Ww 11 Riemannsommen Bernard Folens bernard.folens@sialme.be Dag van de Wiskunde 22 nov. 2008

Agenda Aanleiding en situering van het onderwerp in het leerplan Achtergrond en methode om Riemann-sommen te berekenen met TI rekentoestellen. Bespreking en ervaringen met de BZL. Nut van het onderwerp Beperkingen

Aanleiding en situering AV Wiskunde leerplan C - 3de graad ASO - D/2004/0279/021 Verplichte leerinhoudelijke doelstellingen ca. 105 Functieleer (5.2.1) 83 Grafisch onderzoek 8 Veeltermfuncties Inleiding 5 Afgeleiden 25 Integralen 15 Exponentiële en logaritmische functies 15 Goniometrische functies 15 Statistiek (5.2.2) 20 Keuzeonderwerpen ca. 45 Matrices en stelsels (5.3.1) 15 Financiële algebra (5.3.2) 25 Ruimtemeetkunde (5.3.3) 15 Lineaire regressie en correlatie (5.3.4) 15 Betrouwbaarheidsintervallen (5.3.5) 10 Toetsen van hypothesen (5.3.6) 7 Telproblemen (5.3.7) 10 Kansrekening (5.3.8) 15 Mathematiseren en oplossen van problemen (5.3.9) 15 De leraar werkt een eigen keuzeonderwerp uit max. 15

Achtergrond en Methode: definities (1) Een Riemann-som van f voor n ( N0) verdelingen van het interval [a, b] is het getal: met xi  [a + (i-1)x; a + ix] en x1 x2 x3

Achtergrond en Methode: definities (2) Een Riemann-ondersom (sn ) van f voor n verdelingen van het interval [a, b] is het getal: met xi  [a + (i-1)x; a + ix] en x  [a + (i-1)x; a + ix] : f (xi)  f (x) en 1  i  n

Achtergrond en Methode: definities (3) Een Riemann-bovensom (Sn ) van f voor n verdelingen van het interval [a, b] is het getal: met xi  [a + (i-1)x; a + ix] en x  [a + (i-1)x; a + ix] : f (xi)  f (x) en 1  i  n

Achtergrond en Methode: Eigenschappen Met deze definities gelden voor een functie f en n verdelingen van het interval [a, b] de volgende eigenschappen:  n  N0 : sn  sn  Sn s = {sn : n  N0 } is een stijgende rij S = {Sn : n  N0 } is een dalende rij een willekeurig bovensom Sn (n  N0 ) is een bovengrens voor de rij van ondersommen s Gevolg: de rij s heeft een supremum. een willekeurig ondersom sn (n  N0 ) is een ondergrens voor de rij van bovensommen S Gevolg: de rij S heeft een infimum. sup(s) = inf(S) =

Illustratie: over [1; 4] sup(s) = = inf(S) = sn Sn 10 70,1325 74.28375 78,2325 75 73,7088 74,2506 74,7888 120 73,91203125 74,25023438 74,58703125 250 74,087892 74,250054 74,411892 350 74,13423061 74,25002755 74,36565918 500 74,168973 74,2500135 74,330973 1000 74,20949325 74,25000338 74,29049325

Riemann-sommen met GRM (1) Als f stijgend is in [a, b] dan is {x1 , x2 , …, xn } een rekenkundige rij met verschil xi = xi-1 + x O.S. T.S. B.S. x1=a x1=a+

Riemann-sommen met GRM (2) Voor een functie die dalend is in [a,b] geldt eveneens xi = xi-1 + x maar de begintermen zijn O.S. T.S. B.S. x1=a + x1=a+ x1=a

Riemann-sommen met GRM Het voorschrift van de functie moet altijd eerst geprogrammeerd worden in de functie mode. wordt gestockeerd in geheugen D De rij met x-waarden {x1 , x2 , …, xp }, waarvoor geldt xn = xn-1 + x , wordt gedefinieerd in u de algemene term: u(n) = u(n-1) + D u(nMin) = a of a+ D/2 (TS) of a+D De rij v bevat f(xn). x (georiënteerde oppervlakte boven/onder het n-de interval PLUS de som van alle georiënteerde oppervlakten boven/onder de voorgaande intervallen. de algemene term: v(n) = v(n-1) + D.Y1(u) v(nMin) = D. Y1(a) of D. Y1(a +D) (TS) of D. Y1(a +D) Probeer enkele Riemann-sommen van het voorbeeld van hiervoor te berekenen (dalend) over [1,4]

Tijdschema en BZL Riemannsommen Tijdschema: Een 8-tal lessen Les 1: Blz 1 – 4 Les 2: Blz 5 - 7 (tot voor opdracht 4) Les 3: Blz 7 – 10 (tot voor punt 2.4) Les 4: Blz 10 – 13 (voor 3.3) Les 5: Blz 13 - 14 Les 6: Blz 15 – 17 (evt. rest als huiswerk) Les 7: Samenvatting Les 8: Klassikaal uitgewerkt voorbeeld Iedere les beginnen met een herhaling Examenvragen: vervolledigen van een tabel – uitleggen wat berekend wordt met de rijen – eigenschappen in de tabel aantonen In studierichtingen met minder uren wiskunde moeten de eigenschappen visueel getoond worden.

Eigenschappen van Riemann-sommen (1) In wat volgt wordt veronderstelt dat [a, b] een interval is waar wij een functie met voorschrift y = f(x) beschouwen. Verder wordt het interval [a, b] in n ( N0 ) gelijke deelintervallen verdeeld met lengte Riemann-sommen Eig.1: sn  sn  Sn want f(x1)  f(x1)  f(X1) ... f(xi)  f(xi)  f(Xi) f(xn)  f(xn)  f(Xn)

Eigenschappen van Riemann-sommen (2) De rij van de ondersommen met steeds meer verdelingen s = {s1 , s2, ..., sn , ...} is een stijgende rij Concreet: s75  s110 s250  s800

Eigenschappen van Riemann-sommen (3) De rij van de bovensommen met steeds meer verdelingen S = {S1 , S2, ..., Sn , ...} is een dalende rij Concreet: S75  S110 S250  S800

Eigenschappen van Riemann-sommen (3) een willekeurig bovensom Sp is een bovengrens voor de stijgende rij van ondersommen s = {s1 , s2, ..., sn , ...} Want Voor OS met minder verdelingen geldt (vb. s75 en S120 ) : s75  s120  s120  S120 (OS stijgen bij meer verdelingen) Voor OS met meer verdelingen geldt (vb. s750 en S120 ) : s750  s750  S750  S120 (BS dalen bij meer verdelingen) een willekeurig ondersom sp is een ondergrens voor de dalende rij van bovensommen S = {S1 , S2, ..., Sn , ...} (Opgave: aantonen voor s300 en S120 en s300 en S500 )

Bepaalde integraal D.w.z. dat iedere bovensom een plafond is voor de stijgende rij van OS en dat iedere ondersom een bodem is voor de dalende rij van BS. De rij van ondersommen en de rij van bovensommen monden uit in hetzelfde getal dat wij de bepaalde integraal noemen van de functie f over [a, b] Notatie: Syntax GRM: fnInt(f(x), x, a, b) Rij van BS Eén getal = Bepaalde Integraal daalt stijgt Rij van OS

Nut van het onderwerp Inleiding tot het begrip ‘Bepaalde Integraal’ Praktisch werk met functies Wiskundige notaties en gebruik van indices Oordeelkundig gebruik van het rekentoestel Geen computerklas nodig Begrijpend lezen. De leerlingen ontdekken het zelf en moeten voortdurend nadenken en logische stappen zetten.

Beperkingen Bij groot aantal verdelingen: vrij lange rekentijd. Oppassen voor examenvragen. Liefst geen O.S. en B.S. over intervallen waar de functie én stijgend én dalend is. In dit geval enkel T.S. gebruiken.