Jo van den Brand 10 oktober 2013 Deeltjes en velden HOVO Cursus   Jo van den Brand 10 oktober 2013 jo@nikhef.nl

Overzicht Docent informatie Rooster informatie Boek en website Jo van den Brand & Gideon Koekoek Email: jo@nikhef.nl en gkoekoek@gmail.com 0620 539 484 / 020 592 2000 Rooster informatie Donderdag 10:00 – 13:00, HG 08A-05 (totaal 10 keer) Collegevrije week: 24 oktober 2013 Boek en website David Griffiths, Introduction to Elementary Particles, Wiley and Sons, ISBN 978-3-527-40601-2 (2008) Zie website URL: www.nikhef.nl/~jo Beoordeling Huiswerkopgaven 20%, tentamen 80%

Inhoud Inleiding Relativistische kinematica Quantumfysica Deeltjes Interacties Relativistische kinematica Speciale relativiteitstheorie Viervectoren Energie en impuls Quantumfysica Formalisme Spin van deeltjes Structuur van hadronen Symmetrieën Behoudwetten, quarkmodel Symmetriebreking Veldentheorie Lagrange formalisme Feynman regels Quantumelektrodynamica Diracvergelijking Quarks en hadronen Quantumchromodynamica Elektrozwakke wisselwerking Higgs formalisme

Klassieke mechanica Vectoren Wetten van Newton Positie Snelheid versnelling Wetten van Newton Eerste wet: indien geen kracht werkt, dan verandert de bewegingstoestand niet Tweede wet Derde wet: actie en reactie Andere relaties – behoudswetten Arbeid en kinetische energie Impuls Baanimpulsmoment Relativiteitsprincipe Geen verschil tussen rust en beweging met constante snelheid Newton 1642 - 1727

Fotoelektrisch effect Een foton maakt elektron vrij Werkfunctie f Maximum kinetische energie elektron, Km Support voor fotonhypothese Onafhankelijk van intensiteit licht Afhankelijk van frequentie licht Er geldt Km = eV0

Compton effect Een foton botst op een vrij elektron Compton verschuiving (zie 3.7.10) Handiger met SRT Constante van Planck in de formule Biljarten met fotonen en elektronen Foton wordt behandeld als een deeltje Compton 1927

Spectra Licht is elektromagnetische straling Gekarakteriseerd door Golflengte (430 – 690 nm) Frequentie Snelheid Maar ook Energie Impuls Met behulp van een spectrometer kan men een spectrale decompositie maken: welke frequenties bouwen het licht op Sommige lichtbronnen hebben een continue spectrum De zon Een gloeilamp

Atomaire spectra Een atoom bestaat uit een kern en een aantal elektronen Een kern bestaat uit protonen en neutronen (e.g. isotopen) Atoom is elektrisch neutraal en bevat evenveel elektronen als protonen Elektronen zijn geordenend in zogenaamde banen – stationaire quantumtoestanden Deze toestanden hebben verschillende discrete energieen Als elektronen van toestand veranderen, dan wordt er straling uitgezonden of geabsorbeerd De spectra zijn discreet Waterstof Helium

Absorptiespectra Stel, twee stationaire toestanden zijn met energie E1 en E2 Er geldt E1 > E2 Bij overgang van toestand 1  2 wordt er een foton uitgezonden Bij overgang van toestand 2  1 wordt er een foton geabsorbeerd bron materiaal Atomair waterstof Absorptielijn Straling van de zon

Elementen in de zon Identificeer elementen in sterren Helium ontdekt in spectrum van de zon Pierre Janssen & Norman Lockyer, 1868 24% van de masa-abondantie in Universum Roodverschuiving geeft snelheid van sterrenstelsels

Spectra van het melkwegstelsel

Oude atoommodel van Bohr Quantumpostulaten Atoom kan bestaan in stationaire toestanden In deze toestanden zendt het atoom geen straling uit Atoom zendt enkel straling uit als het van toestand verandert. De frequentie van de straling wordt gegeven door Rutherford had ontdekt dat het atoom bestaat uit een zware kern waaromheen elektronen cirkelen Bohr 1922

Oude atoommodel van Bohr Tweede wet van Newton Coulombkracht en centripetale kracht Kinetische energie van het elektron Potentiële energie Totale energie Criterium voor quantisatie Baanimpulsmoment is discreet L heeft dezelfde eenheid als h

Oude atoommodel van Bohr We vinden Met geeft dit Baanimpulsmoment en Mogelijke stralen Energieniveaux Beperkte precisie (0,02%); geen info over intensiteit van spectraallijnen; He

Materiegolven Licht bestaat uit discrete eenheden (fotonen) met deeltjesachtige eigenschappen (energie, impuls) die gerelateerd zijn aan golfachtige eigenschappen (frequentie, golflengte) In 1923 postuleerde Prins Louis de Broglie dat gewone materie golfachtige eigenschappen kan hebben, waarbij de golflengte λ op dezelfde manier met de impuls p in verband staat als bij licht Golflengte hangt van de impuls af Niet van de grootte van het object Voorspelling: diffractie en interferentie van materiegolven De Broglie, 1929 Planck’s constante

De Broglie golflengten Golflengte van een elektron met 50 eV kinetische energie Golflengte van een stikstof molecuul op kamertemperatuur Golflengte van een rubidium(87) atoom op 50 nK

Davisson-Germer experiment Het Davisson-Germer experiment: verstrooiing van een bundel elektronen aan een Ni kristal Bij een vaste hoek worden scherpe pieken in intensiteit gevonden als functie van de elektron energie: interferentie! θi Constructieve interferentie als Davisson 1937 G.P. Thomson 1937 θr a

Twee-spleten experiment Oorspronkelijk uitgevoerd door Young (1801) om het golfkarakter van licht te demonstreren. Het wordt nu gebruikt voor onder andere elektronen, neutronen, He atomen Maxima Alternatieve detectie methode: scan een detector langs het scherm en registreer het aandeel deeltjes dat op elke positie arriveert. y d θ Invallende coherente bundel van deeltjes (of licht) Detectie scherm D

Twee-spleten experiment Waarom niet 2x single-slit patroon?

Meetresultaten Interferentiepatronen kunnen niet met klassieke fysica verklaard worden Demonstratie van de hypothese van materiegolven He atoms: O Carnal and J Mlynek 1991 Physical Review Letters 66 2689-2692 C60 molecules: M Arndt et al. 1999 Nature 401 680-682 Met multiple-slit grating Neutrons, A Zeilinger et al. 1988 Reviews of Modern Physics 60 1067-1073 Zonder grating

Meetresultaten Single elektron events Golf of deeltje? Twee-spleten experiment 10 Hz, 50 kV, 120.000 km/s, 1 m lengte www.hitachi.com Golf of deeltje?

Interpretatie Deeltjesflux kan gereduceerd worden, zodat er steeds slechts een deeltje per keer op het scherm aankomt We zien dan nog steeds interferentie banden! Elk deeltje gaat door beide spleten tegelijkertijd Het golfkarakter kan gedemonstreerd worden voor een enkel object Een materie-deeltje interfereert met zichzelf Als we proberen te ontdekken door welke spleet het deeltje gaat, dan verdwijnt het interferentie patroon! We kunnen golf- en deeltjeskarakter niet tegelijkertijd waarnemen Richard Feynman: “…a phenomenon which is impossible, absolutely impossible, to explain in any classical way, and which has in it the heart of quantum mechanics. In reality it contains the only mystery.”

Toepassing Elektronenmicroscoop Gebaseerd op golfkarakter van elektronen Gewone microscoop kan details zien ter grootte van de golflengte van het licht De elektronen kunnen versneld worden tot hoge energie en hebben dan een kleine golflengte Vergroting bijvoorbeeld 50 miljoen keer

Staande golven Lokalisatie leidt tot quantisatie Lokalisatie van een golf Staande golven op een snaar Golflengte gequantiseerd Quantumgetal n Frequenties gequantiseerd Golfsnelheid v Lokalisatie leidt tot quantisatie

Opgesloten foton Opgesloten foton Twee perfecte spiegels op afstand L Licht is een elektromagnetisch veld E Er geldt E = 0 voor x = 0 = L Energiedichtheid Elk foton heeft energie Waarschijnlijkheid om foton aan te treffen evenredig met het kwadraat van de veldamplitude Waarschijnlijkheidsdichtheid Kans om deeltje aan te treffen tussen positie x en x + dx Energie Nulpuntsenergie! E1 ≠ 0

Waarschijnlijkheid Aantal studenten in een kamer Histogram van leeftijden Totaal aantal Kans dat iemand 15 jaar oud is? Er geldt Meest waarschijnlijke leeftijd? 25 jaar Mediane leeftijd? 23 jaar (7 ouder, en 7 jonger) Gemiddelde leeftijd? Algemeen: gemiddelde van functie

Waarschijnlijkheid Variantie Vergelijk 2 verdelingen Dezelfde mediaan, gemiddelde, meest waarschijnlijke waarde, en aantal elementen Verschillende spreiding Maat voor spreiding Echter Variantie

Waarschijnlijkheidsdichtheid Kans dat iemand 18 jaar, 243 dagen, 11.928 seconden, 874.231 microseconden oud is? Kans op leeftijd tussen 20 en 25 jaar? Er geldt klassiek Quantummechanica bijvoorbeeld

Hilbertruimte Vector en functie Operaties Definitie van Hilbertruimte Vector a: voor enkel waarde van index i = 1, 2, … hebben we een component ai Functie f: voor enkel waarde van argument x, hebben we een functiewaarde f(x) Operaties Optellen vectoren a + b = c en optellen functies f(x) + g(x) = h(x) Inproduct Lengte van een functie Parallelle functies Orthogonale functies Definitie van Hilbertruimte Lineaire vectorruimte met inproduct en oneindig aantal dimensies Hilbertruimte is compleet Toestand van een systeem Alle informatie wordt gegeven door golffunctie We spreken ook over de toestandsvector Toestandsvector leeft in de Hilbertruimte

Basis in Hilbertruimte – I Verzameling van alle polynomen P(N) Op interval -1 < x < 1 Kies als basis We hebben nu een N-dimensional vectorruimte Deze basis is niet orthonormaal, want Orthonormaliseer met Gram-Schmidt procedure Dat levert de Legendre polynomen Vergelijk met vectoren

Basis in Hilbertruimte – II Verzameling van alle goniometrische functies T(N) Op interval -1 < x < 1 Kies als orthonormale basis Hierop berust Fourieranalyse We kunnen functies beschrijven door sin(npx) en cos(npx) op te tellen

Matrices en operatoren Matrix is een getallenschema Element mij voor rij i en kolom k Vermenigvuldiging van matrix M met vector a Dit levert een nieuwe vector b Deze actie is lineair Operator A Genereert uit een functie f een andere functie Actie is lineair

Eigenfuncties en eigenwaarden Actie van operator A Vergelijkbaar met die van een matrix Hij strekt of krimpt de functie f en/of roteert deze functie In sommige gevallen is er geen rotatie Dan geldt Dit zijn de eigenfuncties en eigenwaarden van operator A Hermitische operator A Hiervoor geldt voor alle functie f en g Bijzondere en belangrijke eigenschappen De eigenwaarden zijn reëel De eigenvectoren (die horen bij verschillende eigenwaarden) zijn orthogonaal De eigenvectoren zijn compleet

Axiomas van de quantummechanica Toestand van een systeem wordt door toestandsfunctie voorgesteld Iedere fysische grootheid correspondeert met een hermitische operator Een toestand van een systeem, waarin een fysische grootheid A een nauwkeurig bepaalde (zogenaamde scherpe) waarde heeft, moet door een eigenfunctie van de corresponderende operator beschreven worden. De waarde van de grootheid A in deze toestand is de bijbehorende eigenwaarde a. Als de fysische grootheid A, gekenmerkt door de operator A, voor een systeem dat beschreven wordt door de toestandsfunctie geen scherp bepaalde waarde heeft, dan kan men toch een verwachtingswaarde aangeven, namelijk Indien de metingen aan het systeem in dezelfde toestand meerdere malen worden uitgevoerd, dan vindt men voor de gemiddelde waarde van A precies de waarde < A >.

Toelichting axiomas De toestandsfunctie geeft alle informatie, maar is zelf niet meetbaar Het is een vector in de Hilbertruimte De verwachtingswaarde voor observable A en toestand Verwachtingswaarden moeten reëel zijn, dus geldt Dit is equivalent met Als een operator hieraan voldoet, dan is dat een Hermitische operator Dan geldt ook (voor bewijs, zie dictaat)

Axiomas van de quantummechanica Wanneer is het resultaat van een meting uniek? Beschouw spreiding Uniek resultaat betekent Als het systeem zich in een eigentoestand bevindt, dan levert een meting als uniek resultaat de eigenwaarde a die hoort bij deze eigentoestand Fysische operator heeft een spectrum van eigenwaarden Resultaat van metingen zijn de eigenwaarden an Na de meting wordt de toestand beschreven door eigenfunctie De eigenfuncties zijn compleet Voor een willekeurige toestand geldt met

Operatoren van positie en impuls Operatoren kunnen niet algemeen afgeleid worden Analogie met klassieke mechanica van Hamilton en Lagrange Operator x voor positie x Operator px voor impulscomponent px Toestanden met scherpe impuls Reële deel is een harmonische golf Golflengte zoals vereist door de Broglie Definieer golfgetal Toestand met scherp bepaalde positie, bijvoorbeeld x = a Oplossing noemen een delta functie Als geen delta-functie Waarschijnlijkheidsverdeling

Onzekerheidsrelaties Beschouw golffunctie Superpositie van golven Golfpakketje van een deeltje Gemiddelde impuls px Er geldt Voor de breedte geldt Onzekerheidsrelatie van Heisenberg Onzekerheid zit ingebouwd in formalisme p px

Commutatierelaties Laat operatoren voor positie en impuls werken op een functie f en verwissel de volgorde ... Het verschil bedraagt Dit geldt voor elke functie f We vinden de operatorvergelijking Het is principieel onmogelijk om geconjugeerde variabelen tegelijkertijd scherp te bepalen Dit geldt ook voor de andere component, voor energie en tijd, voor impulsmoment componenten onderling, etc. Voor verdieping zie sectie 3.2.6

Schrödingervergelijking Impulsoperator Vectoroperator die een gradiënt neemt Operator voor kinetische energie Laplace-operator Operator voor potentiële energie Hamiltoniaan Operator voor totale energie Operatorvergelijking Schrödingervergelijking

Energieoperator Energieoperator Eigenfuncties Harmonische functies met hoekfrequentie Materie- en lichtgolven met frequentie n hebben energie Toestandsfunctie met scherpe energie Correspondeert met een harmonische trilling op ieder punt in de ruimte Het is een staande golf! Om de golf te karakteriseren, dienen we de ruimtelijke verdeling van de amplitude te weten Tijdonafhankelijke Schrödingervergelijking Ook wel

Waterstofatoom Schrödingervergelijking Coulombpotentiaal Operator