer y 1 b 1 +  + y i b i +  + y m b m mits y 1, y 2, , y m  0, en a 11 y 1 +  + a i1 y i +  + a m1 y m  c 1 a 12 y 1 +  + a i2 y i +  + a m2 y m  c 2  a 1 n y 1 +  + a in y i +  + a mn y m  c m Primaal probleem maximaliseer c 1 x 1 +  + c j x j +  + c n x n mits x 1, x 2,..., x n  0, en a 11 x 1 +  + a 1 j x j +  + a 1 n x n  b 1 a 21 x 1 +  + a 2 j x j +  + a 2 n x n  b 2... a m 1 x 1 +  + a mj x j +  + a mn x n  b m minimaliseer b t y over y mits y  0 en A t y  c maximaliseer c t x over x mits x  0 en Ax  b