havo D deel 3 Samenvatting Hoofdstuk 11

x 2 y is (recht) evenredig met x De formule heeft de vorm y = ax De tabel is een verhoudingstabel. Bij een k keer zo grote x hoort een k keer zo grote y. De grafiek is een rechte lijn door de oorsprong N a evenredig a 3 x zo groot N 3 x zo groot x 3 x 5 voorbeeld 11.1

y is omgekeerd evenredig met x De formule heeft de vorm xy = a, ofwel y = a/x Vermenigvuldig je x met een getal, dan moet je y door dat getal delen. De grafiek is een hyperbool T P omgekeerd evenredig P 2 x zo groot T 2 x zo klein x 2 : 2 voorbeeld vermenigvuldigd steeds

Evenredig en omgekeerd evenredig met een macht van x Als de grootheden P en Q evenredig zijn, bestaat er een getal a zo, dat P = aQ Het getal a heet de evenredigheidsconstante. En zo volgt uit y is evenredig met x 0,75 dat er een getal a bestaat zo, dat y = ax 0,75 y is evenredig met x n betekent dat er een getal a bestaat met y = ax n Voor omgekeerd evenredig geldt een dergelijke eigenschap. y is omgekeerd evenredig met x n betekent dat er een getal a bestaat met 11.1

Evenredigheid aantonen bij tabellen Werkschema : hoe volgt uit een tabel met onderzoeksresultaten dat y evenredig is met x n ? 1.Bereken bij elk onderzoeksresultaat het quotiënt 2.Verschillen deze quotiënten weinig, dan is y evenredig met x n 11.1

Logaritmische schaalverdeling Een gewone schaalverdeling is niet praktisch als je op een getallenlijn gegevens wilt uitzetten die sterk in grootte verschillen. We kiezen in zo’n situatie liever een logaritmische schaalverdeling. Op de logaritmische schaalverdeling is de afstand van 10 4 tot 10 0 gelijk aan 4 log(10 4 ) = 4. paard = 600 kg. log(600) ≈ 2,8 11.2

Exponentiële groei en logaritmisch papier Bij een rechte lijn op logaritmisch papier hoort exponentiële groei, dus een formule van de vorm N = b · g t Machtsfuncties en dubbellogaritmisch papier Bij een rechte lijn op dubbellogaritmisch papier hoort een formule van de vorm y = ax n. De lijn gaat door het punt (1, a) en heeft richtingscoëfficiënt n. 11.2

opgave 19a Rechte lijn op logaritmisch papier, dus N = b · g t. t = 1 en N = 30 t = 7 en N = 400 N = b · 1,540 t t = 1 en N = 30 Dus N = 19,5 · 1,540 t g 6 dagen = g dag = ≈ 1,540 b · 1,540 1 = 30 b = 19,5 11.2

Verdubbelings- en halveringstijd De verdubbelingstijd bij exponentiële groei is de tijd waarin de hoeveelheid verdubbelt. Bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door de vergelijking g T = 2 op te lossen. De halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheid gehalveerd wordt. Bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door de vergelijking g T = ½ op te lossen. 11.3

0 – 1500  g 1500 jaar = 2  g jaar = 2≈ 1,0005  0,05% 1500 – 1800  g 300 jaar = 2  g jaar = 2≈ 1,0023  0,23% 1800 – 1950  g 150 jaar = 2  g jaar = 2≈ 1,0046  0,46% 1950 – 1986  g 36 jaar = 2  g jaar = 2≈ 1,0194  1,94% 1986 – 2005  g 19 jaar = = ≈ 1,35  g jaar = 1,35 ≈ 1,0161  1,61% opgave

De grafiek bij logistische groei Exponentiële groei zal in de praktijk niet oneindig doorgaan. Vaak krijgt de grafiek de vorm van het het figuur hieronder. De grafiek heeft een horizontale asymptoot. De grafiek nadert tot een grenswaarde. Een dergelijke groei heet logistische groei. Logistische groei Door invloeden van buitenaf vindt afremming van exponentiële groei plaats. De grafiek is een S-vormige kromme die voor grote waarden van t de grenswaarde nadert. De toenemende stijging duurt tot halverwege de grenswaarde. 11.4

opgave 57 De grenswaarde is 25 dus met P 0 = 2 Na enig proberen vind je dat k = 0,25 voldoet dus met P 0 =

opgave 64 a bDe GR geeft als top van de parabool het punt (45; 4,05). cUit de differentievergelijking volgt dat P = 40. _ 11.4