Berekenen van traagheidsmomenten 2 kN A C E Fs B DH DV Fs·cos 71,6° Fs·sin 71,6° 740 400 280 les 8 Berekenen van traagheidsmomenten les 8

Opgave 5 idem, staalkabel verplaatst Hoeveel verplaatst punt B in x- en y-richting? Welke situatie is het beste wanneer je weinig zakking wilt? staalkabel Ø 5 mm C A 25° B 2 m 2 m 200 N aluminium vierkant kokerprofiel 40 x 40 x 3 mm les 8

Opgave 5 idem, staalkabel verplaatst We tekenen eerst een VLS van het kokerprofiel. We vervangen de kabel door de onbekende kabelkracht Fk. C Fk A 25° B 2 m 2 m 200 N les 8

Opgave 5 idem, staalkabel verplaatst De afstand AC noemen we x. Uit de figuur leiden we af dat geldt: C x Fk A 25° B 2 m 2 m 200 N les 8

Opgave 5 idem, staalkabel verplaatst Nu geldt voor de nieuwe hoek a die de kabel maakt: C Hieruit kunnen we a berekenen: x Fk a A 25° B 2 m 2 m 200 N les 8

Opgave 5 idem, staalkabel verplaatst We ontbinden de onbekende kabelkracht nu in een horizontale component HD en een verticale component VD. Wat werkt er in het scharnier A? C Fk VD A 43° B HD D 2 m 2 m 200 N les 8

Opgave 5 idem, staalkabel verplaatst AB is nu een balk en niet langer een staaf. Halverwege werkt immers de kabelkracht Fk. Het weggelaten steunpunt in A kan op de balk een horizontale kracht HA en een vertikale kracht VA uitoefenen. Zie de slide uit ‘Balktutorial’! C Fk VD A 43° B HA HD D VA 2 m 2 m 200 N les 8

Opgave 5 idem, staalkabel verplaatst C Fk VD A 43° B HA HD D VA 2 m 2 m 200 N les 8

Opgave 5 idem, staalkabel verplaatst We hebben nu alle krachten berekend, en kunnen daarmee twee VLS’en tekenen: die van de balk en die van de kabel. Merk op: De pijllengtes kloppen niet met de grootte van de krachten. Dit is niet essentieel, alhoewel niemand je tegenhoudt om de tekening daarna nog eens netjes overnieuw te maken en alles op schaal te tekenen. De kracht die de kabel op de balk uitoefent is gelijk en tegengesteld aan de kracht die de balk op de kabel uitoefent. Nu we de krachten weten kunnen we de verlenging van de kabel berekenen. 586,478 N 586,478 N 586,478 N 400 N A B 428,9 N D 428,9 N 200 N 200 N 2 m 2 m les 8

Opgave 5 idem, staalkabel verplaatst 586,478 N 586,478 N 586,478 N 200 N A B 428,9 N D 428,9 N 200 N 200 N 2 m 2 m les 8

Opgave 5 idem, staalkabel verplaatst De kabel zal dus 0,389 mm verlengen. De vraag is nu weer, in welke richting zal D verplaatsen, en over hoeveel mm? Balkdeel AD zal nauwelijks verkorten, dus we maken geen grote fout door te veronderstellen dat D’ recht onder D ligt. (feitelijk is DD’ een stukje cirkelboog met A als middelpunt) Tegelijkertijd moet gelden dat D’ ligt op een crirkelboog met C als middelpunt, en met een straal van de afstand CD vermeerderd met de verlenging van de kabel, hier getekend als een blauw lijntje. Dit blauwe lijntje is eigenlijk een stukje cirkelboog met C als middelpunt, maar we maken geen grote fout door dit stukje te benaderen met een recht lijntje dat haaks op CD staat. Hiermee wordt DD’: C x D A 43° 2 m D’ Merk op: de hoeken met een rode stip zijn gelijk! les 8

Opgave 5 idem, staalkabel verplaatst Wanneer punt D 0,570 mm zakt, zal punt B dubbel zoveel zakken. Het bevindt zich immers twee maal zo ver van A. C Deze zakking in B is veroorzaakt door kabelrek, daarom noemen we hem in het vervolg kabelrek. A D B 2 m 2 m les 8

Opgave 5 idem, staalkabel verplaatst We gaan nu de hoekverdraaiing  berekenen als gevolg van het buigend koppel dat balkdeel DB uitoefent op het blauw getekende balkdeel AD. Dit is situatie 4 op het formuleblad met de vergeetmenietjes. Hoe groot is dat koppel? Met behulp van een evenwichtsbeschouwing (CIP1201) kunnen we berekenen dat dit gelijk is aan: C A D B 200 N 2 m 2 m les 8

Opgave 5 idem, staalkabel verplaatst We gaan nu de hoekverdraaiing  berekenen als gevolg van het buigend koppel dat balkdeel DB uitoefent op het blauw getekende balkdeel AD. Dit is situatie 4 op het formuleblad met de vergeetmenietjes. Hoe groot is dat koppel? Met behulp van een evenwichtsbeschouwing kunnen we berekenen dat dit gelijk is aan: C A D B 400 Nm 2 m 2 m les 8

Opgave 5 idem, staalkabel verplaatst Formule 4B stelt ons in staat om de hoekverdraaiing  als gevolg van het koppel te berekenen. C De elasticiteitsmodulus van aluminium halen we van het formuleblad: A D B 400 Nm 2 m 2 m Het traagheidsmoment van het kokerprofiel is: les 8

Opgave 5 idem, staalkabel verplaatst E en I kunnen we nu invullen in de formule: C Wanneer het blauwe deel recht zou blijven zou het ten gevolge van het kwispeleffect een zakking hebben van A D B 400 Nm Wanneer het blauwe deel recht zou blijven (wat niet zo is) dan zou het ten gevolge van het kwispeleffect een zakking hebben van: 200 N 2 m 2 m Oei... deze zakking blijkt de eerder gevonden zakking als gevolg van kabelrek volledig te overheersen! les 8

Opgave 5 idem, staalkabel verplaatst Maar, zo zagen we al, het blauwe balkdeel buigt zelf ook. De zakking als gevolg daarvan kunnen we bereken met behulp van formule 2A. C A D B Hier komt dezelfde zakking uit als die welke we vonden als gevolg van het kwispeleffect. (Dit is niet geheel toevallig, het komt door de gelijke afstand tussen AD en DB) Hiermee kunnen we de totale zakking berekenen. Deze is namelijk de som van de eerder gevonden zakkingen. Het optellen van verplaatsing noem je superpositie. Dit betekent letterlijk: op-elkaar-plaatsing. 200 N 2 m 2 m les 8

Opgave 5 idem, staalkabel verplaatst Okay, schenk jezelf een biertje in*. Je hebt het verdiend!! Na een flinke teug berekenen we de totale zakking: C A D B 200 N 2 m 2 m * geldt voor thuis, niet voor op school les 8

Traagheidsmoment les 8

Traagheidsmoment les 8

Traagheidsmoment les 8

Traagheidsmoment les 8

Traagheidsmoment B les 8

Traagheidsmoment B les 8

Traagheidsmoment Met hoeveel koppel moeten we aan de as draaien om de gele vezel d mm langer te krijgen? B Dit is formule 7 van het formuleblad! Omwerken levert: Dit is de kracht die nodig is om de vezel een heel klein stukje d te verlengen. les 8

Traagheidsmoment Let op! In formule 7 is A (area) de oppervlakte in mm van de doorsnede van de gele vezel! les 8

Traagheidsmoment Om een kracht F uit te oefenen op de gele vezel moet we met het volgende koppel aan de as draaien: B de verplaatsing d kunnen we ook schrijven als hoekverdraaiing maal kwispellengte: les 8

Traagheidsmoment wanneer we invullen in B staat er ofwel les 8

Traagheidsmoment Het traagheidsmoment van de hele doorsnede vinden we door van alle vezels waaruit de balk bestaat, hun te berekenen, al de gevonden waardes op te tellen. Wanneer je de balk in oneindig veel oneindig dunne vezels verdeelt, noem je dit proces integreren. B les 8

Wiskundige definitie van het traagheidsmoment dA r x-as ZW Het traagheidsmoment is theoretisch als volgt te vinden: verdeel de figuur in oneindig veel oneindig kleine vierkantjes met oppervlakte dA vermenigvuldig iedere oppervlakte met het kwadraat van de afstand r van het vierkantje tot de x-as tel alles op, en je hebt I (dit optellen heet integreren) les 8

Benodigd koppel 4x zo groot Reserveslide vezel 2x verder van de as: vezelverlenging 2x zo groot arm van de kracht voor vezelverlenging 2x zo groot Benodigd koppel 4x zo groot les 8

x x Traagheidsmoment voorbeeld 1 voorbeeld 2 1 mm Aanwijzingen: vermenigvuldig per blokje de oppervlakte met het kwadraat van zijn arm tel alle resultaten op 1 mm les 8

Samengestelde figuren optellen en aftrekken van traagheidmomenten toegestaan, mits de zwaartepunten van de samenstellende figuren op de x-as liggen!!! = + les 8

Oefening 1 Bereken het traagheidsmoment I van onderstaande afgeplatte buis. 2 16 50 les 8

Hint voor de oplossing (1) Traagheidsmoment is traagheidsmoment buitenvorm min traagheidsmoment binnenvorm 50 16 2 = – 16 12 50 46 les 8

Hint voor de oplossing (2) Traagheidsmoment ovaal is traagheidmoment rechthoek plus twee maal traagheidsmoment halve cirkel. 16 16 50 34 12 12 34 46 les 8

Asymmetrische figuren Wat nu wanneer we het traagheidsmoment willen berekenen ten opzichte van een lijn die niet door het zwaartepunt gaat? Volgens de regel van Steiner moeten we er de verschuiving a in het kwadraat maal de oppervlakte A bij optellen, alles in mm Z 30 8 Z 30 15 15 “de verschuivingsterm van Steiner” les 8

Oefening 2 Bereken het traagheidsmoment van een cirkel met een diameter van 30 mm ten opzichte van een raaklijn. Z Hoeveel maal groter wordt het traagheidsmoment? les 8

Je berekent een traagheidsmoment altijd ten opzichte van een lijn. Onthoud Je berekent een traagheidsmoment altijd ten opzichte van een lijn. Wanneer er niets bij gezegd wordt bedoelt men het traagheidsmoment ten opzichte van een lijn die door het zwaartepunt gaat. Wanneer we de figuur gaan verschuiven wordt het traagheidsmoment altijd groter, nooit kleiner. les 8

Berekening ligging zwaartepunt Vaak is niet zomaar duidelijk waar het zwaartepunt van een figuur ligt. Dit zullen we eerst moeten berekenen. Dit doen we met de “methode van het oppervlaktemoment”. Waar ligt het zwaartepunt van dit U-profiel? Om te beginnen leggen we de x-as gelijk met bijvoorbeeld de onderkant. Wat je kiest is niet belangrijk. 2,5 (3x) 30 x 20 les 8

Berekening ligging zwaartepunt We verdelen het U-profiel in rechthoeken. We weten dat het zwaartepunt van iedere rechthoek in het midden ligt. 2,5 (3x) 30 15 1,25 x 20 les 8

Berekening ligging zwaartepunt We berekenen nu de som van de oppervlaktes van alle rechthoeken maal de afstand van hun zwaartepunt tot de x-as. Deze moet gelijk zijn aan de aan de oppervlakte van de totale figuur maal de afstand van het zwaartepunt van de totale figuur tot de x-as. In dit geval is een formule gemakkelijker te onthouden! A1=75 mm2 2,5 (3x) A3=75 mm2 30 15 1,25 ytot x 15 A2=37,5 mm2 20 les 8

Berekening ligging zwaartepunt We weten nu waar het zwaartepunt ligt en verplaatsen de x-as naar dat punt. Daarna berekenen we de afstanden van de gekleurde rechthoeken naar de nieuwe x-as. 2,5 (3x) 30 x 15 1,25 12,25 15 20 les 8

Berekening ligging zwaartepunt We berekenen nu de afstanden van de zwaartepunten naar de nieuwe (verschoven as) 2,5 (3x) 2,75 30 x 15 1,25 11 12,25 15 20 les 8

Berekening traagheidsmoment We gooien de maten die we niet meer nodig hebben weg. We kunnen nu het traagheidsmoment van de complete figuur berekenen. We doen dit per rechthoek, en tellen ten slotte alles op. 2,5 (3x) 2,75 30 x 11 15 20 les 8

Oefening 3 Bereken het traagheidsmoment van een omgekeerd T-profiel. Bereken eerst de ligging van het zwaartepunt met de oppervlaktemomentmethode. 20 130 20 100 les 8

Huiswerk 1 Van 1 mm dik staalplaat is onderstaande profielplaat gezet. Bereken het traagheidsmoment I van deze plaat. Om de berekening niet te ingewikkeld te maken nemen we aan dat de hoeken bij het zetten scherp zijn gebleven. In werkelijkheid ontstaan afrondingen! 1360 34 18 18 les 8

Huiswerk 2 De plaat moet een sloot van 1,50 m overspannen. De ribbels lopen daarbij in dwarsrichting. Hoeveel mm zakt de plaat in het midden wanneer daar een man van 80 kg staat? 1360 34 18 18 les 8