havo D deel 3 Samenvatting Hoofdstuk 12

Extreme waarden bij gebroken functies 12.1

heeft geen oplossingen voor 0 < p < 8 opgave 5 a f(x) = geeft f’(x) = 0 geeft x2 – 4x = 0 x(x – 4) = 0 x = 0 ⋁ x = 4 max. is f(0) = 0 min. is f(4) = 8 Bf = 〈 , 0] ⋃ [8,  〉 b heeft geen oplossingen voor 0 < p < 8 12.1

Hellinggrafieken y top stijgend dalend stijgend x O top helling x O top v.d. grafiek  helling is 0  hellinggrafiek snijdt de x-as Hellinggrafieken top Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen. stijgend dalend stijgend x O top stijgend deel v.d. grafiek positieve hellingen  hellinggrafiek boven de x-as dalend deel v.d. grafiek negatieve hellingen  hellinggrafiek onder de x-as helling overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal  laagste punt pos. pos. x O laagste punt 12.1

Oppervlakten bij grafieken 12.2

A = O(∆(OPQ) = · PQ · yP = · 2p · (3 - p2) = 3p - p3 b = 3 – 1 p2 opgave 18 a yP = 3 - p2 A = O(∆(OPQ) = · PQ · yP = · 2p · (3 - p2) = 3p - p3 b = 3 – 1 p2 = 0 geeft 3 – 1 p2 = 0 -1 p2 = -3 p2 = 2 p =√2 De maximale oppervlakte van ∆OPQ is 3√2 - (√2)3 = 3√2 - √2 = 2√2 12.2

b In ∆ACB is B =  (Z-hoeken) cos() = dus BC = 8 cos() opgave 30 a Trek AC ⊥ BD. In ∆ACB: cos 70° = BC = 8 · cos 70° ≈ 2,736 Dit geeft h = 10 + BC ≈ 12,74 m. b In ∆ACB is B =  (Z-hoeken) cos() = dus BC = 8 cos() h = 10 + 8 cos(). c Voer in y1 = 10 + 8 cos(x) en y2 = 15. Kies bijv. Xmin = 0, Xmax = 90, Ymin = 0 en Ymax = 20 De optie intersect geeft x ≈ 51,3. Dus voor een hoek van 51° is h = 15 m. 12.3

O(zeshoek) = 4 · O(∆FGE) + 2 · O(GHDE) = 4 · ½ · FG · EG + 2 · GH · EG opgave 36 a In ∆FGE: sin(x) = dus EG = 4 sin(x) cos(x) = dus FG = 4 cos(x) O(zeshoek) = 4 · O(∆FGE) + 2 · O(GHDE) = 4 · ½ · FG · EG + 2 · GH · EG = 2 · 4 cos(x) · 4 sin(x) + 2 · 5 · 4 sin(x) = 32 sin(x) cos(x) + 40 sin(x) b = 32 cos(x) · cos(x) – 32 sin(x) · sin(x) + 40 cos(x) = 32 cos2(x) – 32 sin2(x) + 40 cos(x) = 32 cos2(x) – 32(1 – cos2(x)) + 40 cos(x) = 32 cos2(x) – 32 + 32 cos2(x) + 40 cos(x) = 64 cos2(x) + 40 cos(x) - 32 sin2(x) + cos2(x) = 1 sin2(x) = 1 – cos2(x) 12.3

c Voer in y1 = 64 cos2(x) + 40 cos(x) – 32 opgave 36 c Voer in y1 = 64 cos2(x) + 40 cos(x) – 32 De optie zero (TI) of ROOT (Casio) geeft x ≈ 1,092. De oppervlakte is maximaal bij een hoek van ongeveer 1,092 rad, dat is 1,092 × ≈ 63° 12.3

b De optie maximum geeft x = 2 en y = 10 opgave 39 a schets b De optie maximum geeft x = 2 en y = 10 De optie minimum geeft x = -3 en y = -10 dalend op 〈 , -3 〉 en 〈 2,  〉 sijgend op 〈 -3, 2 〉 toenemend stijgend op 〈 -3, 〉 afnemend stijgend op 〈 , 2 〉 c f’(x) = -x2 – x + 6 d xP = e Bij x = xP gaat de grafiek van f over van toenemend stijgend in afnemend stijgend. 12.4

De buigpunten zijn (0, 0) en (-2, 1 ). c f’(0) = · 03 – 02 = 0 opgave 44 a schets b geeft f’’(x) = -x2 – 2x f’’(x) = 0 geeft –x2 – 2x = 0 x(-x – 2) = 0 x = 0 ⋁ x = -2 f(0) = 0 en f(-2) = 1 De buigpunten zijn (0, 0) en (-2, 1 ). c f’(0) = · 03 – 02 = 0 dus de buigraaklijn in (0, 0) is horizontaal. 12.4

Soorten van stijgen en dalen Is van de functie y = f(x) op het interval 〈a, b〉 de afgeleide f’(x) > 0 en ook de tweede afgeleide f’’ (x) > 0, dan is f toenemend stijgend op 〈a, b〉. Zo kun je ook de andere soorten van stijgen en dalen afleiden uit het positief of negatief zijn van de afgeleide en de tweede afgeleide. Heb je bij de formule N(t) te maken met < 0 en > 0 dan is N een afnemend dalende functie van t. 12.5

Snelheid en versnelling Bij de afgelegde weg s(t) met s in meters en t in seconden is de snelheid v(t) = s’(t) met v in m/s en de versnelling a(t) = s’’ (t) met a in m/s2. Regels voor het primitiveren f(t) = a geeft F(t) = at + c f(t) = at geeft F(t) = at2 + c f(t) = at2 geeft F(t) = at3 + c De constante c heet de integratieconstante. 12.5

opp(∆OAB) is de afgelegde afstand. v(t) = -4t + 25 opgave 62 a v(t) b a(t) = -4 v(0) = 25 v(t) = 0 geeft -4t + 25 = 0 -4t = -25 t = 6 Dus A(6 , 0). v(0) = 25 dus B = (0, 25). c opp(∆OAB) = · 25 · 6 = 78 opp(∆OAB) is de afgelegde afstand. v(t) = -4t + 25 12.5