havo D deel 3 Samenvatting Hoofdstuk 10

Kenmerken van sinusoïden gebruiken 10.1

-2 < 0 dus grafiek dalend door beginpunt opgave 2a evenwichtsstand 1 amplitude 2 periode -2 < 0 dus grafiek dalend door beginpunt opgave 2b evenwichtsstand -2 amplitude 1 periode 2π -1 < 0 dus beginpunt is het laagste punt 10.1

De tangens-functie y Snijdt het tweede been van de draaiingshoek α de eenheidscirkel in P(xP, yP), dan is P(xP, yP) 1 yP α x ∟ O xP Q A (1, 0) De grafiek van f(x) = tan(α) op het interval [0, 2π]. 10.1

Sinusoïden met gelijke periode optellen De somgrafiek van sinusoïden met periode p is een sinusoïde met periode p. Werkschema: opstellen van een formule van een sinusoïde op de GR 1 Plot de grafiek in een geschikt venster. 2 Bereken de y-coördinaten van twee opeenvolgende toppen en bereken hiermee de evenwichtsstand a. 3 Gebruik de y-coördinaat van de hoogste top en de evenwichtsstand om de amplitude b te berekenen. 4 Bereken de x-coördinaat van een punt van de grafiek waarin de grafiek stijgend door de evenwichtsstand gaat. Dit geeft d in de formule y = a + b sin(c(x – d)). 10.2

Voer in y1 = 3 + sin(x), y2 = sin(x – π) en y3 = y1 + y2. opgave 14 Voer in y1 = 3 + sin(x), y2 = sin(x – π) en y3 = y1 + y2. Bij y1 en y2 is c = 1, dus ook bij y3 is c = 1. Neem bijvoorbeeld Xmin = 0, Xmax = 2π, Ymin = 0 en Ymax = 6. De opties maximum en minimum bij y3 geven de toppen (1,833; 4,932) en (4,974; 1,068). Dus a = = 3 en b ≈ 4,932 – 3 = 1,932. Voer in y4 = 3. Intersect met y3 en y4 geeft het snijpunt (0,262; 3). d ≈ 0,262 y = a + b sin(c(x – d)) y3 = 3 + 1,932 sin(x – 0,262) 10.2

Na vermenigvuldiging ten opzichte van de y-as met -1 opgave 27 a, b Teken De beeldgrafiek is ook het beeld van de grafiek van f bij de vermenigvuldiging ten opzichte van de y-as met -1. c y = sin(x) verm. t.o.v. de x-as met -1 y = -sin(x) y = sin(x) verm. t.o.v. de y-as met -1 y = sin(-x) Dus sin(-x) = -sin(x). d Na vermenigvuldiging ten opzichte van de y-as met -1 verandert de grafiek van y = cos(x) niet. Dus cos(-x) = cos(x). 10.3

Goniometerische formules y Goniometerische formules P(xP, yP) 1 1 yP α x ∟ O xP Q A (1, 0) PQ OP yP 1 sin α = = = yP cos α = = = xP sos cas toa OQ OP xP 1 10.3

opgave 33a y = sin(x) translatie (-π, 0) y = sin(x + π) Dus sin(x + π) = -sin(x). 10.3

De afgeleide van y = sin(x) en y = cos(x) f (x) = sin(x) geeft f’ (x) = cos(x) g (x) = cos(x) geeft g’ (x) = -sin(x) voorbeeld f (x) = cos(2x) Stel f (x) = cos(2x) = cos(u) met u = 2x f’ (x) = f’ (x) = -sin(u) · 2 f’ (x) = -sin(2x) · 2 = -2 sin(2x) 10.4

De quotiëntregel geeft 10.4

De snelheid op t = 0 is 60π cm/s. opgave 44 u = 2 sin(30πt) geeft = 2 · cos(30πt) · 30π = 60π cos(30πt) = 60π · cos(30π · 0) = 60π cos(0) = 60π De snelheid op t = 0 is 60π cm/s. 10.4