havo B Samenvatting Hoofdstuk 8

De eenheidscirkel y α P x O (1, 0) De eenheidscirkel is de cirkel met middelpunt O(0, 0) en straal 1. Het punt P draait tegen de wijzers van de klok in over de cirkel. P begint in (1, 0) De hoek waarover gedraaid is geven we aan met de Griekse letter α. α P x O (1, 0) 8.1

Sinus en cosinus y P(xP, yP) 1 1 yP α x ∟ O xP Q A (1, 0) Het punt P beweegt over de eenheidscirkel en begint in het punt A(1, 0). Het eerste been van α is altijd de positieve x-as, het tweede been van α gaat door het punt P op de eenheidscirkel. De draaiingshoek α neemt allerlei waarden aan, hij kan groter dan 360° zijn of negatief. Draait P tegen de wijzers van de klok in, dan is α positief. Draait P met de wijzers van de klok mee, dan is α negatief. P(xP, yP) 1 1 yP α x ∟ O xP Q A (1, 0) PQ OP yP 1 sin α = = = yP cos α = = = xP sos cas toa OQ OP xP 1 8.1

Radiaal y Er is een hoekmaat waarbij de lengte van de boog van de eenheidscirkel gelijk is aan de draaiingshoek α booglengte PQ = hoek α De ontstane hoekmaat heet radiaal afgekort rad. booglengte = 1  α = 1 rad booglengte = 2  α = 2 rad booglengte = π  α = π rad Q α P O (1, 0) 8.2

Verband tussen radialen en graden omtrek(cirkel) = 2πr omtrek(eenheidscirkel) = 2 · π · 1 = 2π booglengte = 2π  α = 2π rad 2π rad = 360° dus π rad = 180° booglengte = π  α = π rad = 180° booglengte = ½π  α = ½π rad = 90° booglengte = ¼π  α = ¼π rad = 45° 8.2

Grafieken van f(x) = sin(x) en g(x) = cos(x) opgave 23 sin(x) = sin(x rad) getal hoek 1 periode = 2π f(x) = sin(x) evenwichtsstand = 0 -¾π 1¼π amplitude = 1 -π O π -2π -1¾π ¼π amplitude = 1 2π g(x) = cos(x) ½π periode = 2π -1 α = ¼π, dan is het bijbehorende punt P op de eenheidscirkel xP = yP, dus sinα = cosα de x-coördinaten van de andere snijpunten zijn -1¾π, -¾π en 1¼π 8.2

opgave 26a evenwichts stand amplitude periode beginpunt y = cos(x) verm. t.o.v. x-as met 1,2 1 2π (0, 1) y = 1,2cos(x) translatie (, 0) 1,2 2π (0; 1,2) y = 1,2cos(x - π) translatie (0, 5) 1,2 2π (π; 1,2) y = 5 + 1,2cos(x - π) 5 1,2 2π (π; 6,2) 8.3

Kenmerken van sinusoïden formules hebben de vorm : y = a + b (sin( c(x-d) ) en y = a + b (cos( c(x-d) ) b > 0 en c > 0 8.3

kenmerken van de grafiek van y = a + b (sin( c(x - d) ) evenwichtsstand y = a amplitude = b periode = beginpunt (d, a) 2π c 8.3

f = 1 T  u 0,2 t O    -0,2 opgave 43 a u = 0,2 sin(6πt) amplitude = 0,2 6π = trillingstijd is  seconde frequentie = 3 hertz b periode =  seconde T 2π  u 0,2 t O    -0,2 8.4

h opgave 47 40 a h = a + b sin( c(t – d) ) a = evenwichtsstand = 22 b = amplitude = 20 c = = d = 0 , want beginpunt is (0, 22) dus h = 22 + 20 sin b t = 25 geeft h = 22 + 20 sin h ≈ 39,3 dus op t = 25 is de hoogte 39,3 m. c voer in y1 = 22 + 20 sin en y2 = 32 optie intersect x = 6,25 en x = 31,25 dus gedurende 31,25 – 6,25 = 25 seconden is de hoogte meer dan 32 m. 32 30 2π 2π periode 75 20 2π 75 t 2π 75 · 25 10 t 2π 75 x O 6,25 20 31,25 40 60 80 8.4