Telecommunicatie en Informatieverwerking UNIVERSITEIT GENT Didactisch materiaal bij de cursus Academiejaar Tel: 09/ Fax: 09/ Prof. dr. ir. W. Philips Optimalisatietechnieken

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 14/3/ c. 2 Copyright notice This powerpoint presentation was developed as an educational aid to the renewed course “Optimisation Techniques” (Optimalisatietechnieken), taught at the University of Gent, Belgium as of This presentation may be used, modified and copied free of charge for non-commercial purposes by individuals and non-for-profit organisations and distributed free of charge by individuals and non-for-profit organisations to individuals and non-for-profit organisations, either in electronic form on a physical storage medium such as a CD-rom, provided that the following conditions are observed: 1.If you use this presentation as a whole or in part either in original or modified form, you should include the copyright notice “© W. Philips, Universiteit Gent, 1998” in a font size of at least 10 point on each slide; 2.You should include this slide (with the copyright conditions) once in each document (by which is meant either a computer file or a reproduction derived from such a file); 3. If you modify the presentation, you should clearly state so in the presentation; 4.You may not charge a fee for presenting or distributing the presentation, except to cover your costs pertaining to distribution. In other words, you or your organisation should not intend to make or make a profit from the activity for which you use or distribute the presentation; 5. You may not distribute the presentations electronically through a network (e.g., an HTTP or FTP server) without express permission by the author. In case the presentation is modified these requirements apply to the modified work as a whole. If identifiable sections of that work are not derived from the presentation, and can be reasonably considered independent and separate works in themselves, then these requirements do not apply to those sections when you distribute them as separate works. But when you distribute the same sections as part of a whole which is a work based on the presentation, the distribution of the whole must be on the terms of this License, whose permissions for other licensees extend to the entire whole, and thus to each and every part regardless of who wrote it. In particular note that condition 4 also applies to the modified work (i.e., you may not charge for it). “Using and distributing the presentation” means using it for any purpose, including but not limited to viewing it, presenting it to an audience in a lecture, distributing it to students or employees for self-teaching purposes,... Use, modification, copying and distribution for commercial purposes or by commercial organisations is not covered by this licence and is not permitted without the author’s consent. A fee may be charged for such use. Disclaimer: Note that no warrantee is offered, neither for the correctness of the contents of this presentation, nor to the safety of its use. Electronic documents such as this one are inherently unsafe because they may become infected by macro viruses. The programs used to view and modify this software are also inherently unsafe and may contain bugs that might corrupt the data or the operating system on your computer. If you use this presentation, I would appreciate being notified of this by . I would also like to be informed of any errors or omissions that you discover. Finally, if you have developed similar presentations I would be grateful if you allow me to use these in my course lectures. Prof. dr. ir. W. Philips Department of Telecommunications and Information ProcessingFax: University of GentTel: St.-Pietersnieuwstraat 41, B9000 Gent, Belgium

Sensitiviteitsanalyse Parametrische zelfduale simplexmethode

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 14/3/ c. 4 Overzicht Te bestuderen: hoe verandert het optimum van een lineair programma bij wijzigen van de winstfunctie of de (rechterleden van) de beperkingen Verband tussen originele ongelijkheden en finale primale en duale simplextableaus De eigenlijke sensitiviteitsanalyse kwalitatief kwantitatief voor kleine veranderingen: berekenen van sensitiviteit kwantitatieve parametrische studies: winst als functie van de wijzigende coëfficiënt Toepassing: de parametrische zelf-duale simplexmethode

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 14/3/ c. 5 Parametrische zelfduale simplex Doel: vermijden van de fase “zoek initieel extreem punt” Strategie: Initiële primale basisoplosing extreem punt  primale simplex Initiële duale basisoplosing extreem punt  duale simplex laat vervolgens  zakken en pas telkens het tableau aan tot  =0 Waarom werkt dit? Dit is een parametrische studie  de opeenvolgende simplexproblemen zijn sterk verwant Telkens een tableau niet optimaal wordt (doordat  beneden een knikpunt zakt) kan het met minimale inspanning weer optimaal worden gemaakt, n.l. door een primale simplexstap als een winstcoëfficiënt >0 wordt door een duale simplexstap als een rechterlid =0 wordt Zoniet: creëer nieuw probleem met een triviaal optimaal tableau door van alle winstcoëfficiënten een voldoend groot bedrag  af te trekken en bij alle rechterleden  bij op te tellen

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 14/3/ c. 6 Voorbeeld… P0P0 x 1 en x 2 zijn geen geldige NB-variabelen Ook in duaal tableau geen geldige NB- veranderlijken P1P1 Voor voldoend grote , nl.  3 worden alle constanten in stelsel  0  x 1 en x 2 geldige NB-variabelen worden alle winstcoëfficiënten  0  primaal tableau optimaal

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 14/3/ c. 7 …Voorbeeld… P1P1 Voor  3 is het primaal tableau niet meer optimaal en het duaal tableau niet meer geldig  oplossing: doe een primale simplex-stap: laat x 2 toenemen om winst te verhogen stop als x 2 =-1+  omdat dan x 3  0 dreigt te worden P2P2  nieuw tableau Dit tableau is wel nog optimaal als  ≤3, maar slechts in een beperkt interval

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 14/3/ c. 8 …Voorbeeld… Voor  4/3 is het primaal tableau niet meer optimaal omdat x 4  0 dreigt te worden P2P2 D2D2 een primale simplex-stap is niet mogelijk (geen mogelijke oplossing meer  initieel extreem punt zoeken we schakelen daarom over naar het duaal tableau, dat ook optimaal is vermits het primaal tableau optimaal is (sterke dualiteit)

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 14/3/ c. 9 …Voorbeeld… D2D2  oplossing: doe een simplexstap in dit duaal tableau: laat z 4 toenemen om de duale winst te verhogen stop als z 4 =(-1+2  omdat dan z 1  0 dreigt te worden Voor  4/3 is het duaal tableau niet meer optimaal en het primaal tableau niet meer geldig D3D3  nieuw duaal tableau

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 14/3/ c. 10 …Voorbeeld Voor  1/2 is het duaal tableau niet meer geldig en het primaal tableau niet meer optimaal  oplossing: schakel weer over op het primaal tableau D3D3 Enzoverder Uiteindelijk komt men tot een primaal of duaal tableau dat ook voor  0 optimaal is  het probleem is opgelost

© W. Philips, Universiteit Gent, versie: 14/3/ c. 11 Opmerkingen In de primale en duale simplextableaus zijn de coëfficiënten van de NB-variabelen in het stelsel onafhankelijk van  zijn de constanten in het stelsel lineaire functies van  zijn de coëfficiënten van de NB-variabelen in de winstfunctie lineaire functies van  is de constante in winst een kwadratische functie van  Dit is belangrijk voor implementatie opslag stelsel vraagt evenveel geheugen als in normale simplex met uitzondering van de constanten in het stelsel, die dubbel zoveel ruimte vragen opslag winstfunctie vraagt dubbel zoveel geheugen Opmerking beredeneer! de constante in de winst hoeft niet opgeslagen te worden. Waarom?